2021－2022學(xué)年河南省平頂山市郟縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、，時，不是一元二次方程，不符合題意；B、原式整理為：，不是一元二次方程，不符合題意；C、，是一元二次方程，符合題意；D、，不是一元二次方程，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵．2.一種零件的長是2毫米，在一幅設(shè)計圖上的長是40厘米，這幅設(shè)計圖的比例尺是()A.200：1 B.2000：1 C.1：2000 D.1：200【答案】A【解析】【分析】圖上距離和實際距離已知，依據(jù)“比例尺”即可求得這幅設(shè)計圖的比例尺．詳解】因為2毫米=0.2厘米，則40厘米：0.2厘米=200：1；所以這幅設(shè)計圖的比例尺為200：1．故選A．【點睛】本題考查了比例尺的計算方法，解答時要注意單位的換算．3.有一首《對子歌》中寫道“天對地，雨對風(fēng)，大陸對長空”，現(xiàn)有四張書簽，除正面寫上“天”“地”“雨”“風(fēng)”四個字外其他均無區(qū)別．從這四張書簽中隨機抽取兩張，則抽到書簽正好配成“對子”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，在根據(jù)概率公式求解可得．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽到的書簽正好配成“對子”的有4種結(jié)果，所以抽到的書簽正好配成“對子”的概率為，故選B．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4.關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，下列說法正確的是（）.A.頻率等于概率B.當(dāng)實驗次數(shù)很大時，頻率穩(wěn)定在概率附近C.當(dāng)實驗次數(shù)很大時，概率穩(wěn)定頻率附近D.實驗得到的頻率與概率不可能相等【答案】B【解析】【詳解】A、當(dāng)實驗次數(shù)很大時，頻率穩(wěn)定在一個常數(shù)附近，可作為概率的估計值，不一定與概率相等，故A錯誤；B、正確；C、當(dāng)實驗次數(shù)很大時，隨機事件發(fā)生的概率是一個固定值，不會改變，故C錯誤；D、可以相同，如“拋硬幣實驗”，拋兩次，其中一次正面向上，可得到正面向上的頻率為0.5，與概率相同．故選：B．5.下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)根的判別式逐一判斷即可．【詳解】A.變形為，此時△=4-4=0，此方程有兩個相等的實數(shù)根，故選項A正確；B.中△=0-4=-4＜0，此時方程無實數(shù)根，故選項B錯誤；C.整理為，此時△=4+12=16＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項錯誤；D.中，△=4＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選項D錯誤.故選：A.【點睛】本題主要考查根的判別式，熟練掌握根的情況與判別式間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（）A.矩形 B.菱形C.正方形 D.有一內(nèi)角為60°的平行四邊形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進而得出四邊形一定是菱形．【詳解】解：∵分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四邊形ADBC一定是菱形，故選B．【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的判定，得出四邊形四邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．7.如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意，B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意，C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意，D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定，兩組角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．8.直角三角形的周長為，斜邊上的中線長為1，則該三角形的面積等于（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得斜邊的長為，設(shè)兩直角邊分別為，則，進而根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)完全平方公式即可求得的值，進而求得三角形的面積．【詳解】解：直角三角形的周長為，斜邊上的中線長為1，斜邊長為，設(shè)兩直角邊分別為，則，根據(jù)勾股定理得：，，，該三角形的面積，故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，完全平方公式的變形求值，三角形的面積公式，求得，是解題的關(guān)鍵．9.某商場在銷售一種糖果時發(fā)現(xiàn)，如果以20元/kg的單價銷售，則每天可售出100kg，如果銷售單價每增加0.5元，則第天銷售量會減少2kg.該商場為使每天的銷售額達到1800元，銷售單價應(yīng)為多少？設(shè)銷售單價應(yīng)為x元/kg，依題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銷售額=售價乘以銷售量列方程,求解即可;【詳解】解：設(shè)銷售單價應(yīng)為x元/kg,則銷售量為（）kg，依題意得：依題意得：故選:C【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,列出方程10.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，P是對角線BD上一點，于點E，于點F，連接AP，EF．給出下列結(jié)論：①；②四邊形PECF的周長為4；③一定是等腰三角形；④且；⑤的最小值為；其中正確結(jié)論的序號為（）A.①②③④ B.①②④⑤ C.②④⑤ D.①②④【答案】D【解析】【分析】①根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質(zhì)，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得PD=EC．②先證明四邊形PECF為矩形，根據(jù)等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)可得其周長為2BC，則四邊形PECF的周長為4；③根據(jù)P的任意性可以判斷△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四邊形PECF為矩形，則通過正方形的軸對稱性，證明AP=EF，證明∠PFH+∠HPF=90°，則AP⊥EF；⑤當(dāng)AP⊥BD時，即AP=BD=時，EF的最小值等于，即可判斷．【詳解】解：①如圖，

