【第10講：指數(shù)對數(shù)運算】總覽總覽題型梳理一．有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化（共5小題）二．有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值（共9小題）三．對數(shù)的概念（共2小題）四．指數(shù)式與對數(shù)式的互化（共18小題）五．對數(shù)的運算性質(zhì)（共5小題）六．對數(shù)運算求值（共6小題）【知識點清單】1．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識點的認識】根式與分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam（a＞0，m，na?mn=1amn=1na0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分數(shù)指數(shù)冪：amn=nam（a＞0，m，n②負分數(shù)指數(shù)冪：a?mn=1amn=1na③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．2．對數(shù)的概念【知識點的認識】1．對數(shù)的定義如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．（2）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a（a＞0且a≠1）logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN3．指數(shù)式與對數(shù)式的互化【知識點的認識】ab＝N?logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：（1）af（x）＝b?f（x）＝logab；logaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）?f（x）logma＝g（x）logmb；（兩邊取對數(shù)法）（4）logaf（x）＝logbg（x）?logaf（x）=1（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝logax或t＝ax）（換元法）4．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝Nloga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n5．對數(shù)運算求值【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝Nloga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解題方法點撥】﹣利用對數(shù)定義直接求值．﹣利用換底公式log﹣結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)，如loga（mn）＝logam+logan、loga(題型題型分類知識講解與?？碱}型一．有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化（共5小題）1．已知a＞0，則a1A．a(chǎn)712 B．a(chǎn)512 C．2．3aA．a(chǎn)?23 B．a(chǎn)?32（多選）3．下列各式中正確的是（）A．a(chǎn)4=|a| B．2﹣2C．(3a24．將a2a(其中a＞0)5．計算化簡A，B：（1）已知a＞0，b＞0，化簡：A=(3a（2）化簡：B=3二．有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值（共9小題）6．設(shè)a＞0，下列計算中正確的是（）A．a(chǎn)32?aC．a(chǎn)﹣4?a4＝0 D．a(chǎn)7．(3)2A．3 B．32 C．9 8．某放射性物質(zhì)在衰減過程中，其質(zhì)量y與年數(shù)t滿足關(guān)系式y(tǒng)=m0e?kt（m0為初始質(zhì)量，m0＞0，k為常數(shù)，A．13 B．19 C．1279．某食品的保鮮時間y（單位：天）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx+m（e為自然對數(shù)的底數(shù)，k，m為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間是14天，在10℃的保鮮時間是7天，則該食品在20℃的保鮮時間是（）A．48小時 B．60小時 C．72小時 D．84小時10．已知a2x＝3，則ax+a﹣x＝（）A．433 B．303 C．1611．某放射性物質(zhì)在衰變過程中，其質(zhì)量m（單位：克）與年數(shù)t滿足關(guān)系式m=m0e?kt（m0為初始質(zhì)量，A．13 B．14 C．1612．若5m＝2，5n＝3，則53m?2nA．23 B．223 C．213．計算0.0271314．計算：(278)三．對數(shù)的概念（共2小題）15．在對數(shù)式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5）16．對數(shù)式log（a﹣2）（5﹣a）中實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞）四．指數(shù)式與對數(shù)式的互化（共18小題）17．歷史上數(shù)學計算方面的三大發(fā)明分別是阿拉伯數(shù)字、十進制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明大大縮短了計算時間，為人類進行科學研究和了解自然起了重大作用，對數(shù)運算對估算“天文數(shù)字”具有獨特的優(yōu)勢．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，則2.51051的估算值為（）A．10418 B．10419 C．10420 D．1042118．已知2a＝3b＝t，且2a+1A．3 B．23 C．±2319．當陽光射入海水后，海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用ID=I0e?KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是消光系數(shù)，D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和I（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.1420．已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且1x+1A．log23 B．log25 C．log35 D．log5621．已知實數(shù)a，b滿足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則a+b＝（）A．2 B．e C．3 D．422．歷史上數(shù)學計算方面的三大發(fā)明是阿拉伯數(shù)字、十進制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明，大大縮短了計算時間，為人類研究科學和了解自然起了重大作用，對數(shù)運算對估算“天文數(shù)字”具有獨特的優(yōu)勢．已知lg2≈0.301，則2.51000的估算值為（）A．10365 B．10379 C．10389 D．1039823．關(guān)于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的兩根分別是α，β，則α+β＝（）A．