1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和.側面積是指側面的面

積.一般地,表面積=側面積+底面積.8.3簡單幾何體的表面積與體積1|柱體、錐體、臺體的表面積知識點必備知識清單破2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱:S側=2πrl,S表=2πr(r+l)(r是底面半徑,l是母線長).圓錐:S側=πrl,S表=πr(r+l)(r是底面半徑,l是母線長).圓臺:S側=π(r'+r)l,S表=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分別是上、下底面半徑,l是母線長).圓柱、圓錐與圓臺的側面積公式之間的關系:

S圓柱側=2πrl

S圓臺側=π(r'+r)l

S圓錐側=πrl.1.柱體、錐體、臺體的體積公式

V柱體=Sh(S為底面積,h為柱體高);

V錐體=

Sh(S為底面積,h為錐體高);

V臺體=

h(S'+

+S)(S',S分別為上、下底面面積,h為臺體高).2.柱體、錐體與臺體的體積公式之間的關系

V柱體=Sh

V臺體=

(S'+

+S)h

V錐體=

Sh.2|柱體、錐體、臺體的體積知識點設球的半徑為R,則它的表面積為S球=4πR2,體積為V球=

πR3.3|球的表面積和體積知識點

1.棱臺的側面展開圖是由什么圖形組成的?2.圓錐、圓臺的側面展開圖中的弧長與相應底面圓的周長有什么樣的關系?3.棱柱的體積可以用底面積與側棱長的乘積表示嗎?4.臺體的體積除了用臺體體積公式計算,還可以怎么計算?知識辨析

1.梯形.2.對應相等.3.當棱柱是直棱柱時可以,當棱柱是斜棱柱時,可以用垂直于側棱的截面面積乘側棱長來求解.4.還可以利用兩個錐體的體積之差計算.一語破的1.求柱體、錐體、臺體的表面積,先計算側面積與底面積,再求和即可.求球的表面積,只需根

據(jù)題意找到半徑,代入公式即可.對于棱臺和棱錐,計算側面積時,要注意利用底面內的線段、高、斜高、側棱構造直角

三角形、直角梯形.對于圓柱、圓錐、圓臺,求表面積時要熟悉其幾何特征及側面展開圖的

特征.2.求組合體的表面積時,首先應弄清它的組合方式,其表面由哪些面構成,再根據(jù)公式求出各

面的面積,最后相加或相減求解.涉及與旋轉體有關的組合體的表面積,一般考慮利用軸截面

求解.1|計算空間幾何體的表面積定點關鍵能力定點破已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm,高與斜高的夾角為30°,求正四棱錐的側面積

和表面積.典例1解析

如圖,在正四棱錐P-ABCD中,易知高PO,斜高PE,底面邊心距OE組成Rt△POE.由已知得OE=2cm,∠OPE=30°,∴PE=

=4cm.因此S側=4×

×BC×PE=4×

×4×4=32(cm2),S底=4×4=16(cm2),∴S表=S側+S底=32+16=48(cm2).

如圖,圓錐的高和底面半徑相等,它的一個內接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等,求圓

柱的表面積和圓錐的表面積之比.

典例2解析

畫出軸截面,如圖,設圓柱、圓錐的底面半徑分別是r,R,圓錐的母線長為l,則l=

R,

=

,∴R=2r.設圓柱和圓錐的表面積分別為S1和S2,則

=

=

=

=

=

-1.

求幾何體體積的常用方法1.公式法:直接代入公式求解.2.等體積法:例如四面體的任何一個面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可.3.補體法:將幾何體補成易求解體積的幾何體,再利用兩幾何體之間的體積關系求解.常見的補體有:①可將正四面體補為正方體,如圖所示.2|計算空間幾何體的體積定點②可將三條側棱互相垂直的三棱錐補成長方體或正方體,如圖所示(PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC).③可將三棱柱補成平行六面體,如圖所示.④可將臺體補成錐體,如圖所示.③可將三棱柱補成平行六面體,如圖所示.④可將臺體補成錐體,如圖所示.4.分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積,再相加.如圖,在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任

意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.