延長FP交AB于G，連PC，延長AP交EF于H，

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠DBC=45°

∴∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC=DF，

在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴PD=EC．

故①正確；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，

∴四邊形PECF為矩形，

∴四邊形PECF的周長=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，

故②正確；③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45°，

∴當(dāng)∠PAD=45°或67.5°或90°時，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，

故③錯誤．④∵四邊形PECF為矩形，

∴PC=EF，

由正方形為軸對稱圖形，

∴AP=PC，

∴AP=EF，

∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，

∴PG=PE，

∵AP=PC，∠AGP=∠EPF=90°，

∴△AGP≌△FPE（SAS），

∴∠BAP=∠PFE，

∵GF∥BC，

∴∠AGP=90°，

∴∠BAP+∠APG=90°，

∵∠APG=∠HPF，

∴∠PFH+∠HPF=90°，

∴AP⊥EF，

故④正確；⑤由EF=PC=AP，

∴當(dāng)AP最小時，EF最小，

則當(dāng)AP⊥BD時，即AP=BD=時，EF的最小值等于；

故⑤錯誤；

故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用．本題難度較大，綜合性較強，在解答時要仔細(xì)審題，解題的關(guān)鍵是作適當(dāng)?shù)妮o助線．二、填空題（本大題共5小題，每小題3，共15分）．11.若＝，則的值為______．【答案】4【解析】分析】由＝可得，代入計算即可.【詳解】解：∵＝，∴，則故答案為4.【點睛】此題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．12.四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，它們的面積比為9︰4，四邊形ABCD的周長是24，則四邊形A1B1C1D1的周長______．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方求出相似比，根據(jù)相似多邊形的周長之比等于相似比計算即可．【詳解】解：設(shè)四邊形A1B1C1D1的周長為x，

∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，它們的面積比為9：4，

∴四邊形ABCD的周長：四邊形A1B1C1D1的周長=3：2，

∴24：x=3：2，

解得，x=16，

故答案為：16．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．13.如圖，由6個小正方形組成的2×3網(wǎng)格中，任意選取5個小正方形并涂黑，則黑色部分的圖形是軸對稱圖形的概率是____．

【答案】【解析】【詳解】由題意可得：空白部分有6個位置，只有在1，2處時，黑色部分的圖形是軸對稱圖形，故黑色部分的圖形是軸對稱圖形的概率是：．故答案為．

14.有一個人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均一個人傳染了______個人．【答案】12【解析】【分析】設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，列方程求解【詳解】解：設(shè)平均一人傳染了x人，

x+1+（x+1）x=169

解得：x=12或x=-14（舍去）．

∴平均一人傳染12人．

故答案為：12．【點睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是看到兩輪傳染，從而可列方程求解．15.如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PB，PD．若，．則圖中陰影部分的面積為______．

