哈爾濱市第九中學(xué)校2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．弧度的角的終邊在第幾象限？（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．34．把函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱后得到的圖象，則的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于（

）A．x軸對稱 B．y軸對稱 C．原點(diǎn)對稱 D．直線對稱5．函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．6．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)?，若?，則?的最小值為（

）A．? B．? C．? D．?8．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)從小到大依次為，，，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．已知與120°角的終邊關(guān)于x軸對稱，則是第二或第四象限角B．若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大C．點(diǎn)P從位置出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為D．的值是正數(shù)10．下列各式正確的是（

）A．已知，，則B．已知，則C．若，，則D．11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，滿足是奇函數(shù)，若．則下列結(jié)論正確的（

）A． B．在上單調(diào)遞減C． D．三、填空題12．已知是奇函數(shù)，則．13．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則不等式的解集為．14．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．四、解答題15．（1）求值．（2）已知，求的值．16．已知關(guān)于x的二次方程.（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，求m的取值范圍；（2）若方程兩根均在區(qū)間內(nèi)，求m的取值范圍.17．已知函數(shù)．(1)若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的范圍；(2)若，的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，，解不等式．18．習(xí)近平總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山.”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.工業(yè)部表示，到年中國的汽車總銷量將達(dá)到萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一.江蘇某新能源公司某年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺(tái)元，到第年年末每臺(tái)設(shè)備的累計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用為元，每臺(tái)充電樁每年可給公司收益元.（）(1)每臺(tái)充電樁第幾年年末開始獲利；(2)每臺(tái)充電樁在第幾年年末時(shí)，年平均利潤最大.19．已知定義在上的函數(shù)，，．(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；(2)若對，，不等式總成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若的最大值為，求的解析式．

1．D根據(jù)負(fù)角或象限角的定義判斷.【詳解】因?yàn)樨?fù)角是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角，所以角是以軸的非負(fù)半軸為始邊，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得到的角，所以終邊落在第四象限.故選：D.2．A根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)求解.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，所以函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過定點(diǎn).故選：A3．B先求出函數(shù)的定義域?yàn)?，根?jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系，令，解方程再配合函數(shù)的定義域即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，可化為，即，解得或，又，則，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.4．D求出函數(shù)解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)即可得到其圖象關(guān)于直線對稱.【詳解】由題意知，.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（且）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.故選：D.5．A根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B、D項(xiàng)，再由的函數(shù)值的分布，可判定選項(xiàng)A符合題意，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可排除B、D項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，可得，所以，所以選項(xiàng)A中的圖象符合題意，故函數(shù)的圖象為選項(xiàng)A.故選：A.6．C根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上的圖象位于的圖象的下方，畫出和的圖象，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，其中，要使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，只需在上的圖象位于的圖象的下方，如圖所示，畫出函數(shù)和的圖象，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的圖象位于的圖象的上方，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，只需，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.7．A由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，然后結(jié)合乘1法，利用基本不等式可求.【詳解】因?yàn)閿?shù)，若所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A8．C畫出函數(shù)的圖象，可得，且，進(jìn)而可得恒成立，求出的最大值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的最小值．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：當(dāng)方程有四個(gè)不等實(shí)根時(shí)，，即，，即，且，若不等式恒成立，則恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故，故實(shí)數(shù)k的最小值為，故選：C．9．AC根據(jù)終邊相同角及象限角可判斷A；由扇形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)最值可判斷B；根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可判斷C；根據(jù)各象限角的三角函數(shù)符號(hào)可判斷D.【詳解】對于A，∵與120°角的終邊關(guān)于x軸對稱，∴則與的終邊在同一條直線，∴是第二或第四象限角，故A正確；對于B，設(shè)扇形的半徑為弧長為，由題意知，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，.故B不正確；對于C，設(shè)，依題意可知，且Q在第一象限.所以，故C正確；對于D，是第二象限角，，故D不正確.故選：AC.10．ABD利用換底公式和對數(shù)的運(yùn)算即可判斷AD，利用指數(shù)的運(yùn)算即可判斷B，利用指數(shù)與對數(shù)互化結(jié)合指數(shù)運(yùn)算即可判斷C.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，由，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，由，故D正確；故選：ABD.11．AC根據(jù)已知條件判斷出是周期函數(shù)，根據(jù)周期性和奇偶性求得正確答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，是奇函數(shù)，，用替換，得，又函數(shù)為偶函數(shù)，，，再用替換，得，，的周期為，，令，得，，故A正確；根據(jù)已知條件無法判斷的單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；，，，由，令，得，，，故C正確；由，令，得；令，得，即一個(gè)周期內(nèi)，即，，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求.【詳解】，，則，得，得，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，滿足奇函數(shù)的條件.所以.故答案為：13．根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則所求問題可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，計(jì)算化簡，即可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以可化為，因?yàn)?，所以或，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以或，所以不等式的解集為：，故答案為：.14．3先根據(jù)的分段函數(shù)和對應(yīng)的定義域，求出的解析式和對應(yīng)的定義域，然后分別討論不同定義域下其函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，即.②當(dāng)時(shí)，，此時(shí).因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；即.綜上，.時(shí)，令，解得，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)；時(shí)，令，解得，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，令，解得，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).所以共有3個(gè)零點(diǎn).故答案為：3.15．（1）；（2）1（1）根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算求值.（2）利用弦化切求齊次式的值.【詳解】（1）原式.（2）因?yàn)?16．（1）；（2）.【詳解】解：（1）由題設(shè)知拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，畫出二次函數(shù)的示意圖如圖所示.得

，故.（2）如圖1-2所示，拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)，對稱軸在區(qū)間圖內(nèi)通過（千萬不能遺漏），可列出不等式組

，于是有.17．(1)(2)(3)【詳解】（1）對于函數(shù)，要使其定義域?yàn)?，則對恒成立，令，函數(shù)的圖象開口向上，若對恒成立，則，解得，則實(shí)數(shù)的范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，的最小值為3，則的最小值為，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.（3）當(dāng)，時(shí)，，不等式可化為，即因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，解得或，所以不等式的解集為.18．(1)第年；(2)第年.【詳解】（1）設(shè)每臺(tái)充電樁在第年年末的利潤為，則，令，解得：，又，，，每臺(tái)充電樁從第年年末開始獲利；（2）設(shè)為每臺(tái)充電樁在第年年末的年平均利潤，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，，每臺(tái)充電樁在第年年末時(shí)，年平均利潤最大.19．(1)(2)(3)【詳解】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則.由，則，令，解得或.令，即