典例解析

連接EB,EC,則該多面體由四棱錐E-ABCD和三棱錐F-EBC組成(分割法).易得

=

×42×3=16.∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△ABE=2S△BEF,∴V三棱錐F-EBC=V三棱錐C-BEF(等體積法)=

=

(等體積法)=

×

V四棱錐E-ABCD=4.∴多面體ABCDEF的體積為V四棱錐E-ABCD+V三棱錐F-EBC=16+4=20.一題多解

由V斜三棱柱=S直截面×側棱長,可知本題還可求解如下:①(分割法)設AB,CD的中點分別為M,N,連接MN,EM,EN,則V多面體ABCDEF=V四棱錐E-AMND+V三棱柱EMN-FBC=

×8×3+

×4×3×2=20.②(補體法)延長EF到G,使EG=AB,連接BG,CG,則V三棱柱BCG-ADE=

×4×3×4=24,設多面體ABCDEF的體積為V,則V=24-V三棱錐F-BCG=24-V三棱錐E-ADF=24-(V-V四棱錐F-ABCD)=24-V+16,故V=20.專題疑難突破空間幾何體的外接球和內切球幾何體外接球和內切球問題是立體幾何的一個重點和難點,也是高考考查的一個熱點,

一般在選擇題中出現(xiàn),難度中上.此類問題要求學生具有較強的空間想象能力和計算能力,能

發(fā)展學生的數(shù)學抽象和數(shù)學運算素養(yǎng).處理有關幾何體外接球或內切球的相關問題時,要注意球心的位置與幾何體的關系,一

般情況下,由于球的對稱性,球心總在幾何體的特殊位置,比如中心、對角線的中點等.解決此

類問題的實質就是根據(jù)幾何體的相關數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑,關鍵是根據(jù)“切點”或“接

點”,作出軸截面,把空間問題轉化為平面問題來解決.3.與各條棱都相切的球:球心是正方體的中心;正方體的面對角線長為球的直徑,球的半徑R=

a.二、長方體的外接球(長方體的長、寬、高分別為a,b,c)長方體外接球的球心是體對角線的交點;長方體的體對角線長為外接球的直徑,外接球

的半徑R=

.一、正方體的外接球、內切球及與各條棱都相切的球(正方體的棱長為a)1.外接球:球心是正方體的中心;正方體的體對角線長為外接球的直徑,外接球的半徑R=

a.2.內切球:球心是正方體的中心;正方體的棱長為內切球的直徑,內切球的半徑R=

.三、棱錐的外接球、內切球1.可補形成長方體的三棱錐的外接球(1)一條側棱為高且底面是直角三角形的三棱錐:設三棱錐的高為c,底面相互垂直的兩條棱的

長分別為a和b,將三棱錐補成長方體,如圖①②③所示,三棱錐的外接球的直徑為長方體的體

對角線長,即外接球的半徑R=

.在三棱錐A-BCD中,已知AB,AC,AD兩兩垂直,且△BCD是邊長為2的正三角形,求該三

棱錐的外接球的體積.典例1解析

由題意可得,三棱錐A-BCD為正三棱錐,且可以補成正方體,兩者的外接球是同一個,正

方體的體對角線長就是外接球的直徑.設AB=x,則AC=AD=x,因為AB⊥AC,所以BC=

x,即

x=2,所以x=

.設三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R,則2R=

=

=

,故R=

,所以三棱錐A-BCD的外接球的體積為

πR3=

π.(2)對棱相等的三棱錐:三棱錐中三組對棱分別相等.在三棱錐A-BCD中,AD=BC=x,AB=CD=y,

AC=BD=z,將三棱錐補成長方體AMDN-QBPC,如圖所示.設BP=a,CP=b,DP=c,則

故a2+b2+c2=

,因為長方體的體對角線長為三棱錐的外接球的直徑,所以外接球的半徑為

=

.

在四面體A-BCD中,AB=CD=

,AD=BC=

,AC=BD=2

,求四面體A-BCD外接球的表面積.典例2解析

由題意可知,四面體A-BCD可補形成長方體BMDN-FCEA,如圖所示,

則四面體A-BCD的外接球的直徑為長方體的體對角線長,設AE=a,AF=b,AN=c,則

故a2+b2+c2=32,設四面體A-BCD的外接球的半徑為R,則(2R)2=32,解得R2=8.所以四面體A-BCD外接球的表面積為4πR2=4×π×8=32π.

2.正四面體的外接球方法1:設正四面體P-ABC的棱長為a,則底面正三角形的外接圓半徑r=

a,正四面體的高h=

a.設外接球的半徑為R,易知外接球的球心O在高PO1上,如圖①所示.在Rt△OAO1中,利用勾股定理可得R2=(h-R)2+r2,即R2=

+

,解得R=

a.

