平行的傳遞性:平行于同一條直線的兩條直線平行.符號(hào)語言:a∥b,b∥c?a∥c.8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行1|基本事實(shí)4知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).如圖(1)(2).

2|等角定理知識(shí)點(diǎn)

1.對(duì)于空間中三條直線a,b,c,如果a∥b,a與c不平行,那么b與c是否平行?2.已知空間中兩個(gè)角α,β,且α與β的兩邊分別平行,若α=60°,則β=60°,對(duì)嗎?3.在空間中,如果兩個(gè)角相等或互補(bǔ),那么這兩個(gè)角的邊所在的直線一定平行嗎?知識(shí)辨析

1.不平行.2.不對(duì).由等角定理可知β=60°或β=120°.3.不一定.一語破的1.證明空間中兩直線平行的常見方法(1)平面幾何法①利用三角形、梯形的中位線定理.②利用平行四邊形的性質(zhì).③利用平行線分線段成比例定理.(2)定義法用定義證明兩條直線平行,要證明兩個(gè)方面:一是兩條直線在同一平面內(nèi);二是兩條直線

沒有公共點(diǎn).(3)利用基本事實(shí)4證明,即若證明a∥b,可找到第三條直線c,使a∥c,b∥c,從而得到a∥b.

|基本事實(shí)4與等角定理在空間圖形中的運(yùn)用定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破2.證明空間中角相等的方法(1)等角定理是較常用的方法;(2)利用平面圖形中的三角形全等或相似來證明.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AA1,AB的中點(diǎn).(1)證明:E,F,C,D1四點(diǎn)共面;(2)證明:D1E,DA,CF三線交于一點(diǎn).

典例1思路點(diǎn)撥

(1)根據(jù)基本事實(shí)4證明EF∥CD1.(2)結(jié)合基本事實(shí)3證明.證明

(1)連接A1B,EF,CD1,根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知A1B∥CD1,∵E,F分別是AA1,AB的中

點(diǎn),∴EF∥A1B,∴EF∥CD1,∴E,F,C,D1四點(diǎn)共面.(2)由于EF∥CD1,EF≠CD1,∴D1E與CF延長(zhǎng)后必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則P∈D1E?平面ADD1A1,P

∈CF?平面ABCD,根據(jù)基本事實(shí)3,知點(diǎn)P在平面ADD1A1與平面ABCD的交線DA上,∴D1E,DA,CF三線交于一點(diǎn).如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:(1)EF

E1F1;(2)∠EA1F=∠E1CF1.

典例2證明

(1)如圖,連接BD,B1D1,在△ABD中,因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD,且EF=

BD.同理可得E1F1∥B1D1,且E1F1=

B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1

DD1,所以四邊形BB1D1D為平行四邊形,所以BD

B1D1,所以EF

E1F1.所以四邊形BMF1C為平行四邊形,所以BM∥CF1.因?yàn)锳1M=

A1B1,BE=

AB,且A1B1

AB,所以A1M

BE,所以四邊形BMA1E為平行四邊形,所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.同理可證A1F∥CE1.因?yàn)椤螮A1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.(2