第8題多個(gè)知識(shí)交匯問題（一題多解）【浙江省9＋1高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試】．已知曲線C的方程為：，，，，過M的直線交曲線C于、兩點(diǎn)（A在B的上方），已知，，下列命題正確的是（

）A．B．的最小值是2C．周長(zhǎng)的最大值是D．若，將沿翻折，使面面，則折后對(duì)于A項(xiàng)由正弦定理結(jié)合橢圓定義可判定；對(duì)于B，結(jié)合A的結(jié)論與三角恒等變換、基本不等式可判定；對(duì)于C，利用兩點(diǎn)距離公式及基本不等式可判定；對(duì)于D，聯(lián)立直線與曲線方程計(jì)算AO，BO長(zhǎng)，再根據(jù)條件判定線線垂直計(jì)算空間距離即可.．由已知，在中，已知，，由正弦定理得，又，即，所以，故A正確；由，得：，在中，，，則，，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取到最小值是2，故B正確；周長(zhǎng)，設(shè)，，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值是，故C正確；設(shè)AB的方程是：與聯(lián)立得：，解得：（舍去）或，則點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)，，又在圓上，所以，又沿翻折后，平面平面，平面平面，，則平面，又平面，則，所以，故D錯(cuò)誤．1．?dāng)?shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對(duì)稱；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過1；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心?邊長(zhǎng)為的正方形，使曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】對(duì)于①，用替換方程中的，方程形式不變，即可求解，對(duì)于②，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，再結(jié)合基本不等式的公式，即可求解，對(duì)于③，由②可知，包含該曲線的以原點(diǎn)為圓心的最小的圓的半徑為1，所以最小圓應(yīng)該是包含該曲線的最小正方形的內(nèi)切圓，即可求得正方形的邊長(zhǎng)最短為2，即可求解.【詳解】解：對(duì)于①，用替換方程中的，方程形式不變，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故①正確，對(duì)于②，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故②正確，對(duì)于③，由②可知，包含該曲線的以原點(diǎn)為圓心的最小的圓的半徑為1，所以最小圓應(yīng)該是包含該曲線的最小正方形的內(nèi)切圓，即正方形的邊長(zhǎng)最短為2，故③錯(cuò)誤.故選：A（2024·遼寧鞍山·二模）2．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為點(diǎn)到點(diǎn)的“折線距離”．點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在拋物線上．下列結(jié)論中正確的結(jié)論為（

）A．的最小值為2 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】對(duì)A，根據(jù)折線距離的定義，寫出，利用絕對(duì)值放縮和絕對(duì)值不等式，可判斷對(duì)錯(cuò)；對(duì)B，根據(jù)折線距離的定義，寫出，利用基本（均值）不等式可判斷對(duì)錯(cuò)；對(duì)C：利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合折線距離的定義，寫出，利用絕對(duì)值放縮和絕對(duì)值不等式，結(jié)合三角函數(shù)的最值，可判斷對(duì)錯(cuò)；對(duì)D：利用拋物線的參數(shù)方程，，結(jié)合折線距離的定義，寫出，利用絕對(duì)值放縮和絕對(duì)值不等式，結(jié)合二次函數(shù)的值域，可判斷對(duì)錯(cuò).【詳解】對(duì)A：設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.故A錯(cuò)；對(duì)B：設(shè)，則.則，故B對(duì)；對(duì)C：設(shè)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”）.故C對(duì)；對(duì)D：設(shè)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵之一是對(duì)“折線距離”的理解，根據(jù)新定義，寫出折線距離；關(guān)鍵之二是含有絕對(duì)值的式子的處理，可根據(jù)絕對(duì)值的放縮和絕對(duì)值不等式，去掉絕對(duì)值的符號(hào)再求相關(guān)最值.設(shè)，構(gòu)造橢圓，結(jié)合橢圓的定義計(jì)算可判定C；由橢圓焦半徑及三余弦公式、余弦定理解三角形即可判定D.A、B選項(xiàng)同解法一；C選項(xiàng)設(shè)，構(gòu)造橢圓，，B點(diǎn)可以看成是橢圓與圓的交點(diǎn)，當(dāng)b最大時(shí)最大，所以當(dāng)B在時(shí)最大，此時(shí)，所以，故周長(zhǎng)的最大值是，故C正確；D選項(xiàng)由橢圓的焦半徑公式得，又．根據(jù)三余弦公式有，所以；所以由余弦定理有，故D錯(cuò)．3．2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），把到定點(diǎn)和距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知為雙紐線Γ上任意一點(diǎn)，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為；②面積最大值為；③；④的最大值為．其中所有正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】由已知，代入坐標(biāo)整理即可得出方程，判斷①；根據(jù)正弦定理，結(jié)合已知條件，即可判斷②；根據(jù)面積公式，結(jié)合②的結(jié)論，即可判斷③；根據(jù)余弦定理，以及向量可推得，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由定義，即，即，整理可得，所以雙紐線Γ的方程為，故①正確；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)椋?，故③正確；對(duì)于④，中，由余弦定理可得，所以.又因?yàn)?，所?所以，，即，整理可得，所以，故④正確.故選：D.4．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則（

