第30講等比數(shù)列1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.2.等比中項(xiàng)(1)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí).(2)在等比數(shù)列中，任取相鄰的三項(xiàng)，則是與的等比中項(xiàng)，即.3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.(2)等比數(shù)列的圖象是指數(shù)型函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn).4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.5.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)(1)若是等比數(shù)列，且，則;若，則.(2)等比數(shù)列中相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即仍是等比數(shù)列，公比為.(3)若(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列.(5)若是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)q≠-1或q=-1，且n為奇數(shù)時(shí)，仍成等比數(shù)列，其公比為.6.常用結(jié)論(1)為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列.(2)當(dāng)時(shí)，是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí).(3)等比中項(xiàng)法：在數(shù)列中，若，且，則是等比數(shù)列.考點(diǎn)一公式法求數(shù)列通項(xiàng)、基本量考點(diǎn)二定義法判斷等比數(shù)列考點(diǎn)三等比中項(xiàng)法判斷等比數(shù)列考點(diǎn)四等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)一：公式法求數(shù)列通項(xiàng)、基本量例1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)條件，列出關(guān)于公比的方程，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，首項(xiàng)，由，，成等差數(shù)列，則，則，，得（舍）或.故選：B例2．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意可得，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，解得，所以．故選：C．考點(diǎn)二：定義法判斷等比數(shù)列例3．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A．1458 B．1460 C．2184 D．2186【答案】A【分析】根據(jù)的關(guān)系確定數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由，可得，兩式相減可得，即，當(dāng)，所以數(shù)列從第二項(xiàng)開始，是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，故選:A.例4．若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則（

）A． B．1 C．6 D．12【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得數(shù)列是公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，即即數(shù)列是公比的等比數(shù)列，又，可得；將代入計(jì)算可得.故選：D考點(diǎn)三：等比中項(xiàng)法判斷等比數(shù)列例5．已知角的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對(duì)于ABC，舉反例排除即可；對(duì)于D，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，令，則，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榻堑慕K邊不在坐標(biāo)軸上，所以，，，所以，即，則，所以一定成等比數(shù)列，故D正確.故選：D.考點(diǎn)四：等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，再由可得最終結(jié)果.【詳解】由題意知：，，成等比數(shù)列，，解得：或；，.故選：A.例7．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．80 B．30 C．26 D．16【答案】B【分析】據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)特點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，也為等比數(shù)列，又，該等比數(shù)列第一項(xiàng)，第二項(xiàng).則公比，，.故選：B.一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，公比，且，則（

）A．3 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】，.故選:B.2．明代朱載堉發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長(zhǎng)之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應(yīng)鐘的波長(zhǎng)成等比數(shù)列，且大呂和林鐘的波長(zhǎng)分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長(zhǎng)之積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列的第一項(xiàng)和第四項(xiàng)用通項(xiàng)公式可求出公比，進(jìn)而求出第二項(xiàng)和第五項(xiàng)可得答案.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，則，即，則夾鐘和南呂的波長(zhǎng)分別為，，故夾鐘和南呂的波長(zhǎng)之積為.故選：B.3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得，所以，故選：A4．若成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：（1）;（2）;（3），必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為()，利用等比數(shù)列的定義即可結(jié)合所給式子進(jìn)行判斷.【詳解】成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則均不為0，且，，故成等比數(shù)列，且公比為，因此成等比數(shù)列，且公比為，，當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，且公比為，但當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，故選：C5．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于等差數(shù)列基本量的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，所?故選：A6．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，公差是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A． B．C．當(dāng)，時(shí)，取得最大值 D．當(dāng)時(shí)，的最大值為21【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比中項(xiàng)的定義、等差數(shù)列的前項(xiàng)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，由，有，，當(dāng)，時(shí)，取得最大值，，的最大值為，故選：D7．下列命題中正確的是（

）A．若a，b，c是等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c是等比數(shù)列B．若a，b，c是等比數(shù)列，則log2a，log2b，log2c是等差數(shù)列C．若a，b，c是等差數(shù)列，則2a，2b，2c是等比數(shù)列D．若a，b，c是等比數(shù)列，則2a，2b，2c是等差數(shù)列【答案】C【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算律，再根據(jù)等差中項(xiàng)判斷等差數(shù)列和等比中項(xiàng)判斷等比數(shù)列的方法即可得到答案.【詳解】若，則對(duì)數(shù)無意義，A,B錯(cuò)誤；對(duì)C，若a，b，c是等差數(shù)列，則，所以，正確；對(duì)D，若，則，顯然，錯(cuò)誤.故選：C.8．正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則等于（）A．90 B．50C．40 D．30【答案】B【分析】由，可得，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，解得?舍).故選：B.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（

）A． B．43 C． D．41【答案】A【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)成等比數(shù)列即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，仍成等比數(shù)列．因?yàn)?，所以，所以，故．故選：A.二、多選題10．已知是等比數(shù)列，，，則公比（

）A． B． C．2 D．【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】由題意可得，解得或故選：AD11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗；禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升、b升、c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（

）A．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列 B．a(chǎn)，b，c依次成公比為的等比數(shù)列C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件判斷的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的知識(shí)求得，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以依次成公比為的等比數(shù)列，，即.所以BD選項(xiàng)正確.故選：BD12．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比中項(xiàng)可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和結(jié)合作差法逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，成等比數(shù)列，則，可得，整理得，由，則，則.對(duì)A、B：若，即，故，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：若，即，故，D正確，C錯(cuò)誤；故選：AD.三、解答題13．已知數(shù)列滿足：.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和的表達(dá)式.【答案】(1)證明見解析；(2)；【分析】（1）由等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由等差和等比的求和公式計(jì)算.【詳解】（1）由題意可知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，即前項(xiàng)和.14．在等比數(shù)列{an}中，(1)已知，求前4項(xiàng)和；(2)已知公比，前5項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得解；（2）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】（1）設(shè)公比為，由，的，所以，所以；（2）由，得，所以.15．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)運(yùn)用等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出；(2)根據(jù)條件求出的通項(xiàng)公式，再分組求和.【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，，解得，；（2），.；綜上，16．在數(shù)列中，，，．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用，化簡(jiǎn)可知，進(jìn)而可知數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列；（2）通過可知，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．【詳解】（1）證明：又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，即，.17．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．【答案】(1)6(2)1或【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得.（2）根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得.【詳解】（1）依題意，由于，所以兩式相除得，.（2）依題意，即，，解得或.18．已知等差數(shù)列滿足，前4項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列關(guān)于和的方程組，解方程求得和的值，即可求解；（2）等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，解方程求得和的值，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為d．∵∴解得：∴等差數(shù)列通項(xiàng)公式（2）設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為q∵∴解得：即或∴等比數(shù)列通項(xiàng)公式或19．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)已