小波閾值濾波法的實(shí)驗(yàn)探究案例1.1小波基函數(shù)的選取小波基函數(shù)的選取是利用小波變換去噪的第一步，與標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉變換相比,小波變換中使用到的小波函數(shù)具有不唯一性,即小波函數(shù)具有多樣性。小波分析在工程應(yīng)用中,一個(gè)十分重要的間題就是最優(yōu)小波基的選擇問(wèn)題,常用小波基有Har小波、Daubechies(db）小波、MexicanHat小波、SymletsA小波、hat(mexh)小波、Morlet小波、Meyer小波等等。小波基函數(shù)按連續(xù)性分類可以分為兩類：連續(xù)小波基和離散小波基。因?yàn)榧す饫走_(dá)回波信號(hào)是離散的所以要用離散小波基，Daubechies小波基和SymletsA小波基是比較常用的離散小波基。symletsA小波基源自于daubechies小波基，是db小波基進(jìn)一步發(fā)展的產(chǎn)物，擁有很好的正交性和對(duì)稱性，非常適合對(duì)激光雷達(dá)回波信號(hào)進(jìn)行去噪處理。因此本課題決定選用sym小波函數(shù)作為小波基。symlet小波系通常表示為symN(N=2,3,…,8)。symN小波的支撐范圍為2N-1，消失矩為N，同時(shí)也具備較好的正則性。一般來(lái)說(shuō)，隨著小波階數(shù)的增大，波形會(huì)變得更加平滑，信噪比也會(huì)隨之提升。下面分別使用sym5小波基和sym8小波基（采用軟閾值函數(shù)，閾值采用自適應(yīng)閾值）對(duì)激光雷達(dá)回波信號(hào)進(jìn)行去噪處理來(lái)驗(yàn)證此結(jié)論，去噪效果圖如下所示：圖4.14sym5小波基去噪結(jié)果圖4.15sym8小波基去噪結(jié)果Fig4.14sym5denoiseresultsFig4.15sym8denoiseresults由上圖可以看出sym8小波基的去噪效果要明顯優(yōu)于sym5小波基的去噪效果，所以本課題采用sym8小波基來(lái)進(jìn)行激光雷達(dá)回波信號(hào)的去噪處理。1.2小波分解層數(shù)的選取在確定了小波基的類型之后，還需要確定分解層數(shù)。不同的分解層數(shù)會(huì)產(chǎn)生不同的去噪效果，噪聲分布在整個(gè)小波域中，隨著分解層數(shù)的增加，噪聲會(huì)逐漸變?nèi)?。?dāng)分解層數(shù)較小時(shí)，噪聲不能得到有效的抑制；當(dāng)分解層數(shù)較大時(shí)，會(huì)降低去噪信號(hào)信噪比。小波分解層數(shù)通常為3-6，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，本課題選擇分解層數(shù)為5層。1.3小波閾值函數(shù)的選取小波閾值函數(shù)可以分為硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)兩種，兩種閾值函數(shù)各有不同的算法，硬閾值函數(shù)的計(jì)算公式如式（4.15），軟閾值函數(shù)的計(jì)算公式如式（4.16）：式（4.15）式（4.16）式中，λ是閾值，ω（j,k）是分解后的小波系數(shù)，ωh(j,k)或ωs(j,k)是閾值處理后的小波系數(shù)。硬閾值將模小于閾值λ的點(diǎn)置零，留下了不小于λ的點(diǎn)，再對(duì)剩下的點(diǎn)進(jìn)行重構(gòu)處理，從而實(shí)現(xiàn)硬閾值去噪，硬閾值函數(shù)在變換域中具有不連續(xù)的函數(shù)特性，使得去噪效果有很大局限性，造成幅值較大的噪聲的存留，且去噪后的信號(hào)存在較大的方差。軟閾值函數(shù)，是為了解決硬閾值函數(shù)“一刀切”導(dǎo)致的影響。軟閾值函數(shù)將模小于λ的點(diǎn)置零，而將模不小于λ的做一個(gè)比較特殊的處理，經(jīng)過(guò)軟閾值函數(shù)的作用，小波系數(shù)在小波域就比較光滑了，因此用軟閾值去噪得到的圖象看起來(lái)很平滑，但軟閾值函數(shù)也有缺點(diǎn)，其存在著恒定偏差，會(huì)導(dǎo)致信號(hào)部分高頻信息的丟失，使得重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生一定的誤差。