第5章

勾股定理與實(shí)數(shù)直角三角形無(wú)理數(shù)勾股定理…………青島版

八年級(jí)上冊(cè)內(nèi)容提要勾股定理及其逆定理算術(shù)平均數(shù)、平方根、立方根實(shí)數(shù)數(shù)與式實(shí)數(shù)

圖形的性質(zhì)有理數(shù)第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）的會(huì)標(biāo)蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的魅力。

章頭言什么是勾股定理？勾股之“形”又將怎樣更新我們對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)？

尤其是位于螺旋中心，由四個(gè)直角三角形構(gòu)成的正方形圖案，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的杰作，形象地展示了被譽(yù)為“千古第一定理”的勾股定理。

章頭言

本章我們將追溯一段數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，穿梭于幾何和代數(shù)兩大領(lǐng)域之間。在幾何方面，我們將探索勾股定理及其逆定理；在代數(shù)方面，我們將認(rèn)識(shí)數(shù)的一種新運(yùn)算——開(kāi)方運(yùn)算，并將數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)大至實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)理論的建立，為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

章頭言青島版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

第5章

勾股定理與實(shí)數(shù)

5.1勾股定理及其逆定理

第1課時(shí)

勾股定理第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)會(huì)標(biāo)中心的圖案,是依據(jù)漢末三國(guó)初數(shù)學(xué)家趙爽(生卒年不詳)的弦圖創(chuàng)作的。它是由什么圖形組成的？蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)知識(shí)？

創(chuàng)設(shè)情境

導(dǎo)入新課

剪四個(gè)全等的直角三角形,拼一拼,拼出圖所示的圖形。判斷這個(gè)圖形中四個(gè)全等的直角三角形圍成的大四邊形和中間小四邊形的形狀,并說(shuō)明理由。

探究一

勾股定理觀察與發(fā)現(xiàn)

剪四個(gè)全等的直角三角形,拼一拼,拼出圖所示的圖形。判斷這個(gè)圖形中四個(gè)全等的直角三角形圍成的大四邊形和中間小四邊形的形狀,并說(shuō)明理由。兩個(gè)四邊形都是正方形。因?yàn)樗鼈兏髯缘倪呄嗟?四個(gè)角都為直角。

探究一

勾股定理觀察與發(fā)現(xiàn)

觀察下圖,（1）這兩個(gè)正方形的面積怎樣表示?

它們有什么關(guān)系?

探究一

勾股定理思考與交流設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c。（2）從中你能發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a,b,c之間有什么關(guān)系嗎?（1））大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為c和b-

a,

探究一

勾股定理它們的面積分別為c2和(b-

a)2。∴a2+b2=c2。（2）直角三角形的三邊a,b,c之間有：a2+b2=c2。由圖可知c2=(b-

a)2+4×ab,利用手中四個(gè)全等的直角三角形紙片（1）你還能拼出其它不同的正方形嗎?試一試。（2）能用拼出的圖形說(shuō)明：a2+b2=c2嗎?

探究一

勾股定理思考與交流設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c。bac

探究一

勾股定理觀察與發(fā)現(xiàn)（1）拼出的正方形如圖所示

探究一

勾股定理觀察與發(fā)現(xiàn)（2）大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為abca+b

和c,（a+b）2

=c2+4×ab∴a2+b2=c2。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理：ABCabc如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么

探究一

勾股定理概括與表達(dá)a2+b2=c2。勾股勾股弦

我國(guó)早在三千多年就知道了這個(gè)定理,人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.因此就把這一定理稱為勾股定理.

