第31講阿基米德三角形、雙切線問(wèn)題、定點(diǎn)定值定直線問(wèn)題【典型例題】例1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（

）A． B． C． D．例2．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線在第一象限相切于點(diǎn)P，并且與直線和x軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q．過(guò)點(diǎn)B作交PF于點(diǎn)C，若，則等于（

）附加結(jié)論：拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，以A，B為切點(diǎn)的切線PA，PB相交于點(diǎn)P，我們稱弦AB為阿基米德的底邊．

定理：點(diǎn)P的坐標(biāo)為；推論：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為.A． B． C． D．例3．（多選題）（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）為拋物線的弦，，分別過(guò)作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過(guò)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．底邊的直線方程為；C．是直角三角形；D．面積的最小值為.例4．（2024·山西臨汾·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于M，Q兩點(diǎn)，且．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P是C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線AB的距離的最大值．例5．（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知拋物線與雙曲線有共同的焦點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值.例6．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線上有一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，，且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)向圓（點(diǎn)在圓外）引兩條切線，交拋物線于另外兩點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).例7．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，都在軸上方，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請(qǐng)你給出結(jié)論并證明.例8．（2024·高三·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓長(zhǎng)軸的左右頂點(diǎn)分別為，短軸的上下頂點(diǎn)分別為，四邊形面積為，橢圓的離心率是．

(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．例9．（2024·高二·江西九江·期末）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)過(guò)軌跡上一個(gè)定點(diǎn)引它的兩條弦，，若直線，的斜率存在，且直線的斜率為證明：直線，的傾斜角互補(bǔ)．例10．（2024·廣東湛江·一模）已知為雙曲線上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，且直線與的斜率之和為．(1)求雙曲線的方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角分別為和，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為拋物線的弦，，分別過(guò)作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過(guò)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．底邊的直線方程為；C．是直角三角形；D．面積的最小值為.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如何計(jì)算一個(gè)橢圓的面積？這個(gè)問(wèn)題早已在約2000年前被偉大的數(shù)學(xué)、物理學(xué)先驅(qū)阿基米德思考過(guò)．他采用“逼近法”，得出結(jié)論：一個(gè)橢圓的面積除以圓周率等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．即．那如何計(jì)算它的周長(zhǎng)呢？這個(gè)問(wèn)題也在約400年前被我國(guó)清代數(shù)學(xué)家項(xiàng)名達(dá)思考過(guò)．一個(gè)橢圓的周長(zhǎng)等于其短半軸長(zhǎng)為半徑的圓周長(zhǎng)加上四倍的該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的差．即．若一個(gè)橢圓的面積為，那么其周長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）（多選）如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線相交于點(diǎn)P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（

