*一.曲面方程的概念平面曲線、曲面S

與三元方程則方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的圖形。有下述關(guān)系：(1)

曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1);(2)

不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1),空間曲面是點(diǎn)的幾何軌跡。（純粹性）（完備性）

曲面及其方程

*1、球面方程（2）解：或在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究,有下列兩個(gè)基本問題:(2)

已知曲面的方程，求這方程所表示的曲面的形狀。(1)

已知曲面點(diǎn)的幾何軌跡，求曲面的方程；半徑為

R的球面

S

的方程.建立球心在例1

*若球心在原點(diǎn)，則從而球面的方程為半徑為R

的球面方程.方程(2)就是以球心,(3)為所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程。

已知求線段AB的垂直平分面的方程.

例2解：設(shè)*配方得半徑為的球面.解:原方程表示球心在點(diǎn)一般地，設(shè)有三元二次方程通過配方可以化成（2）的形式，那么它的圖形就是一個(gè)球面。

例3

方程表示怎樣的曲面?*這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面

叫做旋轉(zhuǎn)曲面，就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。二.旋轉(zhuǎn)曲面——通常多考慮以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)過M點(diǎn)做z軸的垂面，與z軸交于P（0,0,z）點(diǎn)，交曲線C于M1（0,y1,z）,顯然

(4)因?yàn)?，M1在曲線C上，其坐標(biāo)應(yīng)滿足即：P（x,y,z)*設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為*旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面的方程.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,解:

在坐標(biāo)面上，或這就是圓錐面的方程。P例4

直線L

繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)曲兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)，面叫圓錐面，兩直線的夾角叫做圓錐面的半頂角。讓L繞z軸旋轉(zhuǎn)*解：這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.例5面上的雙曲線分別繞軸和軸一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.將xOzy*三.柱面平行于z軸的直線l叫做它的母線。面上的圓叫做它的準(zhǔn)線，例6

方程表示怎樣的曲面?圓在面：解：

這曲面叫做圓柱面.這曲面可以看作是由平行于z

軸的直線沿面上的圓

平行移動(dòng)而成,在三維空間直角坐標(biāo)系中

其實(shí)在面內(nèi)的一條直線:繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面就是該圓柱面,則圓柱面方程為:即P11*

表示母線平行于

軸,準(zhǔn)線是

面上的拋物線的拋物柱面。表示母線平行于軸,準(zhǔn)線是面上的直線

過Z軸的平面。動(dòng)直線叫做柱面的母線。定義:

叫做柱面，定曲線

C

叫做柱面的準(zhǔn)線，形成的軌跡平行于定直線并沿定曲線C平行移動(dòng)的直線*方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線方程中缺哪個(gè)字母，母線平行于相應(yīng)的軸。P9*方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：其準(zhǔn)線是面上的曲(直)線:母線平行于軸的柱面,*小結(jié)：作業(yè):習(xí)題7-5

作業(yè)紙P50

下次交P49-501.曲面的概念2.球面方程3.平面方程4.旋轉(zhuǎn)曲面5.錐面的方程6.柱面方程設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于

軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線*一.空間曲線的一般式方程空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線.方程組(1)叫做空間曲線

C

的一般方程.第六節(jié)空間曲線及其方程*所以曲線C是圓柱面與平面的交線。解：表示母線平行于z

軸的圓柱面,其準(zhǔn)線是面上的圓,在原點(diǎn),半徑為1.圓心表示母線平行于y

軸的柱面,面上的直線，其準(zhǔn)線是它是一平面.例1

方程組表示怎樣的曲線?*方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。

解：

方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的上半球面；第二個(gè)方程表示母線平行于軸的圓柱面，它的準(zhǔn)線是面上的圓，

圓心在點(diǎn)半徑為例2

方程組表示怎樣的曲線？*二.空間曲線的參數(shù)方程叫做空間曲線的參數(shù)方程?！?當(dāng)

時(shí)，叫做螺旋線的螺距。取時(shí)間t

為參數(shù)，設(shè)當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于軸上的一點(diǎn)處，經(jīng)過時(shí)間

t，動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到記在面上的投影為所以解:例3構(gòu)成的圖形叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程。

如果空間一點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于軸的正方向上升，那么點(diǎn)則M’的坐標(biāo)為:P21*

設(shè)空間曲線的一般方程為（1）消去變量z

得方程（2）它必定包含方程（2）表示一個(gè)母線平行于軸的柱面，以曲線為準(zhǔn)線、母線平行于軸的柱面叫做曲線關(guān)于面的投影柱面。曲線投影柱面與面的交線叫做空間曲線

投影曲線，或簡(jiǎn)稱投影。在

面上的

三.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影投影柱面投影曲線注：曲線C和其投影都在其投影柱面內(nèi)。*方程（2）即而方程所表示的曲線為空間曲線在面上的投影。所表示的柱面即空間曲線關(guān)于面的投影柱面。面的投影柱面?在面上的投影?空間曲線關(guān)于空間曲線問題：*螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影（用直角坐標(biāo)方程表示）？（1）關(guān)于面的投影柱面：則在面上的投影為：（2）關(guān)于面的投影柱面：則在面上的投影為：（3）關(guān)于面的投影柱面：則在面上的投影為：P18*于是兩球面的交線在面上的投影方程為

解：從（1）式減去（2）式并化簡(jiǎn)得：方程為再以代入（1），柱面，的關(guān)于面的投影

得交線

例4

已知兩球面的方程為

（1）（2）求它們的交線在面上的投影方程。*例5

設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成，面上的投影。求它在消去z得因此交線C在面上的投影曲線為于是所求立體在面上的投影，所圍的部分：