第06講雙曲線(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：雙曲線的定義及其應(yīng)用角度1：雙曲線定義角度2：利用雙曲線定義求軌跡方程角度3：利用雙曲線定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)角度1：漸近線角度2：離心率題型四：與雙曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語(yǔ)言表達(dá)式雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:.3、說(shuō)明若將定義中差的絕對(duì)值中的絕對(duì)值符號(hào)去掉,則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支;(2)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支.知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，,漸近線離心率，，間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三：等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：雙曲線的定義及其應(yīng)用角度1：雙曲線定義典型例題例題1．（2022·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高二期中（文））雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為6，則到右焦點(diǎn)的距離為（

）A． B．10 C．或10 D．例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)為3和5時(shí)，點(diǎn)的軌跡分別是（

）A．雙曲線的右支 B．雙曲線和一條射線 C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線例題3．（2022·四川·石室中學(xué)高二階段練習(xí)（理））雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為?點(diǎn)位于其左支上，則?（

）A．? B．? C．? D．?例題4．（2022·遼寧·昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，則為_____.同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿足動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．2．（2022·浙江·桐鄉(xiāng)市茅盾中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．或 D．或3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，若點(diǎn)滿足，則P點(diǎn)的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．一條射線4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線上，若，則______．角度2：利用雙曲線定義求軌跡方程典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題，結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解是（）A． B． C． D．例題2．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是___________.例題3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知圓：和圓：，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為______．例題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足.求點(diǎn)的軌跡方程.同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程（

）A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1C．x2－＝1(x1) D．－x2＝12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為______.【答案】3．（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為________.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，雙曲線上一點(diǎn)到的距離之差的絕對(duì)值等于，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．角度3：利用雙曲線定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題典型例題例題1．（2022·福建·永安市第九中學(xué)高二期中）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（

）A．90° B．45° C．60° D．30°例題2．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．例題3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作一條直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是___________.例題4．（2022·江蘇·高二期中）設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線上一點(diǎn)，若，則______．例題5．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，且，求的面積．同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．4 D．2．（2022·江蘇泰州·高二期中）橢圓與雙曲線有公共點(diǎn)P，則P與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成三角形的周長(zhǎng)為_________．3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過(guò)左焦點(diǎn)交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，若則等于________.4．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，實(shí)軸長(zhǎng)為4，過(guò)的直線與雙曲C線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若是和的等差中項(xiàng)，則的周長(zhǎng)為______．5．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線的離心率，左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則__________.題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例題1．（2022·江西撫州·高二期中）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長(zhǎng)為的橢圓方程是（

）A． B． C． D．例題3．（2022·北京市十一學(xué)校高二期中）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．例題4．（2022·上海市吳淞中學(xué)高三開學(xué)考試）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在的一條漸近線上，則的方程為（

）A． B． C． D．例題5．（2022·上海市控江中學(xué)高二期末）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．同類題型歸類練1．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若方程表示的圖形是雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜52．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．3．（2022·山西臨汾·二模（理））已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．或4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的下、上焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．5．（2022·上海市控江中學(xué)高二期中）已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.題型三：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)角度1：漸近線典型例題例題1．（2022·黑龍江·高二期中）已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·江蘇·南京師大附中高二期中）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的兩條漸近線與直線分別相交于，兩點(diǎn)，且線段的長(zhǎng)等于它的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．例題4．（2022·遼寧·鞍山一中高二期中）雙曲線，寫出一個(gè)與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程______．同類題型歸類練1．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高二期中）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線：有相同的漸近線，則雙曲線的焦距為（

）A．7 B．14 C． D．2．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二期中（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)F和兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇省儀征中學(xué)高二期中）已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離是1，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的離心率為B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．的漸近線方程為D．直線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn)4．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)（文））若雙曲線的一條漸近線方程為，則實(shí)數(shù)___________．角度2：離心率典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[，＋∞）例題2．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）設(shè)，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線與以為圓心為半徑的圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．13 D．例題3．（2022·江西撫州·高二期中）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，直線過(guò)原點(diǎn)且與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若直線與直線：相互垂直，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例題4．（2022·甘肅·蘭州五十一中高三期中（理））過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為______．例題5．（2022·湖北·高三期中）設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_______________.同類題型歸類練1．（2022·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是其漸近線上的一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．3 D．2．（2022·山東德州·高二期中）已知為雙曲線上點(diǎn)．則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為______.4．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高二期中）是坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)分別交于兩點(diǎn)，已知，且，則的離心率為______．5．（2022·四川·廣安二中高二期中（理））已知點(diǎn)為雙曲線的左支上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左，右焦點(diǎn)．且，則雙曲線的離心率為______．題型四：與雙曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：，點(diǎn)是的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)為右支上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．8 D．4例題4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)?分別為漸近線和雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，則取得最小值為___________.例題5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為______，最小值為______．同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則的最小