下面選用sym8小波基對(duì)米散射激光雷達(dá)距離平方校正信號(hào)進(jìn)行5層分解，選用自適應(yīng)閾值，并采用軟硬兩種閾值函數(shù)分別進(jìn)行去噪處理，去噪效果圖如下圖所示：圖4.16硬閾值函數(shù)去噪結(jié)果圖4.17軟閾值函數(shù)去噪結(jié)果Fig4.16HardthresholdresultsFig4.17SoftThresholdresults由上述仿真結(jié)果可以看出軟閾值函數(shù)去噪效果明顯優(yōu)于硬閾值函數(shù)的去噪效果，所以本課題后續(xù)測(cè)試采用軟閾值函數(shù)來(lái)進(jìn)行仿真。1.4小波閾值的選取及信號(hào)重構(gòu)小波閾值濾波法對(duì)激光雷達(dá)回波信號(hào)的重構(gòu)效果主要取決于閾值的選取。閾值過(guò)小，會(huì)導(dǎo)致噪聲去除不充分；閾值過(guò)大，則會(huì)損失掉一部分高頻信號(hào)。目前使用的閾值可以分為全局閾值和局部適應(yīng)閾值兩類。其中,全局閾值是對(duì)各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)不同方向的小波系數(shù)都選用同一個(gè)閾值，而局部閾值是根據(jù)不同層不同方向分別選取閾值。下面列出幾種常見(jiàn)閾值的計(jì)算公式：全局閾值(Sqtwolog)式（4.17）式中，M為信號(hào)長(zhǎng)度，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算方式如下所示：式（4.18）式中，ω為小波分解低頻系數(shù)。（2）最小最大化閾值(Minimaxi)式（4.19）式中，N為信號(hào)長(zhǎng)度，σ為噪聲方差。（3）自適應(yīng)閾值(Rigrsure)式（4.20）對(duì)其中一個(gè)閾值進(jìn)行平方根計(jì)算：式（4.21）用自適應(yīng)閾值對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理會(huì)產(chǎn)生一定風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算公式如下所示：式（4.22）求出kmin，則自適應(yīng)閾值為：式（4.23）在以上閾值中,全局閾值計(jì)算最簡(jiǎn)單,但是它趨向于“過(guò)扼殺”小波系數(shù),在重構(gòu)時(shí)會(huì)導(dǎo)致較大誤差:最小最大化閾值由于基于悲觀決策的思想,也會(huì)“過(guò)扼殺”部分小波系數(shù)。自適應(yīng)閾值是將每級(jí)尺度都視為相互獨(dú)立的個(gè)體,根據(jù)每級(jí)尺度上小波系數(shù)幅值的不同特點(diǎn),分別在每層分解3個(gè)方向,即水平方向、豎直方向和對(duì)角方向,并且在每個(gè)方向上尋找一個(gè)與之最匹配的閾值來(lái)進(jìn)行去噪,這樣就可以把所有方向的噪聲分離出來(lái)，因此自適應(yīng)閾值的去噪效果最好。1.5仿真結(jié)果對(duì)比下面采用sym8小波基對(duì)米散射激光雷達(dá)距離平方校正信號(hào)進(jìn)行5層分解，分別選取了3種不同的閾值進(jìn)行軟閾值函數(shù)處理以得到重構(gòu)的原始信號(hào)，并計(jì)算信噪比。圖4.18全局閾值去噪效果圖4.19全局閾值誤差Fig4.18SqtwologdenoiseresultsFig4.19errorofsqtwolog圖4.20最小最大化閾值去噪結(jié)果圖4.21最小最大化閾值誤差Fig4.20MinimaxidenoiseresultsFig4.21errorofminimaxi圖4.22自適應(yīng)閾值去噪結(jié)果圖4.23自適應(yīng)閾值誤差Fig4.22RigrsuredenoiseresultsFig4.23errorofrigrsure由表4.3可知，采用自適應(yīng)閾值去噪的信號(hào)信噪比最高，最小最大化閾值次之，全局閾值最低，該仿真結(jié)果與理論結(jié)果吻合。閾值全局閾值最小最大化閾值自適應(yīng)閾值信噪比/dB20.6121.5723.30表4.3不同閾值下的信噪比Table4.3SNRofdifferentthresholds4.5自適應(yīng)濾波法自適應(yīng)濾波法是對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理的動(dòng)態(tài)濾波方法，使信號(hào)的特性達(dá)到了預(yù)期的輸出。自適應(yīng)濾波法需要不停改變的參數(shù)，來(lái)保持最佳濾波效果。在信號(hào)去噪處理中，由于信號(hào)特性的變化是非常快的，這就需要利用快速收斂的自適應(yīng)去噪算法。自適應(yīng)算法原理圖如圖4.7所示。