第03講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用目錄考情探究 2知識(shí)梳理 3探究核心考點(diǎn) 4考點(diǎn)一求平面向量的數(shù)量積 4考點(diǎn)二辨析數(shù)量積的運(yùn)算律 6考點(diǎn)三模長綜合計(jì)算 7考點(diǎn)四夾角綜合計(jì)算 8考點(diǎn)五垂直綜合計(jì)算 9考點(diǎn)六求投影向量 9考點(diǎn)七求參數(shù)值或范圍的綜合計(jì)算 10考點(diǎn)八數(shù)量積范圍的綜合問題 11三階突破訓(xùn)練 12基礎(chǔ)過關(guān) 12能力提升 14真題感知 16一、5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2025年全國二卷，第12題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示坐標(biāo)計(jì)算向量的模平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2024年新Ⅱ卷，第3題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律已知數(shù)量積求模垂直關(guān)系的向量表示模長的相關(guān)計(jì)算2023年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2023年新Ⅱ卷，第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律向量的模長運(yùn)算2022年新Ⅱ卷，第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2021年新I卷，第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示坐標(biāo)計(jì)算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律無二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分【備考策略】1通過物理中功等實(shí)例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積2會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會(huì)表示及計(jì)算兩個(gè)平面向量的夾角4會(huì)用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題,體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用5會(huì)用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計(jì)算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)（1）數(shù)量積的定義一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時(shí)，稱為向量a與b的數(shù)量積（也稱內(nèi)積），記作a?b，即a（2）數(shù)量積的性質(zhì)①|(zhì)②a?a=③a⊥b知識(shí)點(diǎn)2平面向量的夾角及其公式定義：已知兩個(gè)非零向量a,b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ注意：①當(dāng)θ=0時(shí)，向量a與b；②當(dāng)θ=π2時(shí)，向量a與b，記作③當(dāng)θ=π時(shí)，向量a與b注意：只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量CA與AB的夾角．作AD=CA，則∠BAD才是向量CA與向量的夾角公式：.知識(shí)點(diǎn)3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a,b,（1）交換律：；（2）數(shù)乘結(jié)合律：；（3）分配律：．注意：（1）向量的數(shù)量積不滿足消去律；若a,b,c均為非零向量，且（2）(a?b)?c≠a?(b?c)，因?yàn)閍?（3）推論：a±知識(shí)點(diǎn)4平面向量數(shù)量積中的坐標(biāo)運(yùn)算若a=x1,y1，b=（1）a?b=（2）|a|2=（3）a⊥b?（4）若a，b為非零向量，則cosθ==知識(shí)點(diǎn)5投影向量向量的投影①定義：如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，AB=a，CD=b，作如下的變換：過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，則稱上述變換為向量a向向量b②計(jì)算：設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.考點(diǎn)一求平面向量的數(shù)量積典例1．（2025·四川綿陽·三模）已知平面向量，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2典例2．（2025·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，，，則（

）A．36 B．18 C． D．典例3．（2025·江蘇·一模）已知平面向量是兩個(gè)單位向量，在上的投影向量，則（）A．1 B． C． D．典例4．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則（

）A．6 B．8 C．9 D．12典例5．（2025·河北保定·三模）如圖，在四邊形中，，，，為線段的中點(diǎn)，，則（

）A．3 B． C． D．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·河北邯鄲·二模）已知平面向量，若，則（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知為的高，且，則（

）A． B．2 C． D．跟蹤訓(xùn)練3．（2025·山西·三模）已知向量，，均為單位向量，且，則（

）A．0 B． C．2 D．跟蹤訓(xùn)練4．（2025·廣東佛山·三模）如圖，已知矩形的邊長滿足，以為圓心的圓與相切于，則（

）A． B．C．8 D．跟蹤訓(xùn)練5．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則（

）A．2 B． C．3 D．考點(diǎn)二辨析數(shù)量積的運(yùn)算律典例1．設(shè)、是任意兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件典例2．設(shè)為非零向量，，則“夾角為鈍角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件跟蹤訓(xùn)練1．設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件跟蹤訓(xùn)練2．在△中，“”是“△為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)三模長綜合計(jì)算典例1．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．典例2．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，且在上的投影向量為單位向量，則（