）

A．若弦過(guò)焦點(diǎn)，則為直角三角形且B．點(diǎn)P的坐標(biāo)是C．的邊所在的直線方程為D．的邊上的中線與y軸平行（或重合）4．（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).若弦過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．若，則點(diǎn)處的切線方程為C．存在點(diǎn)，使得D．面積的最小值為45．（2024·高二·四川樂(lè)山·期末）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力．設(shè)拋物線（），弦過(guò)焦點(diǎn)，為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．點(diǎn)在拋物線（）的準(zhǔn)線上B．存在點(diǎn)，使得C．D．面積的最小值為6．（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的方程為B．點(diǎn)都在曲線內(nèi)部C．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則D．若，則的最小值為三、解答題7．（2024·高三·重慶·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)直線上任一點(diǎn)作該直線的垂線，，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)．(1)當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)向圓引兩條切線，與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．（i）證明：直線與圓也相切；（ii）求周長(zhǎng)的最小值．8．（2024·高三·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）已知為拋物線上的兩點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程.(2)已知圓的兩條切線，且與分別交于點(diǎn)和.（i）證明：為定值.（ii）求的最小值.9．（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓過(guò)點(diǎn)，和，且圓與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn).(1)求圓和拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，分別做拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，試判斷直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，如果是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由．10．（2024·四川成都·二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，證明點(diǎn)在定圓上，并求定圓方程11．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知拋物線上任意一點(diǎn)滿足的最小值為（為焦點(diǎn)）.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與物線交于兩點(diǎn)，求證：；(3)過(guò)作一條傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過(guò)分別作拋物線的切線.兩條切線交于點(diǎn)，過(guò)任意作一條直線交拋物線于，交直線于點(diǎn)，則滿足什么關(guān)系？并證明.12．（2024·黑龍江·二模）已知是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為．(1)求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值．13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，過(guò)的左焦點(diǎn)且垂直于一條漸近線的直線分別交兩條漸近線于點(diǎn)，（，在軸同側(cè)），且．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)探究圓：上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)作雙曲線的兩條切線，互相垂直，并說(shuō)明理由．14．（2024·山東臨沂·一模）動(dòng)圓與圓和圓都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，求的最大值.15．（2024·廣東廣州·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程：(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍：(3)已知點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓，使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)能作圓的兩條切線，時(shí)（其中，分別是兩切線與的另一交點(diǎn)），總滿足？若存在，求出圓的半徑：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．（2024·四川涼山·二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到：橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積．已知是橢圓C：的左焦點(diǎn)，且橢圓C的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，，以為直徑的圓與橢圓C在x軸上方交于M，N兩點(diǎn)，求的值17．（2024·高三·河北衡水·階段練習(xí)）著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開(kāi)拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓：．(1)求的面積；(2)若直線交于兩點(diǎn)，求．18．（2024·河南開(kāi)封·二模）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C，當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD的面積為4．(1)求p的值；(2)過(guò)拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率的取值范圍．19．（2024·高三·上海浦東新·期中）已知橢圓，點(diǎn)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若橢圓上點(diǎn)滿足，求的值；(2)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)在軸上，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知為常數(shù)，過(guò)點(diǎn)且法向量為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)滿足（），求的最大值.20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦距為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.證明：直線必過(guò)定點(diǎn).21．（2024·青?！ひ荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄AM過(guò)點(diǎn)，且與直線相切．(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率分別為，的直線AB，AD，與C分別交于點(diǎn)B，D，當(dāng)直線BD恒過(guò)定點(diǎn)時(shí)，證明：．22．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知橢圓的焦距為6，圓9與橢圓C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知?jiǎng)又本€過(guò)曲線的左焦點(diǎn)F，且與橢圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2024·全國(guó)·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).24．（2024·新疆塔城·二模）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，分別與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，求證：直線的傾斜角為定值.25．（2024·陜西榆林·二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)，且.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于點(diǎn)，試問(wèn)線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.26．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為0．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若過(guò)原點(diǎn)O的兩條不同直線，與C分別交于點(diǎn)，和，，且點(diǎn)P到，的距離均為，判斷是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．（2024·高三·云南·階段練習(xí)）已知A，B，C是拋物線上三點(diǎn)，且，，垂足為D.(1)當(dāng)C的坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)D的軌跡方程；(2)當(dāng)C的坐標(biāo)為時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得為定值，若存在，求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.28．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．29．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積S是定值．30．（2024·河南·一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為e且，點(diǎn)D為E上一動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為，過(guò)的直線，分別與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），與直線交于M，N兩點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為11.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線的垂線，垂足為H.(1)求橢圓E的方程；(2)問(wèn)：平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.31．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為．點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是0．(1)證明是一個(gè)雙曲線并求其離心率；(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，點(diǎn)到直線的距離為（點(diǎn)在的右支上），證明：；(3)設(shè)的兩條漸近線分別為，過(guò)分別作的平行線分別交于點(diǎn)，則平行四邊形的面積是否是定值？若是，求該定值；若不是，說(shuō)明理由．32．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）求的取值范圍.33．（2024·全國(guó)·一模）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)Q在橢圓上，且，．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為，，P為該橢圓上異于，的任一點(diǎn)，直線，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，若直線OT與經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén)．證明：線段O