8.3.1

棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積【復(fù)習(xí)引入】前面我們學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐、棱臺的有關(guān)概念，還記得它們的底面、側(cè)面的結(jié)構(gòu)特征嗎？底面?zhèn)壤鈧?cè)面頂點(diǎn)棱柱1.上下底面是全等的多邊形；2.側(cè)面是平行四邊形.側(cè)棱側(cè)面底面頂點(diǎn)棱錐1.底面是多邊形；2.側(cè)面是共頂點(diǎn)的三角形.棱臺上底面下底面?zhèn)壤忭旤c(diǎn)1.上下底面是相似的多邊形；2.側(cè)面是梯形.本章的研究內(nèi)容和方法1.研究內(nèi)容：從對空間幾何體的整體觀察入手，研究它們的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)習(xí)它們的表示方法，了解它們的表面積和體積的計(jì)算；再借助長方體，從幾何體的基本元素點(diǎn)、線、面入手，研究它們的性質(zhì)以及互相之間的位置關(guān)系.2.基本研究方法：（1）研究途徑：整體到局部→局部到整體；（2）基本方法：直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算一、表面積的定義多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和.下面我們來研究多面體的表面積與體積的求法.棱柱棱錐棱臺

例2.

正六棱臺的上、下底面邊長為2和6，側(cè)棱長是5，則它的側(cè)面積為

.看清題目是求側(cè)面積還是求表面積!小結(jié)：（1）多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和.

即棱柱、棱錐、棱臺的表面積為它們的側(cè)面積和底面積之和.（2）求多面體的表面積就是轉(zhuǎn)化為三角形、矩形、梯形、四邊形、多邊形等平面

圖形的面積問題大家還記得以前學(xué)過的特殊棱柱——正方體、長方體的體積公式嗎？那一般的棱柱的體積公式是什么呢？體積是幾何體所占空間的大小.二、體積的定義思考：

如圖（1），取一堆規(guī)格一樣的本子放在桌面上組成一個(gè)幾何體，圖（1）圖（2）然后使它傾斜一個(gè)角度得到另外一個(gè)幾何體，

如圖（2），改變前后的體積一樣嗎？兩個(gè)幾何體的高度沒改變，每個(gè)本子的面積也沒改變祖暅[gèng]原理課本P121-123頁閱讀材料

我國古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之在計(jì)算圓周率等問題方面有光輝的成就.祖沖之的兒子祖暅也在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn).祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了這個(gè)體積計(jì)算原理.祖暅提出這個(gè)原理，要比其他國家的數(shù)學(xué)家早一千多年.在歐洲只到17世紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年--1647年）提出上述結(jié)論.（429年~500年）“冪勢既同，則積不容異”夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體（它們形狀可以不同），被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．規(guī)則的幾何體體積不規(guī)則的幾何體體積轉(zhuǎn)化棱柱被與底面平行的平面所截得的任一截面與底面全等，從而由祖暅原理可知，只要底面面積相等、高相等的兩個(gè)棱柱的體積則相等.棱柱體積

根據(jù)祖暅[gèng]原理，如何求它的體積？同底面積、等高的長方體根據(jù)祖暅[gèng]原理，任一棱柱的體積都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)與它底面積相等、高相等的長方體的體積.

棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離.1.棱柱的體積公式

“直”不一定“正”、但“正”一定是“直”根據(jù)祖暅[gèng]原理，任一棱錐的體積都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)與它底面積相等、高相等的三棱錐的體積.

ABCA’B’C’CA’B’ABA’C

“直”不一定“正”、但“正”一定是“直”++①②③探究棱錐與同底、等高的棱柱之間體積的關(guān)系根據(jù)祖暅[gèng]原理，棱錐①與棱錐③的體積相等①②棱錐①與棱錐②的底面積相等高也相等（

）根據(jù)祖暅[gèng]原理，棱錐①與棱錐②的體積也相等++一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么這個(gè)棱錐的體積棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離.2.棱錐的體積公式如果一個(gè)棱柱和一個(gè)棱錐的底面積相等、高也相等，那么該棱柱的體積是該棱錐的體積的3倍.棱柱、棱錐、棱臺之間的聯(lián)系上底面縮小，與下底面相似上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)

上底面擴(kuò)大，與下底面全等

頂點(diǎn)擴(kuò)大，上底面與下底面相似棱柱棱臺棱錐

棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離.

3.棱臺的體積公式(S′,S,h分別是棱臺的上下底面積和高)ADBCA′B′C′D′OO′P3.棱臺體積公式的證明課本154頁V棱柱＝ShV棱錐＝ShV棱臺

上底擴(kuò)大

上底縮小

棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關(guān)系？你用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？

解:由題意知所以這個(gè)漏斗的容積小結(jié)：(1)求組合體的體積關(guān)鍵要識別幾何體；(2)要記住，并準(zhǔn)確使用棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；(3)求棱柱、棱錐、棱臺的體積時(shí)要注意底面面積和高的計(jì)算.

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注：計(jì)算線段長度時(shí)將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形.

底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.練習(xí)2(課本119頁習(xí)題2)

如圖，將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截出一個(gè)棱錐，求棱錐的體積和剩下的幾何體體積的比.法一

直接計(jì)算.法二

利用三棱錐和其等底同高三棱柱之間的體積關(guān)系.【課堂小結(jié)】 掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的公式、求法以及它們體積之間的內(nèi)在關(guān)系.利用公式會求與多面體相關(guān)的簡單組合體的表面積與體積.3.求體積時(shí)重點(diǎn)在于求高，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形再進(jìn)行求解.課本第120頁綜合應(yīng)用練習(xí).

如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF=2，