2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的均值或期望的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量

的分布列求出均值或期望.

過程與方法：理解公式“E(a，+b)=aEX+b"，以及“若€B(n,p),則E

&=np”.能熟

練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與

人文

價(jià)值。

教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望

授課類型：新授課

課時(shí)安排：4課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用?個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量

隨機(jī)變量常用希臘字母g、n等表示

2.離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量

叫做離散型腐機(jī)變量

3.連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的

變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量

4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變

量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，

而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出

若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隕機(jī)變量并且不改變其屬性(離散型、連續(xù)型)

5.分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量E可能取得值為xLx2,…，x3,…，

;取每

一個(gè)值

xi

(1=1,

2,…

X\X2???*???

)的概

率為

,則

稱表

PRPz???Pi???

為隨機(jī)變量€的概率分布，簡(jiǎn)稱€的分布列

6.分布列的兩個(gè)性質(zhì):⑴Pi20,i=l,2,…：⑵P1+P2+…=1.

7.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)&是?個(gè)隨機(jī)變量.如果在?次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的

概率是P,那么在n次獨(dú)立重夏試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是

,(k=0,1,2,n,).

于

是

得

到

隨

機(jī)

變

量

€01k???n

的

概

率

分

布

如

下：

pC“pqcnpq…Cnpq…Cnpq

稱這樣的隨機(jī)變量g服從二項(xiàng)分布，記作g?B(n,「)，其中n,p為參數(shù)，并

記=b(k；n,p).

8.離散型隨機(jī)變量

的幾何分布：在獨(dú)

立重復(fù)試驗(yàn)中，某

事件第一次發(fā)生

時(shí)，所作試驗(yàn)的次

數(shù)，也是一個(gè)正整

數(shù)的離散型隨機(jī)變

量.””表示在

第k次獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)123…左…

生.如果把k次試

驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記

為、事件A不發(fā)

生記為，

P()=p，

P()=q(q=l-p),

那么

(k=0,1,2，…，

).于是得到隨機(jī)

變量&的概率分布

如下：

PP的q2p…qk-'p

稱這樣的隨機(jī)變量f服從幾何分布.

記作g(k,p)=,其中k=0,1,2,…，

二、講解新課：

根據(jù)

已知

隨機(jī)

變量

的分

布

列，

我們

可以

方便

的得

出隨

機(jī)變

量的

某些

制定

的概

券456789

但分

布列

的用

途遠(yuǎn)

不止

于

此，

例

如：

已知

某射

手射

擊所

得環(huán)

數(shù)&

的分

布列

如下

P0.020.040.060.090.280.290.22

在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù).這就是我們今天要

學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望

根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)€的分布列，

我們可以估計(jì)，在n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有

Pe=4)x〃=0.02〃次得4環(huán)；

P(4=5)x〃=0.04〃次得5環(huán)；

次得10環(huán).

故在〃次射擊的總環(huán)數(shù)大約為

4x().02x〃+5x().04x〃+…+10x().22x/7

從而，預(yù)計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為

這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相

應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平.

對(duì)于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)W的分布列，即已知各個(gè)(i=O,1,2,…,

10),我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)：

【.均值

或數(shù)

學(xué)期

望：

一般

地，若

離散

?哈X2???Xn???

型隨

機(jī)變

量&

的概

率分

布為

??????

PPl"2p?

則稱......為，的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望.

2.均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值

的平均水平

3.平均

數(shù)、均??????

?V1X1Xn

值:一

般地,

在有

限取

值離

散型

隨機(jī)

變量

已的

概率

分布

中,令

,則

有

???

9

所以

g的

數(shù)學(xué)

期望

又稱

為平

均數(shù)、

均值

4.均

值或

期望

的一

個(gè)性

質(zhì):若

（a、

b是常

數(shù)），

&是

隨機(jī)

變量.

則n

也是

隨機(jī)

變量，

它們

的分

布列

為

q

??????

naxt+bax2+bax”+b

pPiP2???Pn???

于是Eq=?+b)Pi+(ar,+b)p2+—+(axn+b)pn+…

=a(MPi+A：?"?+…+“+…)+〃(〃]+“2+…+P”+…)

由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì)：

5.若&B(n,p),則Eg=np

證明如下：

?,

r.OX+1X+2X+…+kX+…+nX.

