【第10講：指數(shù)對數(shù)運(yùn)算】總覽總覽題型梳理一．有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化（共5小題）二．有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值（共9小題）三．對數(shù)的概念（共2小題）四．指數(shù)式與對數(shù)式的互化（共18小題）五．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共5小題）六．對數(shù)運(yùn)算求值（共6小題）【知識點(diǎn)清單】1．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam（a＞0，m，na?mn=1amn=1na0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amn=nam（a＞0，m，n②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a?mn=1amn=1na③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．2．對數(shù)的概念【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．對數(shù)的定義如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．（2）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a（a＞0且a≠1）logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN3．指數(shù)式與對數(shù)式的互化【知識點(diǎn)的認(rèn)識】ab＝N?logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：（1）af（x）＝b?f（x）＝logab；logaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）?f（x）logma＝g（x）logmb；（兩邊取對數(shù)法）（4）logaf（x）＝logbg（x）?logaf（x）=1（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝logax或t＝ax）（換元法）4．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝Nloga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n5．對數(shù)運(yùn)算求值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝Nloga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用對數(shù)定義直接求值．﹣利用換底公式log﹣結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，如loga（mn）＝logam+logan、loga(題型題型分類知識講解與常考題型一．有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化（共5小題）1．已知a＞0，則a1A．a(chǎn)712 B．a(chǎn)512 C．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化．【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：原式=a故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．3aA．a(chǎn)?23 B．a(chǎn)?32【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化．【分析】將根式化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式，即可得答案．【解答】解：3a故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）3．下列各式中正確的是（）A．a(chǎn)4=|a| B．2﹣2C．(3a2【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化．【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計算可得．【解答】解：根據(jù)根式的意義及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可得，對于A：a4=a2≠對于B：2?2=1對于C：(3a2對于D：10(2?1)故選：CD．【點(diǎn)評】本題主要考查了根式的意義及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．將a2a(其中a＞0)化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化．【分析】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化求解．【解答】解：a2故答案為：a5【點(diǎn)評】本題主要考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，屬于基礎(chǔ)題．5．計算化簡A，B：（1）已知a＞0，b＞0，化簡：A=(3a（2）化簡：B=3【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）A=(3a（2）B=3【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值（共9小題）6．設(shè)a＞0，下列計算中正確的是（）A．a(chǎn)32?aC．a(chǎn)﹣4?a4＝0 D．a(chǎn)【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，對各個選項逐一計算判斷即可得解．【解答】解：對于A，a32?對于B，(a32對于C，a﹣4?a4＝a﹣4+4＝a0＝1，故C錯誤；對于D，a32÷故選：B．【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)指數(shù)冪及根式的化簡運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．(3)2A．3 B．32 C．9 【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則求解．【解答】解：(3)2故選：B．【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．某放射性物質(zhì)在衰減過程中，其質(zhì)量y與年數(shù)t滿足關(guān)系式y(tǒng)=m0e?kt（m0為初始質(zhì)量，m0＞0，k為常數(shù)，A．