2026屆江蘇省蘇州大學附屬中學高二上數(shù)學期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.2．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定3．直線被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.4．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形5．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.6．如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.7．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}8．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點P滿足，則（）A. B.1C. D.29．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.3210．袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（）A. B.C. D.11．若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.12．橢圓：的左焦點為，橢圓上的點與關(guān)于坐標原點對稱，則的值是（）A.3 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為__________14．已知直線l：和圓C：，過直線l上一點P作圓C的一條切線，切點為A，則的最小值為______15．設(shè)點是雙曲線上的一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，已知，且，則雙曲線的離心率為________16．設(shè)為曲線上一點，，，若，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若,,求18．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設(shè)曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點P，Q，點A(0,1)，當|AP|=|AQ|時，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）定義：設(shè)是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標為（1）求向量在基底下的坐標；（2）求向量在基底下的模20．（12分）(1)已知命題p：；命題q：，若“”為真命題，求x的取值范圍(2)設(shè)命題p：；命題q：，若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍21．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.22．（10分）已知曲線上任意一點滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點分別是，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.2、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A3、A【解析】求得圓心坐標和半徑，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：A.4、B【解析】利用誘導公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B5、D【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，可設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因為橢圓的面積為，可得，即，聯(lián)立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.6、A【解析】分別取的中點，易得，則點為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，設(shè)外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點，在等邊三角形中，，是中位線，則都是等邊三角形，所以，所以點為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，由為的中點，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，則，設(shè)外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷7、D【解析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因為，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集的定義和并集運算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標表示列方程，結(jié)合點P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D9、D【解析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】因為隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3個，所以由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為，故選：A11、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點問題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：當直線經(jīng)過時最大，即，當直線與下半圓相切時最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.12、D【解析】令橢圓C的右焦點，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓C的右焦點，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長半軸長，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作出線性約束條件的可行域，再利用截距的幾何意義求最小值；【詳解】約束條件的可行域，如圖所示：目標函數(shù)在點取得最小值，即.故答案為：14、1【解析】求出圓C的圓心坐標、半徑，再借助圓的切線性質(zhì)及勾股定理列式計算作答.【詳解】圓C：，圓心為，半徑，點C到直線l的距離，由圓的切線性質(zhì)知：，當且僅當，即點P是過點C作直線l的垂線的垂足時取“=”，所以的最小值為1故答案為：115、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.16、4【解析】化簡曲線方程，得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點，且分別為該雙曲線的左、右焦點，則，.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時要先化簡曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項和公比來表示，解方程組得到基本量，可得到通項公式（2）化簡通項得，根據(jù)特點求和時采用錯位相減法求解試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點：1．等比數(shù)列通項公式；2．錯位相減求和18、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應用向量垂直的坐標表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設(shè)直線y=kx+m(k≠0)，聯(lián)立方程整理所得方程有，且由根與系數(shù)關(guān)系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點結(jié)合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關(guān)系，結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設(shè)kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點睛】思路點睛：1、由向量垂直，結(jié)合其坐標表示得到關(guān)于x，y的方程，寫出曲線C的標準方程即可.2、由直線與曲線C相交，聯(lián)立方程有，由|AP|=|AQ|得直線的垂直關(guān)系，即斜率之積為-1，進而可求參數(shù)的范圍.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)向量在基底下的坐標為，得出向量在基底下的坐標；（2）根據(jù)向量在基底下的坐標直接計算模即可【小問1詳解】因為向量在基底下坐標為，則，所以向量在基底下的坐標為.【小問2詳解】因為向量在基底下的坐標為，所以向量在基底下的模為.20、（1）（2）【解析】根據(jù)復合命題的真值表知：p真q假；非q是非p的充分不必要條件，等價于p是q的充分不必要條件，等價于p是q的真子集【詳解】命題p：，即；命題，即；由于“”為真命題，則p真q假，從而由q假得，，所以x的取值范圍是命題p：，即命題q：，即由于是的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件即有，【點睛】本題考查了復合命題及其真假屬基礎(chǔ)題21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標系，先求出面與面的法向量，再計算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法