河南省洛陽(yáng)市2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣22．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.3．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A.25 B.26C.27 D.284．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.1 D.25．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，過(guò)左焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)鈾的長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的均有成立，且，，則該數(shù)列的前2022項(xiàng)和（）A0 B.1C.3 D.48．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.9．下列說(shuō)法或運(yùn)算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角”時(shí)需設(shè)“一個(gè)三角形沒(méi)有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切10．在中，，，，若該三角形有兩個(gè)解，則范圍是（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.12．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)滿足，且，則的最小值為_(kāi)__________.14．圓心在x軸上且過(guò)點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是______15．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.16．如圖，在等腰直角中，，為半圓弧上異于，的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半圓弧繞旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列判斷：①存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，使得；③四面體的體積既有最大值又有最小值：④若二面角為直二面角，則直線與平面所成角的最大值為45°.其中正確的是______（請(qǐng)?zhí)钌纤心阏J(rèn)為正確的結(jié)果的序號(hào)）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)，并求對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線方程18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值19．（12分）已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an+bn}前n項(xiàng)和Tn.20．（12分）已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，求21．（12分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長(zhǎng)（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長(zhǎng)度最大，并求最大值22．（10分）已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得.故選：A.2、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：則x的最大值是故選：D.3、C【解析】根據(jù)通項(xiàng)公式及求出，從而求出前8項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故選：C4、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€，，且，所以，故選：D.5、C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C6、B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)軸的長(zhǎng)，，，故選：B7、A【解析】根據(jù)可知，數(shù)列具有周期性，即可解出【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列中的項(xiàng)具有周期性，，由，，依次對(duì)賦值可得，，一個(gè)周期內(nèi)項(xiàng)的和為零，而，所以數(shù)列的前2022項(xiàng)和故選：A8、C【解析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得故選：C.9、D【解析】對(duì)于A：可以解決；對(duì)于B:“一個(gè)三角形至少由兩個(gè)銳角”的反面是“只有一個(gè)銳角或沒(méi)有銳角”；對(duì)于C：全稱否定必須是全部否定；對(duì)于D：需要觀察出所給直線是過(guò)定點(diǎn)的.【詳解】A：，故錯(cuò)誤；B：“一個(gè)三角形至少由兩個(gè)銳角”的反面是“只有一個(gè)銳角或沒(méi)有銳角”，所以用反證法時(shí)應(yīng)假設(shè)只有一個(gè)銳角和沒(méi)有銳角兩種情況，故錯(cuò)誤；C：的否定形式是，故錯(cuò)誤；D：直線是過(guò)定點(diǎn)（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點(diǎn)（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故正確；故選：D.10、D【解析】根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】三角形有兩個(gè)解，，即.故選：D.11、D【解析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對(duì)三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.12、B【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，得極值，并求出端點(diǎn)處函數(shù)值比較后可得最小值【詳解】解：因?yàn)椋谑呛瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，得函數(shù)在區(qū)間上的最小值是故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】化簡(jiǎn)得出，由化簡(jiǎn)后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為6.故答案為：614、【解析】確定x軸上一個(gè)點(diǎn)做圓心，求出半徑，再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】以x軸上的點(diǎn)為圓心，則半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：15、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋坏仁胶愠闪?，只要即可，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為：.16、①②④【解析】①當(dāng)D為中點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí),可證得四邊形ABCD為正方形即可判斷①；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上（不含端點(diǎn)）時(shí)，可知平面ABC，可證得平面CDB，即可判斷②；③，研究臨界值即可判斷③；④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點(diǎn)時(shí)，直線DB與平面ABC所成角的最大，作圖分析驗(yàn)證可判斷④.【詳解】①當(dāng)D為中點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí),連結(jié)BD，交AC于，則為AC中點(diǎn)，此時(shí)，且,所以四邊形ABCD為正方形，所以AB//CD，故①正確；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上（不含端點(diǎn)）時(shí)，此時(shí)有：平面ABC，，又因?yàn)椋云矫鍯DB，所以，故②正確；③，當(dāng)平面平面ABC，且D為中點(diǎn)時(shí)，h有最大值；當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)h有最小值0，此時(shí)為平面圖形，不是立體圖形，故四面體D-ABC無(wú)最小值，故③錯(cuò)誤.④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點(diǎn)時(shí)，直線DB與平面ABC所成角的最大，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO，則，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以為直線DB與平面ABC所成角，設(shè)，則，，所以為等腰直角三角形，所以，直線與平面所成角的最大值為45°，故④正確.故答案為：①②④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由，變形為求解直線過(guò)的定點(diǎn)，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時(shí)求解.【小問(wèn)1詳解】解：，所以，令，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓可變形為，因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線和圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】法一：圓心為，到距離為，圓心與連線的斜率為，最短弦與圓心和的連線垂直，所以，所以最短弦長(zhǎng)為，直線的方程為法二：圓心到直線距離：，，要求d的最大值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，d的最大值為，所以最短弦長(zhǎng)為，直線的方程為.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進(jìn)而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因?yàn)樗倪呅沃校傻?，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因?yàn)槠矫娴酌妫矫娴酌?，底面ABCD，所以平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB，所以，因?yàn)?，，所以平面PBD因?yàn)槠矫鍼BD，所以，即是直角三角形【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫娴酌?，平面底面，所以底?以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，所以，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為19、(1)；(2).【解析】(1)根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；(2)根據(jù)已知求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合(1)中結(jié)論并利用分組求和法求解即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即，解得，所以.故答案為：.(2)因?yàn)?，所以為等差?shù)列，因?yàn)?，，所以公差，?所以.故答案為：.20、（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，.【小問(wèn)2詳解】，，，.21、（1）服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米（2）時(shí)，折線賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通