曲面及其方程上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、曲面方程的概念

在空間解析幾何中,任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡.那么,方程F(x,y,z)

0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)

0的圖形.

(1)曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程F(x,y,z)

0;

(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足方程F(x,y,z)

0,曲面方程的定義

如果曲面S與三元方程

F(x,y,z)

0有下述關(guān)系:

下頁(yè)

例1

建立球心在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程.

解

設(shè)M(x,y,z)是球面上的任一點(diǎn),那么

|M0M|

R,或(x

x0)2

(y

y0)2

(z

z0)2

R2.

因?yàn)榍蛎嫔系狞c(diǎn)的坐標(biāo)一定滿(mǎn)足上述方程,而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程,所以上述方程就是所求的球面的方程.下頁(yè)

例2

設(shè)有點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,

1,4),求線段AB的垂直平分面的方程.

由題意知道,所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡.

設(shè)M(x,y,z)為所求平面上的任一點(diǎn),則有

|AM|

|BM|,等式兩邊平方,然后化簡(jiǎn)得

2x

6y

2z

7

0.這就是所求的平面的方程.下頁(yè)

解

(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),建立這曲面的方程;

(2)已知坐標(biāo)x、y和z間的一個(gè)方程時(shí),研究這方程所表示的曲面的形狀.研究曲面的兩個(gè)基本問(wèn)題

通過(guò)配方,原方程可以改寫(xiě)成

(x

1)2

(y

2)2

z2

5.

一般地,三元二次方程

Ax2

Ay2

Az2

Dx

Ey

Fz

G

0的圖形就是一個(gè)球面.首頁(yè)

例3

方程x2

y2

z2

2x

4y

0表示怎樣的曲面？

解二、旋轉(zhuǎn)曲面

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.

設(shè)yOz平面上有一曲線C,

它的方程為f(y,

z)

0.

曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面.

這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

設(shè)M(x,

y,

z)為曲面上任一點(diǎn),

它是曲線C上點(diǎn)M1(0,y1,z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.

因此有如下關(guān)系等式下頁(yè)

旋轉(zhuǎn)曲面的方程為下頁(yè)二、旋轉(zhuǎn)曲面

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.

設(shè)yOz平面上有一曲線C,

它的方程為f(y,

z)

0.

曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面.

提問(wèn):

曲線f(y,

z)

0繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是什么？

例4

試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為

的圓錐面的方程.

解

在坐標(biāo)面yOz內(nèi),與z軸夾角為

的直線的方程為z

ycot

,或

z2

a2(x2

y2),這就是所求的圓錐面的方程,其中a

cot

.下頁(yè)

曲線f(y,

z)

0繞z軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程分別為

解

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面首頁(yè)軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

例5

三、柱面

在空間直角坐標(biāo)系中,過(guò)xOy面上的圓x2

y2

R2作平行于z軸的直線l,

則直線l上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程x2

y2

R2,

這說(shuō)明直線l一定在x2

y2

R2表示的曲面上.

例6

方程x2

y2

R2表示怎樣的曲面？

因此這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線l沿xOy面上的圓x2

y2

R2移動(dòng)而形成的.

這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2

y2

R2叫做它的準(zhǔn)線,這平行于z軸的直線l叫做它的母線.下頁(yè)

解

平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線L叫做柱面的母線.柱面

上面我們看到,不含z的方程x2

y2

R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面,它的母線平行于z軸,它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓x2

y2

R2.

一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)

0,在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xOy面上的曲線C:F(x,y)

0.下頁(yè)

方程y2

2x表示母線平行于z軸的柱面,它的準(zhǔn)線是xOy面上的拋物線y2

2x,該柱面叫做拋物柱面.

方程x

y

0表示母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xOy面的直線x

y

0,所以它是過(guò)z軸的平面.柱面舉例下頁(yè)

在空間直角坐標(biāo)系中,方程G(x,z)

0和方程H(y,z)

0分別表示什么柱面？

方程

x

z

0表示什么柱面？

討論

方程G(x,z)

0表示母線平行于y軸的柱面.

方程H(y,z)

0表示母線平行于x軸的柱面.

方程x

z

0表示母線平行于y軸的柱面,其準(zhǔn)線是zOx面上的直線x

z

0.所以它是過(guò)y軸的平面.

提示

首頁(yè)四、二次曲面1.橢圓錐面截痕

當(dāng)t

0時(shí)

截痕為平面z

t上的橢圓

當(dāng)t

0時(shí)

截痕為一點(diǎn)(0

0

0)

橢圓錐面與平面z

t的截痕:橢圓錐面的形成>>>研究曲面的截痕法

>>>研究曲面的伸縮變形法

>>>下頁(yè)動(dòng)畫(huà)2.橢球面得旋轉(zhuǎn)橢球面得橢球面橢球面的形成下頁(yè)3.單葉雙曲面單葉雙曲面的形成得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面得單葉雙曲面下頁(yè)4.雙葉雙曲面雙葉雙曲面的形成繞x軸旋轉(zhuǎn),得雙葉雙曲面