微專題25概率【考法探析·明規(guī)律】例1(1)B(2)12[解析](1)方法一:畫(huà)出樹(shù)狀圖,如圖,由樹(shù)狀圖可得,甲、乙、丙、丁四人排成一列,共有24種排法,其中丙不在排頭,且甲或乙在排尾的排法共有8種,故所求概率P=824=13. 方法二:當(dāng)甲排在排尾,乙排在排頭時(shí),丙有2種排法,丁有1種排法,此時(shí)有2種排法;當(dāng)甲排在排尾,乙排在第二位或第三位時(shí),丙有1種排法,丁有1種排法,此時(shí)有2種排法.故甲排在排尾共有2+2=4(種)排法.同理,乙排在排尾共有4種排法.故丙不在排頭,且甲或乙在排尾共有4+4=8(種)排法.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,丙不在排頭,且甲或乙在排尾的概率是8A44=824=1方法三:當(dāng)甲在排尾時(shí),丙有2種排法,乙、丁有A22=2(種)排法,此時(shí)共有2×2=4(種)排法;當(dāng)乙在排尾時(shí),丙有2種排法,甲、丁有A22=2(種)排法,此時(shí)共有2×2=4(種)排法.故丙不在排頭,且甲或乙在排尾共有4+4=8(種)排法.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,丙不在排頭,且甲或乙在排尾的概率是8A44=(2)方法一:設(shè)甲的數(shù)字為1,3,5,7時(shí)乙對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為a,b,c,d,樣本點(diǎn)記為(a,b,c,d),則該試驗(yàn)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為A44=24.甲的總得分不小于2包含的樣本點(diǎn)有(6,2,4,8),(8,2,4,6),(6,2,8,4),(8,2,6,4),(6,8,2,4),(8,6,2,4),(6,8,4,2),(8,6,4,2),(4,2,8,6),(4,8,2,6),(8,4,2,6),(2,8,4,6),共12個(gè).故所求概率為1224方法二:甲出1一定輸,所以甲最多得3分.若甲得3分,則只有一種選擇卡片的情況:1-8,3-2,5-4,7-6;若甲得2分,則選擇卡片的情況可分為三類:①出3和出5的輪次得1分,其余的輪次得0分:1-6,3-2,5-4,7-8.②出3和出7的輪次得1分,其余的輪次得0分:1-4,3-2,5-8,7-6;1-8,3-2,5-6,7-4;1-6,3-2,5-8,7-4.③出5和出7的輪次得1分,其余的輪次得0分:1-2,3-8,5-4,7-6;1-4,3-8,5-2,7-6;1-8,3-4,5-2,7-6;1-6,3-8,5-2,7-4;1-8,3-6,5-2,7-4;1-6,3-8,5-4,7-2;1-8,3-6,5-4,7-2.共1+1+3+7=12(種)選擇卡片的情況滿足要求,而所有選擇卡片的情況有A44=24(種),所以所求概率為1224自測(cè)題1.3512[解析]方法一:甲從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的可能情況有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種,其中甲選到A活動(dòng)的可能情況有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6種,故甲選到A活動(dòng)的概率P=610=35.乙選了A活動(dòng)有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE共6種可能情況,其中選到B活動(dòng)有ABC,ABD,ABE共3種可能情況,故已知乙選了A活動(dòng),他選到B活動(dòng)的概率為方法二:甲選到A活動(dòng)的概率為C42C53=35.設(shè)M=“乙選到A活動(dòng)”,N=“乙選到B活動(dòng)”,則已知乙選了A活動(dòng),他選到B活動(dòng)的概率為P(N|M)=2.916[解析]每次均有4種不同的取法,故總的取法有44=256(種).這列數(shù)中恰有3個(gè)不同整數(shù),則必有一個(gè)數(shù)被取了2次,故這列數(shù)中恰有3個(gè)不同整數(shù)的取法有C43C31×A44A2例2D[解析]由題意得,樣本空間中共包含36個(gè)樣本點(diǎn).A={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含12個(gè)樣本點(diǎn),所以P(A)=1236=13.B={(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),(6,1),(6,3),(6,5)},共包含18個(gè)樣本點(diǎn),所以P(B)=1836=12.C={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含10個(gè)樣本點(diǎn),所以P(C)=1036=518.D={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},共包含6個(gè)樣本點(diǎn),所以P(D)=636=16.對(duì)于A,因?yàn)镻(AC)=736≠P(A)P(C),所以A與C不獨(dú)立,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)镻(BC)=436=19≠P(B)P(C),所以B與C不獨(dú)立,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)槭录﨏與D不能同時(shí)發(fā)生,所以P(CD)=0≠P(C)P(D),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,P(BD)=336=112=P(B)P(D),則自測(cè)題1.C[解析]由題可得P(B)=1-P(B)=1-23=13.因?yàn)镻(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),即35+13-P(AB)=1115,所以P(AB)=15,所以P(AB)=P(A)·P(B),因此事件A與事件2.512[解析]設(shè)甲、乙、丙三人做對(duì)這道題分別為事件A,B,C,則P(A)=12,P(A)=12,P(ABC)=112,P(ABC)=16.由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=12P(B)P(C)=112,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=12[1-P(B)][1-P(C)]=16,解得P(B)=12,P(C)=13或P(B)=13,P(C)=12.設(shè)甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這道題為事件D.當(dāng)P(B)=12,P(C)=13時(shí),P(B)=12,P(C)=23,則P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=12×12×23+12×12×23+12×12×13=512;當(dāng)P(B)=13,P(C)=12時(shí),P(B)=23,P(C)=12,則P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(A例3解:(1)用頻率估計(jì)概率,從甲校隨機(jī)抽取1人,這個(gè)人做對(duì)該題目的概率為80100=0.8(2)設(shè)A=“從甲校抽取1人做對(duì)”,則P(A)=0.8,P(A)=0.2,設(shè)B=“從乙校抽取1人做對(duì)”,則P(B)=0.75,P(B)=0.25,設(shè)C=“恰有1人做對(duì)”,故P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35.X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=P(AB)=0.8×0.75=0.6,所以X的分布列為X012P0.050.350.6故E(X)=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55.(3)設(shè)D=“甲校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)”,因?yàn)槿艏仔Ｍ瑢W(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn),則有100%的概率做對(duì)該題目,未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè),所以P(D)+14[1-P(D)]=0.8,即p1+14×(1-p1)=0.8,解得p1=同理有0.85p2+14×(1-p2)=0.75,解得p2=56,故p1<p自測(cè)題1.1418[解析]由題知,丟失的一箱恰巧是物理書(shū)的概率為416=14.設(shè)事件A1表示“丟失的一箱是數(shù)學(xué)書(shū)”,事件A2表示“丟失的一箱是語(yǔ)文書(shū)”,事件A3表示“丟失的一箱是物理書(shū)”,事件B表示“從剩下的15箱中任意打開(kāi)2箱,都是數(shù)學(xué)書(shū)”,則P(A1)=616=38,P(A2)=616=38,P(A3)=416=14,P(B|A1)=C52C152=221,P(B|A2)=C62C152=17,P(B|A3)=C62C152=17,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2.817[解析]設(shè)事件A=“有且僅有一次經(jīng)過(guò)(含到達(dá))點(diǎn)M(-1,0)”,事件B=“水平方向移動(dòng)2次”.記L=“向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度”,R=“向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度”,U=“向上移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度”,D=“向下移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度”.①設(shè)第1步移動(dòng)到M位置為事件A1,則滿足要求的是LU(L或U或R),LL(L或U或D),L