又,

++…++…+

故若，~B(n,p),貝ijnp.

三、講解范例：

例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為

0.7,求他罰球一次得分的期望

解：因?yàn)椋?/p>

所以塔=lx0.7+0x(13=0.7?

例2.一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選

項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分學(xué)生甲

選對(duì)任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)母題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)

生甲和乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望

解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，則~B(20,0.9),,

.?.Eg=20x0.9=18,E〃=20x0.25=5?

由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5和5所以，

他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是：

E(5<)=5E?)=5x18=90,E(5〃)=5EQ?)=5x5=25?

例3.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)

某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.

為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：

方案1:運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元.

方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元.但圍墻只能防小洪水.

方案3:不采取措施，希望不發(fā)生洪水.

試比較哪一種方案好.

解：用XI、X2和X3分別表示三種方案的損失.

采用第I種方案，無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3800元，即

XI=3800.

采用第2種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2000+60000=62。00元：沒有大洪水時(shí)，損失

2000元，即

X=[62000,有大洪水：

2(2000,無(wú)大洪水.

同樣，采用第3種方案，有

60000,有大洪水；

%=?10000,有小洪水；

0,無(wú)洪水.

于是，

EXi=38OO,

EX2=62000XP(X2=62000)+200000XP(X2=2000)

=62000X0.01+2(X)0X(|-0.01)=2600,

EXs=60000XP(X3=60000)+IOOOOXP(X3=10000)+OXP(X3=0)

=60000X0.01+1(X)00X0.25=3100.

采取方案2的平均損大最小，所以可以選擇方案2.

值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來

理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2將會(huì)使損失減到最小.

由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案2

也不一定是最好的.

例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望

解：???，

.?&=1x1/6+2x1/6+…+6x1/6=3.5.

例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%,對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件,

如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次

求抽查次數(shù)的期望(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)

解：抽查次數(shù)取I10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出I件檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)

為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15.取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第

次(=1,2,…，10)取出次品的概率:

(=1,2,10)

需要12345678910

抽查

10次

即前

9次

取出

的都

是正

品的

概率:

由此

可得

的

概率

分布

如下：

0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316

根據(jù)以上的概率分布，可得的期望

黨=1x0.15+2x0.1275+…+10x0.2316=5.35.

例6.隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)€的數(shù)學(xué)期望.

解：

拋

擲

骰

子

所

得

點(diǎn)

數(shù)123456

€

的

概

率

分

布

為

666666

所以

EJ=1X—+2X—+3X—+4X—1-5XF6X一

666666

=（1+2+3+4+5+6）X=3.5.

拋擲骰子所褥點(diǎn)數(shù)C的數(shù)學(xué)期望.就是&的所有可能取值的平均值.

例7.某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛

路程超出4km,則按每超出1km加收2元計(jì)費(fèi)（超出不足1km的部分按1km計(jì)）.從這個(gè)城

市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km.某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由

于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程（這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按

1km路程計(jì)費(fèi)），這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程g是一個(gè)隨機(jī)變量.設(shè)他所收租車費(fèi)為

(1)求租車費(fèi)，7關(guān)于行車路程C的關(guān)系式;

(II)若隨機(jī)變量4的分布列為

e15161718

p0.10.50.30.1

求所收租車費(fèi)n的數(shù)學(xué)期望.

(IH)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛/15km,問出租車在

途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘？

解：(I)依題意得n=2(W4)+10,即n=2r2；

(II)^=15x0.1+16x0.5+17x0.3+18x0.1=16.4

???〃=2>2

E?=2優(yōu)+2=34.8(元)

故所收租車費(fèi)n的數(shù)學(xué)期望為34.8元.

(HI)由38=2g+2,得4=18,5(18-15)=15

所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘??

四、課堂練習(xí)：

1.口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5,從中任取3球，以表示取出球的最大號(hào)碼,

則()

A.4；B.5；C.4.5：D.4.75

答案:C

2.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的

概率為0.7,求

⑴他罰球1次的得分f的數(shù)學(xué)期望；

⑵他罰球2次的得分〃的數(shù)學(xué)期望：

⑶他罰球3次的得分&的數(shù)學(xué)期望.

