極限計(jì)算考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)$x→0$時(shí)，$sinx$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.等價(jià)無窮小D.同階但非等價(jià)無窮小2.$\lim\limits_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}$等于（）A.0B.1C.2D.不存在3.$\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{1}{x})^x$等于（）A.0B.1C.eD.不存在4.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x→x_0}g(x)$不存在，則$\lim\limits_{x→x_0}[f(x)+g(x)]$（）A.存在B.不存在C.可能存在也可能不存在D.為05.當(dāng)$x→0$時(shí)，$1-cosx$是$x^2$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.等價(jià)無窮小D.同階但非等價(jià)無窮小6.$\lim\limits_{x→0}\frac{tanx}{x}$等于（）A.0B.1C.2D.不存在7.$\lim\limits_{x→2}\frac{x^2-4}{x-2}$等于（）A.0B.2C.4D.不存在8.若$\lim\limits_{x→a}f(x)=0$，則（）A.$f(x)$在$x=a$處有定義B.$f(x)$在$x=a$處連續(xù)C.當(dāng)$x→a$時(shí)，$f(x)$是無窮小D.當(dāng)$x→a$時(shí)，$f(x)$是無窮大9.$\lim\limits_{x→∞}\frac{2x+1}{3x-2}$等于（）A.0B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{2}$D.不存在10.$\lim\limits_{x→0}\frac{sin3x}{x}$等于（）A.0B.1C.3D.不存在答案：1-5：CCCBD；6-10：BCCBC二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下極限值為0的有（）A.$\lim\limits_{x→0}xsin\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x→∞}\frac{1}{x}sinx$C.$\lim\limits_{x→0}\frac{sinx}{x}$D.$\lim\limits_{x→∞}\frac{x}{sinx}$2.當(dāng)$x→0$時(shí)，下列是無窮小的有（）A.$x^2$B.$sinx$C.$e^x$D.$ln(1+x)$3.下列極限運(yùn)算正確的有（）A.$\lim\limits_{x→0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$B.$\lim\limits_{x→0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$C.$\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{2}{x})^x=e^2$D.$\lim\limits_{x→0}\frac{tanx}{sinx}=1$4.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A$，則（）A.當(dāng)$x→x_0$時(shí)，$f(x)-A$是無窮小B.存在$x_0$的某去心鄰域，$f(x)$有界C.$\lim\limits_{x→x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x→x_0^-}f(x)=A$D.當(dāng)$x→x_0$時(shí)，$f(x)$一定有定義5.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x→0}\frac{|x|}{x}$B.$\lim\limits_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}$C.$\lim\limits_{x→∞}\frac{3x^2+1}{2x^2-1}$D.$\lim\limits_{x→0}\frac{1}{x}$6.當(dāng)$x→0$時(shí)，與$x$等價(jià)的無窮小量有（）A.$arcsinx$B.$tanx$C.$e^x-1$D.$1-\sqrt{1-2x}$7.下列說法正確的有（）A.無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小B.兩個(gè)無窮小的和是無窮小C.兩個(gè)無窮大的和是無窮大D.無窮大的倒數(shù)是無窮小8.設(shè)$\lim\limits_{x→a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=A$，則（）A.$f(x)$在$x=a$處連續(xù)B.$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)C.$\lim\limits_{x→a}f(x)=f(a)$D.$f(a)$的導(dǎo)數(shù)為$A$9.下列極限中，可使用洛必達(dá)法則的有（）A.$\lim\limits_{x→0}\frac{sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x→0}\frac{x^2}{sinx}$C.$\lim\limits_{x→∞}\frac{x}{e^x}$D.$\lim\limits_{x→0}\frac{1-cosx}{x^2}$10.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x→x_0}g(x)$存在，則（）A.$\lim\limits_{x→x_0}[f(x)+g(x)]$存在B.$\lim\limits_{x→x_0}[f(x)-g(x)]$存在C.$\lim\limits_{x→x_0}[f(x)g(x)]$存在D.$\lim\limits_{x→x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$（$g(x_0)\neq0$）存在答案：1.AB；2.ABD；3.ABCD；4.ABC；5.BC；6.ABCD；7.ABD；8.ABCD；9.ABCD；10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=x_0$處一定有定義。（）2.當(dāng)$x→0$時(shí)，$x$是比$x^2$高階的無窮小。（）3.$\lim\limits_{x→∞}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$。（）4.兩個(gè)無窮小的商一定是無窮小。（）5.若$\lim\limits_{x→x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x→x_0^-}f(x)$，則$\lim\limits_{x→x_0}f(x)$存在。（）6.函數(shù)在某點(diǎn)處的極限存在，則該點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)。（）7.當(dāng)$x→∞$時(shí)，$\frac{1}{x}$是無窮小。（）8.$\lim\limits_{x→0}\frac{sin2x}{x}=2$。（）9.無窮大與無窮小互為倒數(shù)關(guān)系。（）10.若$\lim\limits_{x→a}f(x)$不存在，則$f(x)$在$x=a$處沒有定義。（）答案：1.×；2.×；3.√；4.×；5.√；6.×；7.√；8.√；9.×；10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述極限存在的充要條件。答案：函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是該點(diǎn)處的左極限和右極限都存在且相等，即$\lim\limits_{x→x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x→x_0^-}f(x)$。2.什么是無窮?。繜o窮小有哪些運(yùn)算性質(zhì)？答案：在某一過程中，極限為0的變量叫無窮小。性質(zhì)有：有限個(gè)無窮小的和、差、積是無窮??；無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小。3.等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中有什么作用？答案：在求極限時(shí)，可將極限式中的無窮小因子用其等價(jià)無窮小替換，簡(jiǎn)化計(jì)算。但要注意只可對(duì)乘積和商中的因子替換。4.簡(jiǎn)述利用洛必達(dá)法則求極限的條件。答案：首先是$\frac{0}{0}$型或$\frac{∞}{∞}$型未定式；其次分子分母在某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且分母導(dǎo)數(shù)不為0；最后分子分母導(dǎo)數(shù)比的極限存在或?yàn)闊o窮大。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}$在$x=0$處的極限是否存在。答案：計(jì)算左極限，$\lim\limits_{x→0^-}f(x)=\lim\limits_{x→0^-}(x-1)=-1$；右極限$\lim\limits_{x→0^+}f(x)=\lim\limits_{x→0^+}(x+1)=1$。左、右極限不相等，所以在$x=0$處極限不存在。2.討論當(dāng)$x→0$時(shí)，$1-\sqrt{1+x^2}$與$x^2$的無窮小關(guān)系。答案：求$\lim\limits_{x→0}\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x^2}$，分子有理化后可得極限為$-\frac{1}{2}$，不為0也不為1，所以當(dāng)$x→0$時(shí)，$1-\sqrt{1+x^2}$是與$x^2$同階但非等價(jià)無窮小。3.討論$\lim\limits_{x→∞}\frac{sinx}{x}$是否存在，若存在求其值。答案：因?yàn)?|sinx|\leq1$，即$sinx$有界，而當(dāng)$x→∞$時(shí)，$\frac{1}{x}$是無窮小。根據(jù)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