13 B．19 C．127【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算法則列式計算得解．【解答】解：由已知當(dāng)t＝4，y=13m0時，再經(jīng)過8年，即t＝12時，y=m所以再經(jīng)過8年，該放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的127故選：C．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．某食品的保鮮時間y（單位：天）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx+m（e為自然對數(shù)的底數(shù)，k，m為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間是14天，在10℃的保鮮時間是7天，則該食品在20℃的保鮮時間是（）A．48小時 B．60小時 C．72小時 D．84小時【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】由已知結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為y＝ekx+m，若該食品在0℃的保鮮時間是14天，在10℃的保鮮時間是7天，則em所以e10k=1所以該食品在20℃的保鮮時間是y＝e20k+m＝e20k?em=1故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．已知a2x＝3，則ax+a﹣x＝（）A．433 B．303 C．16【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】根據(jù)條件可求出a﹣2x的值，然后對ax+a﹣x求平方即可得解．【解答】解：∵a2x＝3，∴a?2x∴(a∴ax故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算法則，是基礎(chǔ)題．11．某放射性物質(zhì)在衰變過程中，其質(zhì)量m（單位：克）與年數(shù)t滿足關(guān)系式m=m0e?kt（m0為初始質(zhì)量，A．13 B．14 C．16【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】依題意，t＝3時，e﹣3k=12，求出t＝9時，e【解答】解：經(jīng)過3年，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话?，∴t＝3時，e﹣3k=1∴再經(jīng)過6年，t＝9，m＝m0e﹣9k＝（12）3m0=18∴再經(jīng)過6年，該放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的18故選：D．【點(diǎn)評】本題考查完指數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．若5m＝2，5n＝3，則53m?2nA．23 B．223 C．2【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：若5m＝2，5n＝3，則53m?2n故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．13．計算0.02713【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算計算得解．【解答】解：原式=3故答案為：8．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．計算：(278)?2【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】應(yīng)用根式與有理數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算化簡求值．【解答】解：原式=(23)3×2故答案為：49【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的化簡，屬于基礎(chǔ)題．三．對數(shù)的概念（共2小題）15．在對數(shù)式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5）【考點(diǎn)】對數(shù)的概念．【分析】根據(jù)對數(shù)的概念，底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，列不等式組即可求解．【解答】解：要使對數(shù)式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意義，需滿足a?3＞0a?3≠1解得3＜a＜4或4＜a＜5，所以實數(shù)a的取值范圍是（3，4）∪（4，5）．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．16．對數(shù)式log（a﹣2）（5﹣a）中實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞）【考點(diǎn)】對數(shù)的概念．【分析】對數(shù)式有意義的條件是：真數(shù)為正數(shù)，底為正數(shù)且不為1，聯(lián)立得到不等式組，解出即可．【解答】解：要使對數(shù)式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意義，則a?2＞05?a＞0a?2≠1，解得a故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)式有意義的條件，即真數(shù)為正數(shù)，底為正數(shù)且不為1，屬于基礎(chǔ)題．四．指數(shù)式與對數(shù)式的互化（共18小題）17．歷史上數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明分別是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明大大縮短了計算時間，為人類進(jìn)行科學(xué)研究和了解自然起了重大作用，對數(shù)運(yùn)算對估算“天文數(shù)字”具有獨(dú)特的優(yōu)勢．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，則2.51051的估算值為（）A．10418 B．10419 C．10420 D．10421【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為lg2≈0.301，lg5≈0.699，所以lg2.51051＝1051lg2.5＝1051（lg5﹣lg2）≈1051×（0.699﹣0.301）≈418，所以2.51051≈10418．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．已知2a＝3b＝t，且2a+1A．3 B．23 C．±23【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)指對互化，結(jié)合換底公式，即可求解．