）A．1 B． C．3 D．2典例3．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，若，則（

）A．2 B． C． D．典例4．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）某貨船執(zhí)行從A港口到B港口的航行任務(wù)，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度為向東2m/s．若貨船在靜水中的航速為4m/s，船長調(diào)整船頭方向航行，使得實(shí)際路程最短．則該船完成此段航行的實(shí)際速度為（

）A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s跟蹤訓(xùn)練1．（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B．6 C．9 D．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．1 B．2 C． D．跟蹤訓(xùn)練3．（2025·山東煙臺(tái)·三模）已知向量，滿足，，且，則（

）．A． B．2 C． D．6跟蹤訓(xùn)練4．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對(duì)岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四夾角綜合計(jì)算典例1．（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知向量、滿足，，，則、的夾角為（

）A． B． C． D．典例2．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量與不共線，且滿足，與的夾角為，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．典例3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知，在上的投影向量為，則向量與夾角余弦值為（

）A． B． C． D．典例4．（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，，若，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°跟蹤訓(xùn)練2．（2025·山東德州·三模）平面向量滿足，且，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練3．（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五垂直綜合計(jì)算典例1．（2025·北京大興·三模）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．或1 D．4典例2．（2025·遼寧·三模）若向量，，則（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·陜西延安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六求投影向量典例1．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）向量，，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．典例2．（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）已知向量和滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知平面內(nèi)三點(diǎn)，則向量在上的投影向量為（）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七求參數(shù)值或范圍的綜合計(jì)算典例1．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，則（

）A． B． C．2 D．典例2．（2025·北京·二模）設(shè)圓的圓心為，直線與該圓相交于兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．3或1 C．3 D．3或典例3．（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若在上的投影向量相等，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．典例4．（2025·河南·三模）在中，向量，，若為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·山東臨沂·二模）已知，若向量與向量互相垂直，則（

）A． B． C．5 D．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知單位圓上有兩點(diǎn)，，設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2跟蹤訓(xùn)練3．（2025·安徽·一模）已知兩個(gè)非零向量的夾角為，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)八數(shù)量積范圍的綜合問題典例1．（2025·北京海淀·三模）已知中，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．典例2．（2025·四川巴中·二模）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．典例3．（2025·四川宜賓·三模）如圖，在等邊中，，以為直徑分別作半圓，是兩段半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·安徽滁州·二模）已知三點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·山東·一模）設(shè)為單位向量，且，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練3．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練4．（2025·江蘇泰州·二模）在等邊中，，P為所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（）A．4 B． C． D．6一、單選題1．（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，若，則（

）A． B． C．1 D．22．（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若向量滿足且，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，與的夾角為，則（

）A．2 B．4 C． D．4．（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，的夾角為120°，，，則A． B．2 C． D．5．（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．76．（2025·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，為CD的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C． D．2二、多選題8．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，且向量的夾角為，下列說法正確的是（

）A．B．C．向量和的夾角為D．若，則9．（2025·河北保定·三模）已知平面向量．與的夾角為，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量為10．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（

）A．若，則 B．若，則C．不可能為單位向量 D．若，則一、單選題11．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．12．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非零向量，，“”是“與方向相反”的（

）條件.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件13．（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）在中，記、，向量、滿足，，，則此三角形AOB的面積是（

）A． B． C． D．14．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長為1的正三角形，點(diǎn)在上且，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．115．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與：交于兩點(diǎn)，若在上的投影向量的模為，則的值為（

）A． B． C． D．16．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知，是單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．117．（2025·山東·三模）如圖是八卦圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，若，則正八邊形的邊長為（

）A． B． C．2 D．1二、多選題18．（2025·安徽·三模）在中，，，，則（

）A． B．C．的面積為 D．19．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知矩形中，，，，，其中，，，則（

）A．是定值 B．若，則C． D．20．已知，與夾角為，若且，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．的最大值為0一、單選題21．（2025·全國一卷·高考真題）帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小與方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速.視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等、方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2所示（線段長度代表速度大小，單位：m/s），則該時(shí)刻的真風(fēng)為（

）級(jí)數(shù)名稱風(fēng)速大?。▎挝唬簃/s)2輕風(fēng)1.6~3.33微風(fēng)3.4~5.44和風(fēng)5.5~7.95勁風(fēng)8.0~10.7A．輕風(fēng) B．微風(fēng) C．和風(fēng) D．勁風(fēng)22．（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，.設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件24．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件