鄭州市重點(diǎn)中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為（）A.3 B.27C.-9 D.92．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C.0 D.13．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)T在拋物線C的準(zhǔn)線上，線段FT與拋物線C的交點(diǎn)為W，，則（）A.1 B.C. D.5．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)6．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線(，)的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.4C.6 D.97．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，中點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.8．已知圓，若存在過點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.9．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.10．函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)11．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、都有，記，，，則（）A. B.C. D.12．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知△ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是______14．直線被圓所截得的弦的長(zhǎng)為_____15．已知橢圓，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，是左頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則________16．已知曲線，①若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上；②若，則是圓，其半徑為；③若，則是雙曲線，其漸近線方程為；④若，，則是兩條直線.以上四個(gè)命題，其中正確的序號(hào)為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）線段上是否存在點(diǎn)F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由.18．（12分）已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意的正整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且是的中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.21．（12分）已知直線，以點(diǎn)為圓心的圓C與直線l相切（1）求圓C的標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)的直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，且，求的方程22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累乘值，并判斷滿足時(shí)輸出的值【詳解】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得，時(shí)，不滿足條件，；不滿足條件，；不滿足條件，；滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為27故選：2、B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.【詳解】，則，則，故選：B3、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點(diǎn)即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A4、B【解析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知得：，該拋物線的準(zhǔn)線方程為：，所以設(shè)，因?yàn)椋?，由拋物線的定義可知：，故選：B5、C【解析】根據(jù)莖葉圖依次計(jì)算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【詳解】甲的平均數(shù)為：；乙的平均數(shù)為：；甲和乙的平均數(shù)相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數(shù)為：；乙的中位數(shù)為：；甲和乙的中位數(shù)不相同.故選：C.6、A【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進(jìn)而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C的離心率.故選：A.7、D【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D8、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)?，所以，而，或，所以，故選：D9、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過點(diǎn)且，將點(diǎn)代入方程，故離心率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目10、B【解析】利用極值點(diǎn)的定義求解.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象知：函數(shù)在內(nèi)，與x軸有四個(gè)交點(diǎn)：第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)有2個(gè)，故選：B11、A【解析】由題，可得是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，由題，得，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，因此，，，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小的問題，其中涉及到構(gòu)造函數(shù)的運(yùn)用.12、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則不等式不成立；對(duì)于B，若，則不等式不成立；對(duì)于C，若均為負(fù)值，則不等式不成立；對(duì)于D，不等號(hào)的兩邊同乘負(fù)值，不等號(hào)的方向改變，故正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，需熟練掌握性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】由周長(zhǎng)確定，故軌跡是橢圓，注意焦點(diǎn)位置和摳除不符合條件的點(diǎn)即可.【詳解】解：，所以，，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是.故答案為：.【點(diǎn)睛】考查橢圓定義的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.14、【解析】圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，因此所求弦長(zhǎng)為考點(diǎn)：1．圓的方程；2．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法；15、##【解析】先求出頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線直線與的斜率，利用到角公式求出的正切值，進(jìn)而求出正弦值.【詳解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.故答案為：16、①③④【解析】通過m，n的取值判斷焦點(diǎn)坐標(biāo)所在軸，判斷①，求出圓的半徑判斷②；通過求解雙曲線的漸近線方程，判斷③；利用，，判斷曲線是否是兩條直線判斷④【詳解】解：①若，則，因?yàn)榉匠袒癁椋海裹c(diǎn)坐標(biāo)在y軸，所以①正確；②若，則C是圓，其半徑為：，不一定是，所以②不正確；③若，則C是雙曲線，其漸近線方程為，化簡(jiǎn)可得，所以③正確；④若，，方程化為，則C是兩條直線,所以④正確；故答案為：①③④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面向量的法向量和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)面距離（2）假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在且滿足，由題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定滿足題意的點(diǎn)是否存在【小問1詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槿切问堑妊苯侨切?，所以，因?yàn)槊婷?，面面面，所以平面，又因?yàn)椋运倪呅问蔷匦?，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：據(jù)此可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得，從而，又，故求點(diǎn)到平面的距離【小問2詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題意，點(diǎn)在線段上，則，即：，，，，，據(jù)此可得：，，從而，，，，設(shè)與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）據(jù)此可知，存在滿足題意的點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即18、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得，解方程得，，進(jìn)而得，故恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)或4時(shí)，取得最小值，進(jìn)而得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知，.聯(lián)立方程組，解得，.所以，，由題意，即.令，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向?yàn)檩S，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】取AC的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，.設(shè)平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個(gè)法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.20、（1）；（2）【解析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)x=2是的一個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)x=2是導(dǎo)數(shù)為0的根即可求b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出函數(shù)的極值點(diǎn)，通過比較極值與端點(diǎn)值的大小從而確定出最大值.【小問1詳解】由題設(shè)，.∵x=2是的一個(gè)極值點(diǎn)，∴x=2是的一個(gè)根，代入解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知：，則.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+遞減遞增∵當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，即在(1,2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，即在(2,3)上單調(diào)遞增.∴當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，函數(shù)的最大值為與中的較大者.∴函數(shù)的最大值為.21、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑，即可得到圓C的標(biāo)方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求出圓心C到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合分類討論思想即可求出【小問1詳解】設(shè)圓C的半徑為r，∵C與l相切，∴，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】由可得圓心C到直線的距離∴當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，其方程為，此時(shí)圓心到的距離為3，符合條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，圓心C到直線的距離，解得，此時(shí)的方程為，即綜上，的方程為或22、