如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.如圖,a?α,b?α,且a∥b?a∥α.(線線平行?線面平行)

8.5.2直線與平面平行1|直線與平面平行的判定定理知識點必備知識清單破一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.如圖,a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.(線面平行?線線平行)

2|直線與平面平行的性質定理知識點1.兩條平行線中的一條與一個平面平行,則另一條也與這個平面平行嗎?2.若直線l平行于平面α內的無數條直線,則l∥α,對嗎?3.若直線a∥平面α,直線b∥平面α,則a,b一定平行嗎?4.若直線a∥平面α,如何在平面α內找一條直線與a平行?5.若直線a∥平面α,過a與α相交的平面有多少個?它們與α的交線相互之間有什么關系?知識辨析一語破的1.不一定.另一條直線在這個平面內或與這個平面平行.2.不對.也可能l?α.3.不一定.a與b可能相交、平行或異面.4.根據直線與平面平行的性質定理,只需過a作一平面與平面α相交,則交線與a平行.5.過a與平面α相交的平面有無數個,它們與α的交線互相平行.1.證明線面平行的常用方法(1)定義法:證明直線與平面無公共點(不易操作).(2)利用判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α):要證明直線a與平面α平行的關鍵是設法在平面α內

找到一條直線b,使a∥b,即要證直線a與平面α平行,先證直線a與直線b平行,由立體向平面轉

化.需要考慮是否有已知的平行線,若無已知的平行線,則考慮添加輔助線,利用中位線定理、

平行線分線段成比例定理,或者構造平行四邊形等證明兩直線平行.2.利用線面平行的性質定理證明線線平行應用線面平行的性質定理可以得到線線平行,關鍵是找到過已知直線的平面與已知平面

的交線,有時為了得到交線需要作出輔助平面.1|線面平行的判定定理和性質定理的應用定點關鍵能力定點破如圖,S是平行四邊形ABCD所在平面外一點,M,N分別是SA,BD上的點(不含端點),且

=

.求證:MN∥平面SBC.

典例1證明

如圖,連接AN并延長,交BC于P,連接SP.

因為AD∥BC,所以

=

,又因為

=

,所以

=

,所以MN∥SP,(由平行線分線段成比例定理得線線平行)又MN?平面SBC,SP?平面SBC,所以MN∥平面SBC.如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,P為平面ABC外一點,E,F分別是PA,

PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關系,并加以證

明.

典例2解析

直線l∥平面PAC,證明如下:因為E,F分別是PA,PC的中點,所以EF∥AC.又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(線面平行的判定定理)因為EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,(不需要作出直線l,只需要利用線面平行的性質

定理合理轉化即可)所以EF∥l.(線面平行的性質定理)因為l?平面PAC,EF?平面PAC,所以l∥平面PAC.(線面平行的判定定理)主編點評

在做線面平行的題目時,有時候會反復應用線面平行的判定定理和性質定理進行

平行關系的轉化,注意領悟線線平行與線面平行的相互轉化.平行關系的探索性問題有兩種形式,一種是在一條直線上確定是否存在某點,使過該點

的直線平行于一個固定平面,另一種是在一條直線上確定是否存在某點,使一條固定直線平

行于過該點的一個平面.求解時可先假設存在,再根據結論逆向推理,同時注意線面平行的性

質定理和判定定理的交替使用.2|線面平行中的探索性問題定點如圖,在三棱錐P-ABC中,點D,E分別為棱PB,BC的中點.在棱AC上是否存在點F,滿足AD

∥平面PEF?若存在,求出

的值;若不存在,說明理由.

典例

解析

存在F滿足AD∥平面PEF,且

=

.證明如下:假設存在點F滿足AD∥平面PEF,連接CD,交PE于G,連接FG.∵AD∥平面PEF,AD?平面ADC,平面ADC∩平面PEF=FG,∴AD∥FG.(