圖4.24自適應(yīng)濾波算法原理圖Fig4.24Schematicdiagramofadaptivefilteringalgorithm本文總結(jié)了LMS和RLS兩種自適應(yīng)噪聲抵消算法的基本原理和算法，并通過(guò)MATLAB仿真進(jìn)行對(duì)比。4.5.1最小均方算法（LMS）最小均方(LMS)算法是一種搜索算法,它通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)修改,以簡(jiǎn)化梯度向量的計(jì)算。通過(guò)尋找產(chǎn)生誤差信號(hào)的最小均方相關(guān)的濾波器參數(shù)(期望信號(hào)與實(shí)際信號(hào)之間的差)來(lái)模擬期望獲得的濾波器，實(shí)質(zhì)上是用平方誤差來(lái)代替均方誤差。

由于多方面的原因,LMS算法是自適應(yīng)濾波理論中應(yīng)用最廣泛的算法。其中最主要的優(yōu)勢(shì)包括計(jì)算復(fù)雜度低、在平穩(wěn)環(huán)境中易于收斂、能夠無(wú)偏收斂到維納解、利用有限精度實(shí)現(xiàn)時(shí)算法的穩(wěn)定特性等等。濾波器中的x(n)與y（n）的關(guān)系如下所示：式(4.24)濾波器輸出的誤差如下所示：式（4.25）LMS算法迭代公式如下所示：式（4.26）式中的μ為步長(zhǎng)因子。步長(zhǎng)因子對(duì)收斂速度有很大的影響，收斂速度即一個(gè)迭代序列向其局部最優(yōu)值逼近(假設(shè)計(jì)算過(guò)程收斂,并能達(dá)到最優(yōu)值)的速度,是評(píng)價(jià)一個(gè)迭代法于該問(wèn)題中發(fā)揮的性能的一個(gè)重要指針，當(dāng)步長(zhǎng)很小時(shí)，隨著步長(zhǎng)增加，收斂時(shí)間t逐漸減少，但是當(dāng)步長(zhǎng)超過(guò)某一值時(shí)，信號(hào)的噪聲又會(huì)增大，再接著增加步長(zhǎng)，甚至?xí)言夹盘?hào)也濾掉。所以若步長(zhǎng)值取的過(guò)小，收斂速度就會(huì)過(guò)于緩慢，但取的過(guò)大時(shí)，又會(huì)造成系統(tǒng)收斂的不穩(wěn)定，導(dǎo)致發(fā)散。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，本課題將步長(zhǎng)因子定為0.008。4.5.2遞歸最小二乘算法（RLS）遞歸最小二乘算法是在最小均方算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)來(lái)的。采用RLS算法求最小二乘法解，可以求已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的最優(yōu)擬合曲線，從而使曲線上各點(diǎn)的偏移誤差的平方和達(dá)到最小。其基本原理是：在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)，對(duì)所有已知輸入信號(hào)通過(guò)重新評(píng)估的平方誤差進(jìn)行加權(quán)，并且使它達(dá)到最小值，這就能讓RLS算法在處理非因果穩(wěn)定的信號(hào)時(shí)得到更好的效果。遞歸最小二乘算法是所有傳統(tǒng)二乘算法中最穩(wěn)定的。RLS算法的先驗(yàn)誤差如下所示：式（4.27）RLS算法的迭代公式如下所示：式（4.28）其中SD（n）的表達(dá)式如下所示：式（4.29）式中的RD（n）為輸入信號(hào)的確定性相關(guān)矩陣。RLS算法在運(yùn)算過(guò)程中，因?yàn)槠湓鲆嬖谔幚磔斎氩煌男盘?hào)會(huì)自動(dòng)調(diào)節(jié)，相較于LMS算法，雖然計(jì)算復(fù)雜且費(fèi)時(shí)，但去噪效果要強(qiáng)于LMS算法。RLS在輸出誤差信號(hào)時(shí)，收斂速度較快，收斂精度高且穩(wěn)定性更好，還可以明顯地抑制加速度收斂過(guò)程，所以，RLS在對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的濾波上適應(yīng)能力更強(qiáng)，也更穩(wěn)定。由于激光雷達(dá)回波信號(hào)也是非平穩(wěn)信號(hào)，可以預(yù)測(cè)到RLS算法對(duì)激光雷達(dá)回波信號(hào)的去噪效果要強(qiáng)于LMS算法。4.5.3仿真結(jié)果對(duì)比圖4.25LMS算法去噪結(jié)果圖4.26LMS誤差Fig4.25LMSalgorithmdenoiseresultsFig4.26errorofLMS圖4.27RLS算法去噪結(jié)果圖4.28RLS誤差Fig4.27RLS