【解答】解：由2a＝t可得a＝log2t，所以1a=log由3b＝t可得b＝log3t，所以1b=log故2a+1b=2logt2+logt3＝logt故t2＝12，由于t＞0，故t=23故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19．當(dāng)陽光射入海水后，海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用ID=I0e?KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是消光系數(shù)，D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和I（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】理解題意，代值后，將指數(shù)式化成對數(shù)式，取近似值計算即得．【解答】解：某海域6米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的40%，依題意得，ID化成對數(shù)式，?6K=ln2則該海域消光系數(shù)K的值約為K≈0.15．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)式、對數(shù)式互化等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且1x+1A．log23 B．log25 C．log35 D．log56【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：2x＝3y＝5z＝k，則x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，故1x+1y=logk3+logk2＝logk故a=logk故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．21．已知實數(shù)a，b滿足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則a+b＝（）A．2 B．e C．3 D．4【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；函數(shù)的單調(diào)性．【分析】通過對已知等式進(jìn)行變形，構(gòu)造出相同形式的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性來建立等式關(guān)系，從而求出a+b的值．【解答】解：由a﹣1＝ln（4﹣a），可得ea﹣1＝4﹣a，即ea﹣1+（a﹣1）﹣3＝0，由beb＝e3，可得b＝e3﹣b，所以lnb＝3﹣b＝3﹣elnb，即elnb+lnb﹣3＝0．令f（x）＝ex+x﹣3，所以函數(shù)f（x）＝ex+x﹣3為增函數(shù)，由f（a﹣1）＝f（lnb）＝0，得a﹣1＝lnb，又因為lnb＝3﹣b，得a﹣1＝3﹣b，所以a+b＝4．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．22．歷史上數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明，大大縮短了計算時間，為人類研究科學(xué)和了解自然起了重大作用，對數(shù)運(yùn)算對估算“天文數(shù)字”具有獨(dú)特的優(yōu)勢．已知lg2≈0.301，則2.51000的估算值為（）A．10365 B．10379 C．10389 D．10398【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】首先計算lg2.51000，再根據(jù)指對運(yùn)算公式即可求解．【解答】解：lg2.51000＝1000lg2.5＝1000（1﹣2lg2）≈1000×（1﹣0.602）＝398，所以2.51000≈10398．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．23．關(guān)于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的兩根分別是α，β，則α+β＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】對方程進(jìn)行變形，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：關(guān)于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的兩根分別是α，β，則α+lgα＝3，β+10β＝3，故lgα＝3﹣α，lg（3﹣β）＝β，y＝lgx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故α=3?β3?α=β，即α+β故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化，屬于基礎(chǔ)題．24．已知ax＝2，loga6＝y(tǒng)，a＞0，且a≠1，則ax+y＝（）A．5 B．6 C．7 D．12【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算，求解即可．【解答】解：由loga6＝y(tǒng)，可得ay＝6，又ax＝2，則ax+y＝x?ay＝12．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．25．把某種物體放在空氣中，若該物體原來的溫度是θ′℃，空氣的溫度是θ0℃，則tmin后該物體的溫度θ℃滿足θ=θ0+(θ′?θ0)e?t4．若θ0，θ′不變，在t1min，t2min后該物體的溫度分別為θ1A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．若θ′＞θ0，則t1＞t2；若θ′＜θ0，則t1＜t2 D．若θ′＞θ0，則t1＜t2；若θ′＜θ0，則t1＞t2【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】根據(jù)指對數(shù)互化，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：因為θ=θ0+(θ′?θ0)e所以t=?4lnθ?若θ′＞θ0，則f(θ)=?4lnθ?θ0θ′?θ0是減函數(shù)，所以若θ′＜θ0，則f(θ)=?4lnθ?θ0θ′?θ0是增函數(shù)，所以故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．26．設(shè)a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，mynxA．0 B．1 C．2 D．4【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡運(yùn)算得解．【解答】解：由m＝ax，得my＝（ax）y＝axy，又∵n＝ay，∴nx＝（ay）x＝axy，∴mynx＝axyaxy＝a2xy，又mynx=a4z故選：C．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化，是基礎(chǔ)題．