6.2.1向量的加法運(yùn)算——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則．2．理解平面向量加法的幾何意義，會(huì)用向量的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量．3．掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量的計(jì)算．1．向量加法的定義及三角形法則(1)向量加法的定義：求______________的運(yùn)算，叫做向量的加法．(2)三角形法則：如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝b，則向量______叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋Beq\o(C,\s\up6(―→))＝________.2．向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量______(OC是?OACB的對(duì)角線)就是向量a與b的和．3．規(guī)定對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0eq\a\vs4\al(＝)______＝______.4．向量加法的運(yùn)算律(1)|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系一般地，我們有|a＋b|≤__________，當(dāng)且僅當(dāng)a，b中有一個(gè)是零向量或a，b是方向相同的非零向量時(shí)，等號(hào)成立．(2)向量加法的運(yùn)算律交換律a＋b＝______結(jié)合律(a＋b)＋c＝________|微|點(diǎn)|助|解|(1)對(duì)向量加法的三角形法則的兩點(diǎn)說(shuō)明①適用范圍：任意向量．②注意事項(xiàng)：兩個(gè)向量一定首尾相連；和向量的起點(diǎn)是第一個(gè)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個(gè)向量的終點(diǎn)；當(dāng)多個(gè)向量相加時(shí)，可以使用三角形法則．(2)運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則作圖時(shí)，要強(qiáng)調(diào)兩個(gè)向量起點(diǎn)相同．(3)多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)向量相加，結(jié)果可能是一個(gè)數(shù)量．()(2)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加．()(3)任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線．()(4)eq\o(MN,\s\up6(―→))＋eq\o(NP,\s\up6(―→))＝eq\o(MP,\s\up6(―→)).()2．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(―→))＝b，則a＋b等于()A.eq\o(CA,\s\up6(―→)) B.eq\o(BC,\s\up6(―→))C.eq\o(AB,\s\up6(―→)) D.eq\o(BA,\s\up6(―→))3．已知a，b，c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的向量的個(gè)數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．24．人騎自行車的速度為v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()A．|v1|＋|v2| B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\f(|v1|,|v2|)題型(一)向量加法的平行四邊形法則和三角形法則[例1](1)如圖①所示，求作向量a＋b；(2)如圖②所示，試用三角形法則作向量a＋b＋c.聽(tīng)課記錄：[變式拓展]本例(2)條件不變，試用平行四邊形法則作向量a＋b＋c.|思|維|建|模|應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則應(yīng)注意的問(wèn)題(1)三角形法則可以推廣到n個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連”，即n個(gè)首尾相連的向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第n個(gè)向量的終點(diǎn)的向量．(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合．(3)求作三個(gè)或三個(gè)以上的向量的和時(shí)，用三角形法則更簡(jiǎn)單．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(1)如圖①，利用向量加法的平行四邊形法則作出a＋b；(2)已知向量a，b，c，如圖②，求作a＋b＋c.題型(二)向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用[例2]如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))；(2)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))；(3)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→)).聽(tīng)課記錄：[變式拓展]1．在本例條件下，求eq\o(CB,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→)).2．在本例圖形中求作向量eq\o(DA,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→)).|思|維|建|模|向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則意義由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行應(yīng)用原則利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序[針對(duì)訓(xùn)練]2.如圖，在矩形ABCD中，O為AC與BD的交點(diǎn)，則eq\o(AO,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝()A.eq\o(AB,\s\up6(―→)) B.eq\o(AC,\s\up6(―→))C.eq\o(AD,\s\up6(―→)) D.eq\o(BD,\s\up6(―→))3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，則|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))|＝________.題型(三)向量加法的實(shí)際應(yīng)用[例3]如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的質(zhì)量忽略不計(jì))．聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|利用向量加法解實(shí)際應(yīng)用題的步驟[針對(duì)訓(xùn)練]4．河水自西向東流動(dòng)的速度為10km/h，小船在靜水中的速度為10eq\r(3)km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的實(shí)際航行速度和方向．eq\a\vs4\al(課下請(qǐng)完成課時(shí)跟蹤檢測(cè)二)6．2.1向量的加法運(yùn)算課前預(yù)知教材1．(1)兩個(gè)向量和(2)eq\o(AC,\s\up6(―→))eq\o(AC,\s\up6(―→))2.eq\o(OC,\s\up6(―→))3.0eq\a\vs4\al(＋)aa4．(1)|a|＋|b|(2)b＋aa＋(b＋c)[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．D3．選A向量加法滿足交換律，所以五個(gè)向量均等于a＋b＋c.故選A.4．選B因?yàn)樗俣仁羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，由向量的加法法則可知，逆風(fēng)行駛的速度為v1＋v2.故選B.課堂題點(diǎn)研究[題型(一)][例1]解：(1)首先作向量eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up6(―→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.如圖所示．(2)如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up6(―→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.然后作向量eq\o(BC,\s\up6(―→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a＋b＋c，即為所求．[變式拓展]解：首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up6(―→))＝eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up6(―→))＝eq\o(OD,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a＋b＋c，即為所求．[針對(duì)訓(xùn)練]1．解：(1)如圖a，過(guò)點(diǎn)O作eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(―→))＝eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.(2)如圖b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝c，則由向量加法的三角形法則，得eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a＋b＋c.[題型(二)][例2]解：如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運(yùn)算法則可知：(1)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→)).(2)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DB,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→)).(3)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→)).[變式拓展]1．解：因?yàn)锽C∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四邊形，所以eq\o(CB,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→))＝eq\o(CD,\s\up6(―→)).2．解：過(guò)A作AG∥DF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則eq\o(DA,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\o(DG,\s\up6(―→))，作eq\o(GH,\s\up6(―→))＝eq\o(CF,\s\up6(―→))，連接DH，則eq\o(DH,\s\up6(―→))＝eq\o(DA,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→))，如圖所示．[針對(duì)訓(xùn)練]2．選B由平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，得eq\o(AO,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→)).3．解析：|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)[題型(三)][例3]解：如圖所示，設(shè)eq\o(CE,\s\up6(―→))，eq\o(CF,\s\up6(―→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(―→))表示，則eq\o(CE,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→))＝eq\o(CG,\s\up6(―→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴|eq\o(CE,\s\up6(―→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(―→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up6(―→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(―→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5.∴A處所受的力的大小為5eq\r(3)N，B處所受的力的大小為5N.[針對(duì)訓(xùn)練]4．解：設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水