3 B．4 C．5 D．624．已知ax＝2，loga6＝y(tǒng)，a＞0，且a≠1，則ax+y＝（）A．5 B．6 C．7 D．1225．把某種物體放在空氣中，若該物體原來的溫度是θ′℃，空氣的溫度是θ0℃，則tmin后該物體的溫度θ℃滿足θ=θ0+(θ′?θ0)e?t4．若θ0，θ′不變，在t1min，t2min后該物體的溫度分別為θ1A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．若θ′＞θ0，則t1＞t2；若θ′＜θ0，則t1＜t2 D．若θ′＞θ0，則t1＜t2；若θ′＜θ0，則t1＞t226．設(shè)a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，mynxA．0 B．1 C．2 D．427．已知正數(shù)x，y，z，滿足3x＝4y＝6z，則下列說法不正確的是（）A．1x+12y=1z B．x＞y＞z C．128．如圖，假定兩點P，Q以相同的初速度運動．點Q沿直線CD做勻速運動，CQ＝x；點P沿線段AB（長度為107單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（PB＝y(tǒng)）．令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學符號表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是y=107(1e)xA．ln2 B．ln3 C．ln32 29．嫦娥六號是中國計劃進行的一次月球采樣返回任務(wù)．假設(shè)嫦娥六號在接近月球表面時，需要進行一系列的減速操作，其減速過程可以近似地看作是一個指數(shù)衰減過程，其速度v（t）（單位：米/秒）隨時間t（單位：秒）的變化關(guān)系可以表示為：v(t)=v0?e?λt，其中v0是初始速度，λ是一個減速過程相關(guān)的常數(shù)．已知嫦娥六號在t＝0時的初始速度為v0＝1000m/s，經(jīng)過t＝10s后，速度變?yōu)関（10）＝500m/s．若嫦娥六號需要在t＝Ts時將速度減至月球表面的安全著陸速度v（T）＝1m（精確到小數(shù)點后一位，參考數(shù)值：lg2≈0.301）A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3（多選）30．若實數(shù)a，b滿足2a＝3b＝6，則（）A．1a+1b=1 B．logaC．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)a＞ab＞bb（多選）31．若6a＝2，6b＝3，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)+b＝1 B．a(chǎn)2C．a(chǎn)b＜14 32．若正實數(shù)m，n，t滿足5m＝7n＝t，且1m+1n=233．已知a＞0且a≠1，若loga2＝m，loga3＝n，則am+n＝．34．放射性物質(zhì)原子核數(shù)的衰變規(guī)律是：N=N0?(12)tT，其中N0指初始時刻的原子核數(shù)，t為衰變時間，T為半衰期，N為衰變后剩余的原子核數(shù)．已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為T五．對數(shù)的運算性質(zhì)（共5小題）35．已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，則a＝（）A．2或8 B．12或8 C．8 36．已知a＝lg2，b＝lg3，則lg12可以表示為（）A．a(chǎn)2b B．2ab C．a(chǎn)+2b D．2a+b37．在天文學中，天體的明暗程度可以用視星等和絕對星等來描述．視星等m是在地球上看到的星體亮度等級，視星等受恒星距離影響．絕對星等M是假設(shè)把恒星放在距離地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）時的視星等，這樣能比較不同恒星本身的亮度．視星等m和絕對星等M滿足m?M=5lg(d10)，其中d是與地球的距離，單位為秒差距．若恒星A距離地球約32.6光年，恒星B距離地球約326光年，恒星A，B的視星等滿足mB﹣A．MB＝MA+4 B．MB＝MA+6 C．MA＝MB+1 D．MA＝MB+638．若2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，則x，y的關(guān)系是（）A．x＝y(tǒng) B．x＝2y C．x＝4y D．x＝y(tǒng)或x＝4y39．（1）(3?π)2（2）(log六．對數(shù)運算求值（共6小題）40．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其訓練算力需求為1000PetaFLOPS（千億億次浮點運算/秒）．根據(jù)技術(shù)規(guī)劃，DeepSeek的算力每年增長50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并計劃繼續(xù)保持這一增長率．問：DeepSeek的算力預(yù)計在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年41．已知a＞b＞1，若logab+logba=103，A．6 B．7 C．8 D．942．化簡（log62）2+log62?log63+2log63?6A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣143．若logam＝2，b3＝m，則logm（ab）＝（）A．16 B．15 C．5644．已知a=log52，A．1a+b B．1b+a C．45．若a＞1，b＞1，且log3a?log3b＝4，則ab的最小值為．課后針對訓練課后針對訓練一、單選題1．已知，若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知，且，，，若，，則（

）A． B． C． D．3．若，，則（

）A． B．C． D．4．若對數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．186．在一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間（單位：小時），其中k為常數(shù)，在此條件下，已知訓練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓練時間增加20小時；當訓練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓練時間增加（單位：小時）（

）A．2 B．4 C．6 D．87．已知，將表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．8．已知，且，則（

）A． B． C． D．9．某地大氣壓強p（單位：kPa）與海拔h（單位：m）之間的關(guān)系可以由近似描述，其中為標準大氣壓強，k為常數(shù)．已知某季節(jié)該地海拔為5000m，8000m兩處的大氣壓強分別為54kPa，36kPa．下表為該地不同季節(jié)平均標準大氣壓強的范圍，則此時該地為（

）季節(jié)春季夏季秋季冬季（參考數(shù)據(jù)：，）A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季10．按照《中小學校教室換氣衛(wèi)生要求》，教室內(nèi)二氧化碳最高容許濃度不高于．經(jīng)測定，剛下課時，教室內(nèi)含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)的二氧化碳濃度為，且隨時間（單位：）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間的最小