27．已知正數(shù)x，y，z，滿足3x＝4y＝6z，則下列說法不正確的是（）A．1x+12y=1z B．x＞y＞z C．1【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象的特征．【分析】令3x＝4y＝6z＝t＞1，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，對于A，直接代入利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算判斷，對于B，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對于C，利用作差法分析判斷，對于D，對3x，4y，6z化簡變形，結(jié)合冪的運(yùn)算性質(zhì)及不等式的性質(zhì)分析判斷．【解答】解：令3x＝4y＝6z＝t＞1，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，對于A，1x+1對于B，因為y＝logtx（t＞1）在（0，+∞）上遞增，且1＜3＜4＜6，所以logt1＜logt3＜logt4＜logt6，即0＜1即0＜1x＜1y＜1z，所以對于C，因為1＝logt3+logt6﹣2logt4=log＞logt1＝0（t＞1），所以1x+1對于D，3x=3log因為(313所以ln313因為t＞1，所以lnt＞0，所以lntln所以log313t＜log414故選：C．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)式、指數(shù)式互化公式、對數(shù)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．28．如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動．點(diǎn)Q沿直線CD做勻速運(yùn)動，CQ＝x；點(diǎn)P沿線段AB（長度為107單位）運(yùn)動，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（PB＝y(tǒng)）．令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是y=107(1e)xA．ln2 B．ln3 C．ln32 【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】易知，它們的初速度相等，故Q點(diǎn)的速度為107，然后可以根據(jù)y=107(1e)x107【解答】解：由題意，P點(diǎn)初始速度107即為Q點(diǎn)的速度．當(dāng)P在靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)時：23×107當(dāng)P在二等分點(diǎn)時：12×107=10所以經(jīng)過的時間為：[10故選：D．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的計算和指數(shù)式和對數(shù)式的互化，要注意對題意的準(zhǔn)確理解．屬于基礎(chǔ)題．29．嫦娥六號是中國計劃進(jìn)行的一次月球采樣返回任務(wù)．假設(shè)嫦娥六號在接近月球表面時，需要進(jìn)行一系列的減速操作，其減速過程可以近似地看作是一個指數(shù)衰減過程，其速度v（t）（單位：米/秒）隨時間t（單位：秒）的變化關(guān)系可以表示為：v(t)=v0?e?λt，其中v0是初始速度，λ是一個減速過程相關(guān)的常數(shù)．已知嫦娥六號在t＝0時的初始速度為v0＝1000m/s，經(jīng)過t＝10s后，速度變?yōu)関（10）＝500m/s．若嫦娥六號需要在t＝Ts時將速度減至月球表面的安全著陸速度v（T）＝1m（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)值：lg2≈0.301）A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】由題意可得e?10λ=12，可求得λ=ln2【解答】解：由v(t)=v0?e?λt，根據(jù)題意可得v又v（10）＝500，所以e?10λ兩邊取以e為底的對數(shù)，可得?10λ=ln1所以λ=ln210，由v（T）＝1m/s，所以1＝1000?e﹣λT，所以所以兩邊取以e為底的對數(shù)，得ln1所以T=ln1000故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．（多選）30．若實數(shù)a，b滿足2a＝3b＝6，則（）A．1a+1b=1 B．logaC．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)a＞ab＞bb【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化結(jié)合對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答】解：對于A，因為2a＝3b＝6，所以b＝log36，a＝log26，1a+1對于B，C，由已知得，a＝log26＞b＝log36＞1，所以logba＞1＞logab，B錯誤，C正確；對于D，因為a＞b＞1，f（x）＝ax單調(diào)遞增，所以f（a）＝aa＞f（b）＝ab，又g（x）＝xb在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（a）＝ab＞g（b）＝bb，故aa＞ab＞bb，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)、指數(shù)式與對數(shù)式互化，屬于中檔題．（多選）31．若6a＝2，6b＝3，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)+b＝1 B．a(chǎn)2C．a(chǎn)b＜14 【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則，基本不等式的公式，配方法，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：6a＝2，6b＝3，則6a?6b＝6a+b＝6，即a+b＝1，故A正確；a2+b2＝a2+（1﹣a）2=2(a?12)2+1ab＜(a+b)26a＝2，則a＝log62，又2＞6故a=log62＞lo故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．32．若正實數(shù)m，n，t滿足5m＝7n＝t，且1m+1n=2，則t【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，求出m，n，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：因為正實數(shù)m，n，t滿足5m＝7n＝t，所以m＝log5t，n＝log7t，所以1m+1n=1lo所以t2＝35，又因為t＞0，所以t=35故答案為：35．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．