第28講妙用圓錐曲線三種定義解決圓錐曲線問題【典型例題】例1．（2024·廣東·一模）已知直線與橢圓在第一象限交于P，Q兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且滿足，則的斜率為.例2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線l（斜率為正）交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，滿足．設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．例3．（2024·云南·三模）在3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯編》中完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)是地，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例4．（2024·貴州黔西·一模）在正方體中，點(diǎn)為平面內(nèi)的一動點(diǎn)，是點(diǎn)到平面的距離，是點(diǎn)到直線的距離，且（為常數(shù)），則點(diǎn)的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線例5．（2024·高三·全國·課時練習(xí)）已知橢圓的左準(zhǔn)線為l，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的準(zhǔn)線也為l，焦點(diǎn)是，與的一個交點(diǎn)為點(diǎn)P，則的值等于（

）A． B． C．4 D．8例6．（2024·江西鷹潭·一模）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，如圖，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例7．（2024·上海楊浦·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，第一象限的、兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足，.若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.例8．（2024·浙江寧波·一模）已知A，B為橢圓上兩個不同的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，則．例9．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知是橢圓上的動點(diǎn)，，分別是其左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高三·全國·對口高考）若實數(shù)、、使得函數(shù)的三個零點(diǎn)分別為橢圓、雙曲線、拋物線的離心率、、，則、、的一種可能取值依次為（

）A． B．C． D．2．（2024·高三·遼寧沈陽·期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)A，直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若F恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3二、多選題5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，過且傾斜角為的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），P是橢圓C上任意一點(diǎn)，則（

）A．a(chǎn)，b滿足 B．的最大值為C．存在點(diǎn)P，使得 D．6．（2024·高二·遼寧大連·期末）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若P，Q為橢圓C上兩點(diǎn)，命題p：橢圓C的離心率．則下列說法正確的是（

）A．命題a：到定直線的距離與的比值為定值，則命題a是命題p的充要條件．B．命題b：的最大值等于，則命題b是命題p的必要不充分條件．C．命題c：，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)最大值為，則命題c是命題p的充分條件．D．命題d：，的垂直平分線交x軸于T，，則命題d是命題p的必要條件．7．（2024·山東濟(jì)南·一模）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點(diǎn)P向橢圓作切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)A在x軸的上方，則（）A．恒為銳角 B．當(dāng)垂直于x軸時，直線的斜率為C．的最小值為4 D．存在點(diǎn)P，使得8．（2024·高三·浙江·期中）人教A版選擇性必修第一冊在橢圓章節(jié)的最后《用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡：橢圓》中探究得出橢圓（）上動點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離和動點(diǎn)到直線的距離之比是常數(shù).已知橢圓：，為左焦點(diǎn)，直線：與軸相交于點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），分別過點(diǎn)，向作垂線，垂足為，，則（

）A． B．C．直線與橢圓相切時， D．9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（

）A．的周長為8B．的面積為C．該橢圓的離心率為D．若點(diǎn)為上一點(diǎn)，設(shè)到直線的距離為，則10．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)，為橢圓：的兩個焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．11．（2024·高二·江西南昌·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明，他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)的取值可能為（

）A． B．3 C． D．4三、填空題12．（2024·高三·河南·競賽）某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心F為焦點(diǎn)的橢圓，測得近地點(diǎn)A距離地面m（km），遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面n（km），地球半徑為R（km），關(guān)于這個橢圓有以下四種說法：①焦距長為n－m；②短軸長為；③離心率；④若以AB方向為x軸正方向，F(xiàn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與F對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，其中正確的序號為.13．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知F1、F2是橢圓5x2+9y2＝45的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是此橢圓上的一個動點(diǎn)，A（1，1）為一個定點(diǎn)，則|PA|+|PF1|的最大值為，的最小值為.14．（2024·湖南·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為，離心率．過頂點(diǎn)作，垂足為，則直線的斜率等于．15．（2024·高三·全國·開學(xué)考試）雙曲線C：的右準(zhǔn)線l：，l與C的漸近線的一個交點(diǎn)為，則C的方程為．16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．17．（2024·高三·黑龍江·階段練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)F作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且直線傾斜角為，則橢圓的離心率.18．（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為，則C的方程為.19．（2024·福建龍巖·一模）斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)分別是的重心，點(diǎn)是的外心.記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為.20．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.21．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓：的中心為，為左焦點(diǎn)，為橢圓上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的離心率為22．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為.23．（2024·高二·陜西榆林·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是離心率為的雙曲線上的三點(diǎn),直線的斜率分別是點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別是.若則24．（2024·高二·陜西榆林·期末）已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為