）A．曲線C的準(zhǔn)線方程為 B．若，則的面積為C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出準(zhǔn)線方程判斷A；求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)計(jì)算判斷B；設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示及均值不等式求解判斷C；利用拋物線定義結(jié)合余弦定理、均值不等式推理判斷D作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，有，，，曲線C的準(zhǔn)線方程為，A不正確；，而，則，即有，的面積，B正確；由得：，顯然，即有，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，有，則，在中，，由余弦定理得：，由即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.根據(jù)拋物線的定義，可以得出一個(gè)結(jié)論：拋物線上的任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離都等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，這個(gè)結(jié)論是拋物線最重要的一條性質(zhì)，很多有關(guān)拋物線的填空題和選擇題都是圍繞這條性質(zhì)設(shè)計(jì)；2.何時(shí)使用定義：一般情況下，當(dāng)題意中出現(xiàn)了"拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線”或者出現(xiàn)了“拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(或垂直于拋物線對(duì)稱軸的直線)的距離”的時(shí)候，都要優(yōu)先考慮使用拋物線的定義來解題；3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式中含有一次項(xiàng)，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)就可以用一個(gè)變量進(jìn)行表示，再結(jié)合相關(guān)的已知信息進(jìn)行運(yùn)算.由平行四邊形的對(duì)角線定理及基本不等式可判定C；聯(lián)立直線與曲線方程求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用距離公式計(jì)算判定D.A，B選項(xiàng)同解法一；C選項(xiàng)由平行四邊形的對(duì)角線定理有，所以．由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立．故周長(zhǎng)的最大值是，故C正確；D選項(xiàng)由題知直線AB的方程為，聯(lián)立方程求得，，由兩點(diǎn)間距離公式得，故D錯(cuò)．5．如圖，半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.和分別是“果圓”與x軸，y軸的交點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若在“果圓”y軸右側(cè)部分上存在點(diǎn)P，使得，則.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，，由此推導(dǎo)依次判斷.【詳解】由題可知，所以，；，，故①正確；由得，，又，得，，，②正確.以為直徑的圓E:，與“果園”右側(cè)有異于公共點(diǎn)的公共點(diǎn)，由方程組，得顯然方程已有一根，另一根為，則，，，解得，故③正確.故選:D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求圓錐曲線中基本量的比值（或范圍），常根據(jù)已知尋找關(guān)于基本量的等式或不等式，再通過解方程或不等式求解.（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）6．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，則下列正確的是（

）A．的準(zhǔn)線為B．的最小值為C．以為直徑的圓與軸相切D．若且，則【答案】B【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)可得的準(zhǔn)線為，即A錯(cuò)誤；利用拋物線定義由基本不等式可求得B正確；由直線與圓的位置關(guān)系可得以為直徑的圓與軸相交，即C錯(cuò)誤；由可得。利用向量夾角的坐標(biāo)表示可求得，即D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由拋物線的焦點(diǎn)可得，所以，即的準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如下圖所示：設(shè)直線的方程為，；聯(lián)立直線與拋物線方程可得，可得；由拋物線定義可得；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；即B正確；對(duì)于C，以為直徑的圓的圓心為,此時(shí)圓心到軸的距離為，而，所以以為直徑的圓與軸相交，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，由可知點(diǎn)在的垂直平分線上，所以；由即可得，如下圖所示：，所以，同理可得，可得，所以，即D錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解夾角問題時(shí)可利用平面向量的坐標(biāo)表示，利用數(shù)量積的符號(hào)確定夾角的大小或取值范圍.7．已知曲線C：，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C是半徑為1的圓B．點(diǎn)O一定不在曲線C上C．對(duì)任意的，必存在直線l與曲線C相切D．若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為2【答案】BD【分析】對(duì)于A，由可得，由此可判斷；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，由此可判斷；對(duì)于C，由點(diǎn)O在曲線C的內(nèi)部可判斷；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，最小，（弦心距最大，弦長(zhǎng)最?。?，由此計(jì)算弦長(zhǎng)可判斷．【詳解】解：對(duì)于A，由得，則曲線C是半徑為的圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，可知點(diǎn)O在曲線C的內(nèi)部，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)O在曲線C的內(nèi)部，所以不存在直線l與曲線C相切，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓心，，當(dāng)時(shí)，最小，（弦心距最大，弦長(zhǎng)最小），此時(shí)，故D正確．故選：BD．8．2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo.設(shè)計(jì)師的靈感來源于曲線C：.其中星形線E：常用于超輕材料的設(shè)計(jì).則下列關(guān)于星形線說法正確的是（