33．已知a＞0且a≠1，若loga2＝m，loga3＝n，則am+n＝6．【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運(yùn)算求值．【分析】先把對數(shù)式化為指數(shù)式，再指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：因為loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以am+n＝aman＝2×3＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．34．放射性物質(zhì)原子核數(shù)的衰變規(guī)律是：N=N0?(12)tT，其中N0指初始時刻的原子核數(shù)，t為衰變時間，T為半衰期，N為衰變后剩余的原子核數(shù)．已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為T1、【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】由題意得M0×(12)512【解答】解：由題意得M0×(12)512∴512T∴1T故答案為：1256【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．五．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共5小題）35．已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，則a＝（）A．2或8 B．12或8 C．8 【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡計算即可求解．【解答】解：因為loga8×loga2＝1﹣loga4，又log1?log令t＝loga2＞0，所以3t2＝1﹣2t，解得t=13或所以loga2=故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．36．已知a＝lg2，b＝lg3，則lg12可以表示為（）A．a(chǎn)2b B．2ab C．a(chǎn)+2b D．2a+b【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解．【解答】解：因為a＝lg2，b＝lg3，所以lg12＝lg（3×4）＝lg3+lg4＝lg3+lg22＝lg3+2lg2＝2a+b．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．37．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用視星等和絕對星等來描述．視星等m是在地球上看到的星體亮度等級，視星等受恒星距離影響．絕對星等M是假設(shè)把恒星放在距離地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）時的視星等，這樣能比較不同恒星本身的亮度．視星等m和絕對星等M滿足m?M=5lg(d10)，其中d是與地球的距離，單位為秒差距．若恒星A距離地球約32.6光年，恒星B距離地球約326光年，恒星A，B的視星等滿足mB﹣A．MB＝MA+4 B．MB＝MA+6 C．MA＝MB+1 D．MA＝MB+6【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：由題意可知，mA?MA=5lg(32.610則4﹣（MB﹣MA）＝5，解得MA＝MB+1．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．38．若2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，則x，y的關(guān)系是（）A．x＝y(tǒng) B．x＝2y C．x＝4y D．x＝y(tǒng)或x＝4y【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得x，y的關(guān)系式，然后結(jié)合對數(shù)真數(shù)大于0的條件可求．【解答】解：因為2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，所以lg（x﹣2y）2＝lgx+lgy＝lgxy，x＞0，y＞0，x﹣2y＞0，所以（x﹣2y）2＝xy，整理得，x2﹣5xy+4y2＝0，解得，x＝4y或x＝y(tǒng)（舍），故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，解題中不要漏掉對數(shù)真數(shù)大于0的條件，屬于基礎(chǔ)題．39．（1）(3?π)2（2）(log【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【分析】（1）結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）(3?π)2（2）原式=[(1【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)冪及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．六．對數(shù)運(yùn)算求值（共6小題）40．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其訓(xùn)練算力需求為1000PetaFLOPS（千億億次浮點(diǎn)運(yùn)算/秒）．根據(jù)技術(shù)規(guī)劃，DeepSeek的算力每年增長50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并計劃繼續(xù)保持這一增長率．問：DeepSeek的算力預(yù)計在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年【考點(diǎn)】對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】利用歸納可知，從2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，解不等式2250×(【解答】解：根據(jù)技術(shù)規(guī)劃，DeepSeek的算力每年增長50%，截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并計劃繼續(xù)保持這一增長率，由題意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，到2026年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS，到2027年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS，?，以此類推可知，從2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，由2250×(32∴n＞log∴DeepSeek的算力預(yù)計在2028年首次突破7500PetaFLOPS．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．