【答案】10【解析】【分析】想辦法證明S△PEB=S△PFD解答即可．【詳解】作PM⊥AD于M，交BC于N．

則有四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，

∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，

∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5，

∴S陰=5+5=10，

故答案為10．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明S△PEB=S△PFD．三、解答題（本大題共8小題，共75分）．16.如圖，正方形網(wǎng)格中有一條簡筆畫“魚”，請你以點D為位似中心將其放大，使新圖形與原圖形的對應(yīng)線段的比是2：1，畫出符合條件的所有圖形．（不要求寫作法）【答案】見解析【解析】【分析】連接OA，OB，OC，OD并延長到OA′，OB′，OC′，OD′，使OA′，OB′，OC′，OD′的長度是OA，OB，OC，OD的2倍．順次連接各點．【詳解】圖形如下：【點睛】畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．17.(1)（x﹣2）2=9；（用直接開平方法）(2)x2﹣4x﹣1=0；（用配方法）(3)4x2+3x﹣2=0；（用公式法）(4)4（x+3）2=（x﹣1）2；（用因式分解法）【答案】(1)x1=5，x2=﹣1；(2)x1=2+，x2=2﹣；(3)x1=，x2=；(4)x1=﹣，x2=﹣7．【解析】【分析】（1）直接利用開平方法解方程；

（2）先變形為（x﹣2）2=5，然后利用配方法解方程；

（3）利用求根公式法解方程；

（4）先移項得到2（x+3）2﹣（x﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．【詳解】(1)（x﹣2）2=9，x﹣2=±3，∴x1=5，x2=﹣1；(2)x2﹣4x﹣1=0，（x﹣2）2=5，∴x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣；(3)4x2+3x﹣2=0，∵△=9+32=41＞0，∴x=，∴x1=，x2=；(4)4（x+3）2=（x﹣1）2；2（x+3）2﹣（x﹣1）2=0，（2x+6+x﹣1）（2x+6﹣x+1）=0，∴3x+5=0，或x+7=0，∴x1=，x2=﹣7．【點睛】本題考查的知識點是解一元二次方程的幾種常用方法，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法．18.已知關(guān)于x的方程．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若方程有實數(shù)根，求k的取值范圍．【答案】（1）且；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)k2≠0，即k≠0，根據(jù)△的意義得Δ＞0，解不等式組即可得到k的取值范圍；（2）分兩種情況：和，討論即可.【詳解】解：（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則解得且．（2）分兩種情況：①當(dāng)，即時，原方程為，有實數(shù)根，符合題意；②當(dāng)，即，原方程一元二次方程，由題意得，解得綜上可知，若原方程有實數(shù)根，則【點睛】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2?4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義以及分類討論思想的運用．19.如圖，在中，、分別是、的中點，連接并延長至點，使，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）探究：當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是矩形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時，四邊形是矩形．理由見解析【解析】【分析】（1）由三角形中位線可得出，且．再由題意即可得出，即可利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形是平行四邊形．（2）由題意易證，，再根據(jù)，即可由“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”證明四邊形是矩形．【詳解】證明：（1）∵、分別是、的中點，∴，且，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)時，平行四邊形是矩形．理由：∵，，∴∵、分別是，邊上的中點，∴，∵，∴四邊形是矩形．【點睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定．掌握特殊四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．20.“吾悅廣場”開展“有獎大酬賓”活動，凡在“吾悅廣場”消費的顧客，均可憑消費小票參與轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤抽獎活動．如圖，是一個材質(zhì)均勻可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成A、B、C、D、E五個扇形區(qū)域，依次寫有：綠茶、歡迎惠顧、紅茶、可樂和謝謝參與，如果轉(zhuǎn)到區(qū)域為“可樂”、“綠茶”、“紅茶”，則可領(lǐng)到對應(yīng)的獎品．若轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向兩區(qū)域的邊界，顧客可以再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，直到指針不指向邊界時停止．根據(jù)以上規(guī)則，回答下列問題：（1）小王同學(xué)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次獲得獎品的概率是．（2）小李同學(xué)有兩次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤抽獎的機會，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求小李同學(xué)獲得“至少領(lǐng)到一瓶可樂”的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式即可得出答案；