）A．E關(guān)于y軸對(duì)稱B．E上的點(diǎn)到x軸、y軸的距離之積不超過C．E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為D．曲線E所圍成圖形的面積小于2【答案】ABD【分析】A由、均在曲線上即可判斷；B應(yīng)用基本不等式即可判斷；C由，結(jié)合立方和公式及B的結(jié)論即可判斷；D根據(jù)與圖形的位置關(guān)系判斷.【詳解】若在星形線E上，則也在E上，故E關(guān)于y軸對(duì)稱，A正確；由，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為，C錯(cuò)誤；曲線E過，，由，則在所圍成的區(qū)域內(nèi)部，而所圍成的面積為2，故曲線E所圍成圖形的面積小于2，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用基本不等式有，由及立方和公式求兩點(diǎn)距離，利用與圖形的位置判斷面積大小.9．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，且，則B．若，則直線l的傾斜角為C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，則的最小值為D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，考慮直線斜率為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由列出方程，求出，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，先得到直線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，與A一樣，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合求出直線l的斜率，得到傾斜角；C選項(xiàng)，設(shè)，由拋物線定義結(jié)合基本不等式得到的最小值；D選項(xiàng)，與C一樣，考慮直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，得到圓M與準(zhǔn)線相離，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得：，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，則，所以，解得：，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，因?yàn)?，所以，代入中，得到，即，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，解得：，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，過點(diǎn)作⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)P，因?yàn)橐訟B為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以⊥，則，由拋物線定義可知：，由基本不等式得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，設(shè)，由三角形三邊關(guān)系可知：，由拋物線定義可知結(jié)合C選項(xiàng)可知：，即，若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相離，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．（2024·福建龍巖·三模）10．已知拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且.過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（

）A．若，則直線的斜率為 B．的最小值為18C．為鈍角 D．點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同時(shí)，最小【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線與圓的方程可得，代入拋物線方程可得，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)關(guān)系求解坐標(biāo)，由斜率公式即可求解A，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可求解B，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)數(shù)量積即可求解C，根據(jù)焦半徑公式以及點(diǎn)點(diǎn)距離公式可得，即可結(jié)合不等式求解D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€C：與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，則第一象限內(nèi)的交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，代入圓方程得橫坐標(biāo)為2，即，所以，，即拋物線方程為，焦點(diǎn)為.設(shè)，對(duì)A，由得，則，又因?yàn)?，解得，所以直線l的斜率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由拋物線定義得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此的最小值為，故B正確；對(duì)C，如圖，不妨設(shè)在第一象限，

設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線的方程消，得，又，所以，，，為鈍角，故C正確；對(duì)D，，，設(shè)，則，由拋物線的定義可得，，又，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用.另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用11．定義：點(diǎn)為曲線外的一點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取最大值時(shí)，叫點(diǎn)對(duì)曲線的張角.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)對(duì)圓的張角為，則的最小值為.【答案】【分析】先根據(jù)新定義，利用二倍角公式判斷最小時(shí)最小，再設(shè)，利用距離公式，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法求得最小值，即得結(jié)果.【詳解】解：如圖，，要使最小，則最大，即需最小.設(shè)，則，∴當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)或，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于理解新定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為線段最小問題，結(jié)合二次函數(shù)求最值即突破難點(diǎn).12．如圖，把半橢圓：和圓?。汉铣傻那€稱為“曲圓”，其中點(diǎn)是半橢圓的右焦點(diǎn)，，，，分別是“曲圓”與軸，軸的交點(diǎn)，已知，過點(diǎn)的直線與“曲圓”交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)，，得到圓的半徑為，即，從而得到橢圓方程和圓的方程，設(shè)，分為，，三種情況分別表示出的周長(zhǎng)，得到關(guān)于的函數(shù)，從而得到其取值范圍.【詳解】圓弧的半徑為，，，所以可得圓弧的半徑為，即，所以，所以曲圓的方程為：，，設(shè)，的周長(zhǎng)為，①當(dāng)時(shí)，在圓上，在橢圓上，；②當(dāng)時(shí)，、都在橢圓上，；③當(dāng)時(shí)，在圓上，在橢圓上，；所以的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)范圍為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，圓的弦長(zhǎng)公式，分段函數(shù)求值域，考查分類討論的思想，屬于中檔題.（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）13．如圖，半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中，，.“果圓”與x軸的交點(diǎn)分別為、，若在“果圓”y軸右側(cè)部分上存在點(diǎn)P使得，則的取值范圍為.

【答案】【分析】利用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)從而得到向量坐標(biāo)，已知夾角的情況下，可以利用向量坐標(biāo)表示數(shù)量積得到相應(yīng)等量關(guān)系，再有點(diǎn)的變化范圍得到相應(yīng)不等式，從得出取值范圍?！驹斀狻吭O(shè)，，，∵，∴，，，，或(舍去），令，則，∵，∴，解得，故答案為：（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）14．造型在紡織中作為花紋得到廣泛應(yīng)用，這種造型被稱為雙紐線.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是一個(gè)雙紐線.下列說法正確的是.①軌跡僅經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)（即橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）；②若點(diǎn)位于橢圓上，且，則的離心率為；③點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離不超過；④若直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則或.【答案】①③④【分析】根據(jù)雙紐線定義利用求得軌跡的方程為，利用換元法構(gòu)造方程可得經(jīng)過整點(diǎn)；再由橢圓定義以及余弦定理計(jì)算可知當(dāng)時(shí)，的離心率為；由曲線方程可得點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為；聯(lián)立直線和曲線方程根據(jù)交點(diǎn)個(gè)