41．已知a＞b＞1，若logab+logba=103，A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】設(shè)t＝logba并由條件求出t的范圍，代入logab+logba=103化簡后求出t的值，得到a與b的關(guān)系式代入ab【解答】解：設(shè)t＝logba，由a＞b＞1得t＞1，已知等式轉(zhuǎn)化為：t+1即3t2﹣10t+3＝0，解得：t＝3或t=1所以logba＝3，即a＝b3，又因為ab＝ba，所以b3b＝ba，則a＝3b＝b3，解得：b=3，a=33，所以故選：D．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．42．化簡（log62）2+log62?log63+2log63?6A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣1【考點(diǎn)】對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】由已知結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：（log62）2+log62?log63+2log63?＝（log62）2+log62?（1﹣log62）+2（1﹣log62）﹣2＝（log62）2+log62﹣（log62）2+2﹣2log62﹣2＝﹣log62．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．43．若logam＝2，b3＝m，則logm（ab）＝（）A．16 B．15 C．56【考點(diǎn)】對數(shù)運(yùn)算求值；指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【分析】先根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式互換得出logbm＝3；再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式可求解．【解答】解：由b3＝m可得：logbm＝3，則logm（ab）＝logma+logmb=1故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．44．已知a=log52，A．1a+b B．1b+a C．【考點(diǎn)】對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】先利用對數(shù)的換底公式得1a=log25【解答】解：a=log∴a＝log52=lo∴1a=log25∴l(xiāng)og故選：A．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．45．若a＞1，b＞1，且log3a?log3b＝4，則ab的最小值為81．【考點(diǎn)】對數(shù)運(yùn)算求值．【分析】利用基本不等式及對數(shù)的運(yùn)算法則，最后借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴l(xiāng)og3a＞0，log3b＞0，且log3a?log3b＝4，∴l(xiāng)og當(dāng)且僅當(dāng)log3a＝log3b即a＝b時等號成立，又log3a+log3b＝log3ab，∴l(xiāng)og∴ab≥34＝81，則ab的最小值為81．故答案為：81．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式求最值的方法，是基礎(chǔ)題．課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．已知，若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知，且，，，若，，則（

）A． B． C． D．3．若，，則（

）A． B．C． D．4．若對數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．186．在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間（單位：小時），其中k為常數(shù)，在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加20小時；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加（單位：小時）（

）A．2 B．4 C．6 D．87．已知，將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．8．已知，且，則（

）A． B． C． D．9．某地大氣壓強(qiáng)p（單位：kPa）與海拔h（單位：m）之間的關(guān)系可以由近似描述，其中為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)，k為常數(shù)．已知某季節(jié)該地海拔為5000m，8000m兩處的大氣壓強(qiáng)分別為54kPa，36kPa．下表為該地不同季節(jié)平均標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)的范圍，則此時該地為（

）季節(jié)春季夏季秋季冬季（參考數(shù)據(jù)：，）A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季10．按照《中小學(xué)校教室換氣衛(wèi)生要求》，教室內(nèi)二氧化碳最高容許濃度不高于．經(jīng)測定，剛下課時，教室內(nèi)含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)的二氧化碳濃度為，且隨時間（單位：）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要的時間的最小整數(shù)值為（

）參考數(shù)據(jù)：．A．1 B．3 C．7 D．8二、多選題11．下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．12．已知，，則（

）A． B． C． D．13．設(shè)，則下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題14．.15．．16．，則用和表示的結(jié)果為四、解答題17．（1）已知，試用表示；（2）已知，求的值．18．求解下列問題：(1)在①，②中任選一個求值；(2)已知，，試用a，b表示．19．計算：(1)；(2)；(3)．20．（1）計算：；（2）已知，，求的值；（3）已知，求的值參考答案題號12345678910答案DACBBCBCDD題號111213答案ACDBCDAD1．D【分析】利用對數(shù)運(yùn)算，結(jié)合因式分解，通過分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值.【詳解】由題意得：，所以或，即或，因為，所以，即，取等號條件為，此時，故選:D2．A【分析】先根據(jù)指數(shù)