探究一

勾股定理解:在△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得a2+b2=c2。例1、在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別 a,b,c

(1)若a=8,b=6,求c; (2)若c=25,b=15,求a; (3)若a:b=3:4,c=15,求a和b。

例題解析∵c=15,∴5x=15,∴x=3?！郺=3x=3×3=9,b=4x=4×3=12。(1)∵a=8，b=

6,∴c2=a2+b2=82+62=100,∴c=10。(2)∵c=25，b=15,∴a2=c2-b2=252-152=400,∴a=20。(3)設(shè)a=3x,b=4x(x>0),∴c2=a2+b2=(3x)2+(4x)2=25x2,∴c=5x。1.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別是

∠A,∠B,∠C所對(duì)的三條邊。(1)若a=3,b=4,則c=

;(2)若a=5,c=13,則b=

;(3)若b∶c=4∶5,a=15,則b=,c=

。

鞏固練習(xí)5122025

利用勾股定理,可以證明“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等”(HL)。

探究二

證明“HL”思考與交流已知，如圖,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,

∠C=∠C'=90°,BC=B'C',

AB=A'B',證明:△ABC≌△A'B'C'。證明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,由勾股定理,得

AB2=BC2+AC2,A'B'2=B'C'2+A'C'2。∵BC=B'C',AB=A'B',∴AC2=A'C'2?！郃C=A'C'。在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,BC=B'C',AB=A'B',AC=A'C',所以△ABC≌△A'B'C'(SSS)。解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,則∠ADB=90°。例2、在△ABC中,BC=6,AB=AC=5。求△ABC的面積。ABCD

AD2=AB2-BD2=52-32=16?！逜B=AC,BC=6,∴BD=BC=3。在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=5,BD=3。由勾股定理,得∴AD=4?！郤△ABC=BC·AD=×6×4=12,即△ABC的面積為12。

例題解析大意為:如圖,有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形水池,在水池正中間有一根蘆葦AD,它高出水面1尺,即CD為1尺。如果將這根蘆葦從頂端牽引到池邊中點(diǎn)B處,它的頂端剛好到達(dá)岸邊的水面,問(wèn)這個(gè)水池的水深和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少。例3、《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,適與岸齊。問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何。

例題解析解方程,得x=12。解:設(shè)水池的水深為x尺,則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為(x+1)尺。即AC=x,AD=x+1。在Rt△ABC中,BC=5,AB=AD=x+1。由勾股定理,得BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)2?！?/p>

x+1=13?！噙@個(gè)水池的水深為12尺,這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺。2.一架5m長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上,這時(shí)梯足距墻腳3m。若梯子的頂端下滑1m,則梯足將滑動(dòng)()A.0m B.1m C.2m D.3mB例4、如圖所示,有一張直角三角形紙片,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,將△ABC折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕為DE,求CD的長(zhǎng)。解:設(shè)CD=xcm,則AD=BD=(8-x)cm。在Rt△ACD中,AD2=AC2+CD2, 即(8-x)2=6+x2,解得x=2,即CD的長(zhǎng)為7cm。練習(xí).矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長(zhǎng)。ABCDFEX(8-X)X10108643.已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別是3和4,求第三邊長(zhǎng)的平方。

鞏固練習(xí)4.如圖，一棵樹(shù)在離地面6米處(點(diǎn)B)折斷，樹(shù)頂部點(diǎn)A落在離樹(shù)底部(點(diǎn)C)8米處，則樹(shù)折斷前有多少米?5.一個(gè)零件的形狀如圖所示，在這個(gè)零件中，∠A和∠DBC都為直角，工人師傅量得這個(gè)零件AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求這個(gè)零件CD邊的長(zhǎng)及這個(gè)四邊形零件的面積.6.如圖,△ABC是直角三角形,分別以兩條直角邊AB,AC為邊向外作正方形。如果兩個(gè)正方形的面積分別是36和64,求BC的長(zhǎng)。

鞏固練習(xí)

如圖,圖中所有四邊形都是正方形，正方形Ⅰ的邊長(zhǎng)為7你能求出正方形A、B、C、D的面積之和嗎？BACDⅠⅡⅢ答案：497abc拓展與延伸例7.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是多少.

ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開(kāi)成平面圖形（如圖）.

本節(jié)課你有什么收獲？1.選擇題（1）、放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿著東方向和南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎用20分鐘到家，小紅和小穎家的距離為（）

A、600米B、800米

C、1000米D、不能確定C

當(dāng)堂檢測(cè)D（2）、直角三角形兩直角邊分別為5厘米、12厘米，那么斜邊上的高是（）A、6厘米B、8厘米