高等數(shù)學(xué)典型例題與解法（二）

第51講特殊高階方程的降階法

理學(xué)院朱健民教授

圖稱,學(xué)楨后大等

IM?W

主要內(nèi)容

，酊典型例題解析——]

第51講特殊高階方程的降I——內(nèi)容提要

1)V)=/(乃

解法：直接積分幾次即可得到原方程的通解

2)川=/(”》

特點(diǎn)：不顯含未知函數(shù)

解法：令y*=p(x),化成一階微分方程p4=f(x,p)來求解

3)8=f(y,y>

特點(diǎn)：不顯含自變量％?

解法：令y，p(y),則y72*=但.電=p電，

7八，7dxdydxdy',

p蟲=/(%p)@原方程可化為

一階制分方程打_____________________________

NATIONALUNIVERSrrYOFDEFENSETTL國防科學(xué)技術(shù)

第5二訃特殊高階方程的隆

d^y1d°y

例51.1求微分方程谷-7*=0的通解。

Q

dqy@dz1n

詈=z,-----z=0.

dx

【解】令d，dz股原方程可化為*

-=—?z=Cx

分離變量得z%即

=叔分得

q

積分四次后得到甯霰次考程fef遹窣#7'+Cx+C

C,C,C,C,CQ0q

g

NATIONALUNIVERSITYOFDEFENDF—W國防科學(xué)技才

其中□??g@是相互獨(dú)立的任意常數(shù)。

?舞51講特殊高階方程的降典型例題解析

例51.2求二階微分方程y徉0的通解。

【解】這是一個(gè)不顯含未知函數(shù)y的特殊二階微分方程，令y7匕p(x),

則原方程化成％?=p,分離變量并積分得到p=Cx，即y*=Cx，

LI人

直接積分得到原方程的通解

X"+2

y“=c.LTx)i

其中g(shù)。是相互獨(dú)立的任意常數(shù)。

NATIONALUNIVERSITYOFDEFENSETU7-國防科學(xué)技,

第5二訃特殊高階方程的隆

例51.3求二階微分方程yy7—(y)}^0的通解。

【解】這是一個(gè)不顯含自變量》的特殊二階微分方程，令y"=p(y)，

則dydpdydpdp

y=3^-==,==P丁.py-.----P=0.

力d\dydxdy于是，原方程變?yōu)閐y?

分兩種，宜外討論：.dpdpdy

p豐apy=_p_°-=—，y=p=Cy,

⑴口才時(shí)，聲程dy6可化為Py解得s□

—=Cdx,v=Ce.

分離變量得y□積分得到原方程的通解為'q□

p=0y=Cy—Ce■⑨

今午；甬宿漢

■■■■^■mhv旦.■*?fS-irffi==1clLI-溶出

NATIONALUNIVERSITYOFDEFL.國防科學(xué)技

第51講特殊高階方程的降典型例題解析

例51.3求二階微分方程yy7—(y0的通解。

【另解】若尸修。,則原方程可化

為y

231』即轉(zhuǎn)百°

61

Vdy1

—=C——=/dx

由此有y-A,分離變量有yc,積分得

x

呵y=Ce

即@口公⑨

若人r°,則y=，,包含在上述情形中。

NATIONALUNIVERSITYOFDEFENSE曬」國防科學(xué)技,

第5二訃特殊高階方程的隆

例51.4求三階微分方程y%7-3(y升能0的通解。

【解】如=y2則原方程化為z圣3(z)’‘"fc)=—,

令dzdpdp"

z==PM，zp==3p?

則”dp3

用H0于是原方程化為-=~dz,z=p=Cz,

dzPz1_

⑴□當(dāng)時(shí)，藥離鰥可得一才(￡分卷C*?

y積聳率M(7%+4+C,□即

x=Cy積份德/+C,C"C

□_

NATIONALUNIVERSITYOFDEFENSE國防科學(xué)技m

即所求通解為@q0g其中⑹0Q為任意常數(shù)c

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例51.4求二階微分方程y97―3(y升能0的通解.

7

1卜

【解】4z=y7\則原方程化為z*3(z)0,這是不顯含自變量的特殊

dzd^z_dpdp

p⑵菽，dx^~Pdz，于是原方程化為zp豆=3pq.

二階微分方程.令M----------------------------------

p=0z=0y=0

(2)□當(dāng)時(shí),此,二^工十即外，原方程的特解

為，

【續(xù)解】

Q

x=Cy+Cy+C

MiKi

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(1)口當(dāng)時(shí)，原方程的通解為q60

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例51.5求微分方程y*+(y辦"1滿足初始條件I時(shí)于0,y⑶磅=：0的特

解。XP（x）=y

廣?蟲樨方程變?yōu)?/p>

氏\口即加@dp

yI=o1一P0°，丁丁=改.

由初始條件t卅i+那二_?4分離變量得,“

=%+C.yI=0C=0

2

由方得1一口e―1再由初始條件7?1n知，

故y二黯.dy=》出+]dx=f―^dx.

）+c.的⑨丫%=°C=—ln2.

e+e

y=In