（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小李同學(xué)獲得“至少領(lǐng)到一瓶可樂”的情況，然后根據(jù)概率公式即可求得答案．【詳解】解（1）∵轉(zhuǎn)盤被等分成A、B、C、D、E五個扇形區(qū)域，轉(zhuǎn)到區(qū)域為“可樂”、“綠茶”、“紅茶”，則可領(lǐng)到對應(yīng)的獎品，∴小王同學(xué)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次獲得獎品的概率是．故答案為：；（2）根據(jù)題意畫圖如下：共有25種等情況數(shù)，其中小李同學(xué)獲得“至少領(lǐng)到一瓶可樂”的5種，則小李同學(xué)獲得“至少領(lǐng)到一瓶可樂”的概率是：．【點睛】此題考查的是樹狀圖法求概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.21.某學(xué)校計劃利用一片空地建一個學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，這堵墻的長度為12米．計劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長為26米，（1）為了方便學(xué)生出行，學(xué)校決定在與墻平行的一面開一個2米寬的門，那么這個車棚的長和寬分別應(yīng)為多少米？（2）如圖，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為54米，那么小路的寬度是多少米？【答案】（1）長為10米，寬為8米；（2）小路的寬為1米．【解析】【分析】（1）設(shè)與墻垂直的一面為x米，然后可得另兩面則為（26﹣2x+2）米，然后利用其面積為80，列出方程求解即可；（2）設(shè)小路的寬為a米，利用去掉小路的面積為54平米列出方程求解即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)與墻垂直的一面為x米，另一面則為（26﹣2x+2）米根據(jù)題意得：整理得：解得或，當(dāng)x＝4時，28﹣2x＝20＞12，不符合題意，舍去當(dāng)x＝10時，28﹣5x＝8＜12，符合題意∴長為10米，寬為8米．（2）設(shè)寬為a米，根據(jù)題意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，a2﹣14a+13＝0，解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，答：小路的寬為1米．【點睛】此題考查了一元二次方程與幾何圖形面積的應(yīng)用，理解題意找到題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22.閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)：數(shù)學(xué)活動：測量樹的高度在物理學(xué)中我們學(xué)過光的反射定律．?dāng)?shù)學(xué)綜合實踐小組想利用光的反射定律測量池塘對岸一棵樹的高度AB，測量和計算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點C處放置了一塊平面鏡，小華站在BC的延長線上，當(dāng)小華從平面鏡中剛好看到樹的頂點A時．測得小華到平面鏡的距離米，小華的眼睛E到地面的距離米；②將平面鏡從點C沿BC的延長線向后移動10米到點F處，小華向后移動到點H處時，小華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點A，這時測得小華到平面鏡的距離米；③計算樹的高度AB：設(shè)米，米．∵，∴∴……任務(wù)：請你根據(jù)材料中得到的測量數(shù)據(jù)和計算步驟，將剩余的計算部分補充完整．【答案】15米，見解析【解析】【分析】根據(jù)題意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性質(zhì)得出AB，BC的長進而得出答案．【詳解】解：設(shè)米，米．∵，，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，解得，把代入中得解得∴樹的高度AB為15米．【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．23.【教材呈現(xiàn)】如圖是某版九年級上冊數(shù)學(xué)教材的部分內(nèi)容．如圖1，先把一張矩形紙片ABCD上下對折后展開，折痕為MN；如圖2，再把點B疊在折痕線上，得到，過點B向右折紙片后展開，使D，Q，A三點仍保持在一條直線上，折痕為PQ．（1）求證：．（2）你認(rèn)為和相似嗎？如果相似，給出證明；如果不相似，請說明理由．【問題解決】（1）寫出教材中的第一問的證明過程．（2）小明同學(xué)對教材中的第二問進行作答，下面只給出了部分證明過程，請你結(jié)合小明的思路填空，將證明過程補充完整．判斷：和相似．證明：作的斜邊AB上的中線QF，如圖3所示，則．由題意得，．為______．______°，∵，______°，由翻折可知＝______°．∵，，∴．∴∠______．又∵，∴．【結(jié)論應(yīng)用】在圖2的基礎(chǔ)上，將紙片ABCD按圖4所示翻折，點C恰好