方法2:將正四面體P-ABC補形為正方體,如圖②所示.設正四面體P-ABC的棱長為a,則正方體的棱長x=

a,外接球的直徑為正方體的體對角線長,設外接球的半徑為R,則R=

x=

a.圖①圖②3.正四面體的內切球如圖所示,設正四面體P-ABC的棱長為a,則高PH=

a,斜高PD=

a,DH=

a.設內切球的半徑為R,E為斜高PD與球的切點.易知△POE∽△PDH,故

=

,即

=

,解得R=

a.4.正四棱錐的外接球在正四棱錐P-ABCD中,O1是正方形ABCD的中心,O是四棱錐P-ABCD外接球的球心,設正

四棱錐的高為h,底面正方形的外接圓的半徑為r,外接球的半徑為R,易得r=BO1.當h>r時,外接

球的球心O在四棱錐內部(如圖①),根據(jù)直角三角形可得R2=(h-R)2+r2;當h=r時,外接球的球心O

與O1重合;當h<r時,外接球的球心O在四棱錐外部(如圖②),根據(jù)直角三角形可得R2=(R-h)2+r2.

不難發(fā)現(xiàn),R2=(h-R)2+r2和R2=(R-h)2+r2實際上是一樣的,所以不需要提前判斷外接球的球心是

否在棱錐內部.已知正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該正四棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的

表面積.典例3解析

畫出大致圖形,如圖,

設底面正方形ABCD的中心為O1,正四棱錐P-ABCD的外接球的球心為O,則PO1為正四棱錐的高,O在直線PO1上.設球O的半徑為R,則R=AO=PO,在Rt△AOO1中,AO2=A

+O

,即R2=(

)2+(4-R)2,解得R=

.所以該球的表面積為4πR2=

π.5.棱錐的內切球一般利用等體積法求棱錐內切球的半徑.先將原棱錐分割成幾個以它的內切球球心為頂

點,所有面為底面的新棱錐(各新棱錐的高即為內切球的半徑),所有新棱錐的體積之和等于原

棱錐的體積,設內切球的半徑為R,則V棱錐=

S表面積R,即R=

.注意:正四面體也可以利用這種方法求內切球的半徑.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為6,內切球的半徑為1,求此三棱錐的高.典例4解析

如圖,設正三棱錐P-ABC的內切球的球心為O,PH為正三棱錐P-ABC的高,PD為△PAB

中AB邊上的高,則O在PH上,

易得DH=

×6sin60°=

,設PH=h,則PD=

,所以S△PAB=

×6×

=3

,由VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC,得

h×

×62×sin60°=

×1×

9

+

×62×sin60°

,即故此三棱錐的高為3.

(h-1)=

,解得h=3或h=0(舍去).四、直棱柱的外接球以底面為直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1為例:方法1:補形成長方體,三棱柱的各個頂點為長方體的頂點,則其外接球與長方體的外接球

相同.方法2:如圖,H為底面Rt△ABC的斜邊AC的中點,即Rt△ABC的外接圓的圓心,過H作OH

∥AA1,且OH=

AA1,O在矩形AA1C1C內,則O為外接球的球心.在Rt△OHA中,OH2+AH2=OA2,若h為直棱柱的高,r為Rt△ABC外接圓的半徑,則外接球的半徑R=

.注意:如果直三棱柱的底面不是直角三角形,可利用正弦定理求其外接圓的半徑.

五、圓柱的外接球和內切球1.圓柱的外接球設圓柱的高為h,底面圓的半徑為r,外接球的半徑為R,如圖所示.利用直角三角形可得R2=r2+

,解得R=

.

2.圓柱的內切球內切球與圓柱的底面和側面均相切,則球的直徑等于圓柱的高,也等于圓柱的底面直徑,

即當圓柱的底面直徑等于高時,圓柱才有內切球.古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱,圓柱內有一個內切球,這個球的直徑恰

好與圓柱的高相等,如圖.

(1)求圓柱的體積與球的體積之比;(2)求圓柱的表面積與球的表面積之比.典例

解析

設圓柱的高為h,底面半徑為r,球的半徑為R,由已知得h=2R,r=R.(1)V圓柱=πr2h=2πR3,V球=

πR3,∴

=

=

.(2)S圓柱=2πrh+2πr2=6πR2,S球=4πR2,∴

=

=

.六、圓錐的外接球和內切球1.圓錐的外接球設圓錐的底面半徑、高分別為r、h,外接球的半徑為R,如圖所示,利用直角三角