解：⑴因?yàn)?，所以

E^=1XPC=1)+OXP?=0)=0.7

⑵n的概率分布為

〃012

PO.32C\x0.7x0.3O.72

所以O(shè)X+1X+2X=1.4.

⑶f的概率分布為

0123

P0.33C；x0.7x0.32C3X0.72X0.30.73

所以=0X0.027+1X().189+2X0.98=2.1.

3.設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個(gè).今取水1升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌

的個(gè)數(shù)為，求g的數(shù)學(xué)期望.

分析：任取1升水，此開水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是，事件“&=k”發(fā)生，即n個(gè)大腸

桿菌中恰有k個(gè)在此升水中，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A(在此升水中含一個(gè)大腸桿菌)

恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算方法可求出P(€=k),進(jìn)而可求E4.

解：記事件A:“在所?。?1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則P(A)=.

P(€=k)=Pn(k)=C)k(l—)n—k(k=0,1,2,-??.,n).

&?B(n,)，故E€=nX=

五、小結(jié)：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；

(2)求離散型隨機(jī)變量€的期望的基本步驟：①理解,的意義，寫出,可能取的全部值；②

求&取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出E1公式E(a

€+b)=aE€+b,以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望E€=np

六、課后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,234P69A組1,2,3

1.一袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的

數(shù)學(xué)期望是(用數(shù)字作答)

解：令取取

黃球個(gè)數(shù)

(=0、1、2)

則的要布012

列為

&

331

P

To5To

331

于是E(J)=0X—+1X-+2X—=0.8

“10510

故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為L(zhǎng)2

2.袋中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記。分，每取

到一個(gè)白球記1分，每取到一個(gè)紅球記2分，用表示得分?jǐn)?shù)

①求J的概率分布列

②求4的數(shù)學(xué)期望

解：①依題意的取值為0、1.2.3.4

=0時(shí),取2黑p(=0)=

=i時(shí),取1黑1白p(=1)=

=2時(shí),取2白或1紅1黑「(=2)=

=3時(shí),取1白1紅，概率耳=3)=

=4時(shí)，

取2紅，

概率

p(=4)=01234

4

111

p

36636

分布列為63

(2)期望E6=0XL+1X’+2XI+3X，+4X-!-=B

63366369

3.學(xué)校新進(jìn)了三臺(tái)投影儀用于多媒體教學(xué)，為保證設(shè)備正常工作，事先進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn)，已

知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為pl.p2.p3,求試驗(yàn)中三臺(tái)投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學(xué)期望

解：設(shè)表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺(tái)儀器出現(xiàn)故障(i=l.2.3)

表示第i臺(tái)儀器不出現(xiàn)故障，則：

p(^=l)=p(Ai?4)+p(A?A??A)+p(A?AA：J

A2?y2?

=Pl(l—P2)(1—Pi)+P2(l—Pl)(1—P3)+P：l(l—Pl)(1—P2)

=Pi+P2+P3-2Plp2—2p2P：L2p<pi+3pQP3

p(^=2)=p(Ai?A2?A)+p(Ai?A2?Ay)+p(A?A2?A3)

=p)p2(1-p；1)+pip；1(l—p2)+p2P3(1-p)

=P1P2+P1P3+p2P3—3Plp2P3

p(1=3)=p(Al?A2?A3)=p)p2p3

Ef=lXp（g=l）+2Xp（q=2）+3Xp（4=3）=P1+P2+P3?

注：要充分運(yùn)用分類討論的思想，分別求出三臺(tái)儀器中有一、二、三臺(tái)發(fā)生故障的概率后

再求期望

4.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)

期望是1.2

解：從5

個(gè)球中

同時(shí)取

出2個(gè)

球，出

012

現(xiàn)紅球

的分布

列為

&

1

2c=0.3

P4=?.i

c；

/.=0x0.1+1x0.6+2x0.3=1.2

5.、兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒

A隊(duì)隊(duì)員勝的概率B隊(duì)隊(duì)員勝的概率

乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)

員，隊(duì)隊(duì)員是，隊(duì)隊(duì)

員是，按以往多次比賽的

統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概

率如下：

對(duì)陣隊(duì)員

2

加對(duì)一

33

23

A2對(duì)B2

?5

23