第5講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用[考情分析]1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).2.多以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)與不等式的證明規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題的方法(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)．(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論．(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．【母題．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．[子題1]（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，（）.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，分別記為，，且.（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）若不等式恒成立（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)的取值范圍.[子題2]（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．（2024上·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若，求證：；(3)在（2）的條件下，若方程兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為，，求證：.2．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．考點(diǎn)二：恒成立問題與能成立問題規(guī)律方法(1)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略①求最值法：將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題．②分離參數(shù)法：將參數(shù)分離出來，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的范圍．(2)不等式有解問題可類比恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別．[母題](2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(sinx,cos3x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)當(dāng)a＝8時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)<sin2x，求a的取值范圍．子題1]（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程(2)若對(duì)任意的恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值.[子題2]（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．（2024下·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式僅有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求a的取值集合；(2)證明：．4．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)，不等式恒成立．考點(diǎn)三：零點(diǎn)問題規(guī)律方法(1)求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個(gè)數(shù)問題的步驟①將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題．②利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)．③結(jié)合圖象求解．(2)已知零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍①結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點(diǎn)．②依據(jù)零點(diǎn)確定極值的范圍．③對(duì)于參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論．[母題]（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.[子題1]單選題（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．[子題2]（2024上·湖北襄陽·高三棗陽一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．(1)求單調(diào)性；(2)求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．（2024下·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．2．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動(dòng)點(diǎn).其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡稱不動(dòng)點(diǎn)，二階不動(dòng)點(diǎn)也稱為穩(wěn)定點(diǎn).(1)已知，求的不動(dòng)點(diǎn)；(2)已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證：“為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；(3)已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).3．（2024下·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，分析的單調(diào)性；(2)若，證明：在，內(nèi)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，并且這兩個(gè)零點(diǎn)互為相反數(shù).4．（2024上·河北石家莊·高三石家莊市第二十四