黑龍江省哈爾濱市部分學校2025-2026學年高一上學期1月學業(yè)質(zhì)量檢測（期末聯(lián)考）數(shù)學試題命題人：杜鉑代奇郭丹丹張艾楠審題人：謝宏霞高霞本試卷共19題，共150分，共4頁.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】，故選：C2.已知命題，則命題p的否定為（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定要求，改變量詞否定結論即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知命題是特稱命題，由特稱命題的否定要求可知改變量詞否定結論，即需變成，否定為，綜合可知命題p的否定為.故選：3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，不關于原點對稱，故不是偶函數(shù)，A錯誤，對于B，為周期函數(shù)，在上不單調(diào)，故B錯誤，對于C，為奇函數(shù)，故C錯誤，對于D，函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，又，則，所以為偶函數(shù)，且在上，單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.4.已知扇形的半徑為，它的周長為，那么該扇形的圓心角為（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弧長公式即可求解.【詳解】設扇形的圓心角為，半徑為，由題意可得，故，故選：B5.若且，則的最小值為（）A. B. C.9 D.12【答案】B【解析】【分析】由，得，再利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】由題意，，又，則由基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.6.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，將所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象變換逐步求解.【詳解】把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)，將函數(shù)所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)，故選：C.7.已知角終邊在直線上，則的值為（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，即可利用弦切互化求解.【詳解】由的終邊在直線上可得，故故選：A8.方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換元，將問題轉(zhuǎn)化為兩個不相等的正實數(shù)根，利用判別式以及韋達定理即可求解.【詳解】由可得，令，故兩個不相等的正實數(shù)根，故，解得，故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列等式正確的是（）A B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系式、誘導公式和角范圍逐項判斷即可.【詳解】已知，所以，所以，A錯誤；，B正確；，C正確；，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.C.的對稱軸為 D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】AB選項，從圖象求出，最小正周期，得到，將代入解析式，得到，得到函數(shù)解析式及；CD選項，根據(jù)整體法求解出對稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】AB選項，從圖象可以得到函數(shù)最大值為2，故，函數(shù)的最小正周期為，又，故，故，將代入解析式可得，即，又，故，所以，解得，所以，B錯誤；故，A正確；C選項，令，解得，故的對稱軸為，C正確；D選項，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，則下列說法正確的是（）A.的圖象不可能是一條直線B.的圖象可能是一條拋物線C.當時，的值域為D.若關于的不等式的解集中有且僅有1個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】A將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立判斷；B將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結合判斷；C解方程，舉反例即可；D由選項B可知，當時，不符合題意；若，先說明當時，不符合題意，再利用反證法求證是的唯一整數(shù)解，進而解即可.【詳解】對于A：若的圖象是一條直線，則在上恒成立，即在上恒成立，顯然不成立，故A正確；對于B：若的圖象是一條拋物線，則在上恒成立，即在上恒成立，只需，即即可，故B正確；對于C：當時，，解，得，此時，故C錯誤；對于D：①由選項B可知，當時，在上恒成立，故在上恒成立，顯然不符題意；②若，當時，，即當時，無解；若且，使得，則，因為在單調(diào)遞減，故，則，此時也是滿足題意的整數(shù)解，與題意不符，因此該唯一整數(shù)解只能為1，因為當時，所以只需，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運算和對數(shù)運算法則進行計算.【詳解】.故答案為：113.已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設，由題知，得到，所以，得到，由，得到，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：.14.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得，即可求解.【詳解】由于為定義在上的奇函數(shù)，故的對稱中心為，則，.故答案為：2025四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是第三象限角，且滿足.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用弦切互化求解；方法二：由題干條件結合平方關系求解；（2）根據(jù)平方關系化簡即可求解.【小問1詳解】方法一：，所以.方法二：，由為第三象限角，，所以【小問2詳解】為第三象限角，.16.已知函數(shù)（1）求的定義域，并證明是奇函數(shù)；（2）求不等式的解集；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的定義進行證明；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式；（3）結合定義域和單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為所以的定義域為：，因為，所以，所以為奇函數(shù).小問2詳解】，所以，所以，即：，所以，不等式的解集為：；【小問3詳解】對于函數(shù)，令，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，故在內(nèi)單調(diào)遞增，由可得，因為是奇函數(shù)，故，解得.17.近幾年，哈爾濱花式寵愛南方游客成為新晉頂流，“南方小土豆”“廣西小砂糖橘”等對游客的愛稱也成為網(wǎng)絡熱梗.哈爾濱的旅游熱潮在一定程度上提升了該區(qū)域的經(jīng)濟發(fā)展活力.為了迎接全國游客，某工廠計劃在2026年利用3D技術生產(chǎn)哈爾濱紀念徽章，通過調(diào)研分析：生產(chǎn)徽章全年需要投入固定成本8萬元，生產(chǎn)徽章x（萬件），其它成本為（萬元），且，經(jīng)調(diào)研可知每個哈爾濱紀念徽章的售價為12元，且每年內(nèi)生產(chǎn)的徽章當年全部銷售完.（1）求2026年的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬件）的表達式；（2）2026年的年產(chǎn)量為多少萬件時，該工廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為8萬件時，利潤最大，最大為25萬元【解析】【分析】（1）利潤等于銷量乘以售價減成本進行求解；（2）分別利用二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式分段求最值．【小問1詳解】總收入：，當時，當時，所以，2026年總利潤為：；【小問2詳解】當時，當時，利潤最大，最大為萬元.當時，當且僅當，即：時，利潤最大，最大為25萬元.因為，所以年產(chǎn)量為8萬件時，利潤最大，最大為25萬元．18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，且.（1）求與；（2）求與的解析式，并判斷的單調(diào)性，不用說明理由；（3）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2），在上是增函數(shù)（3）【解析】【分析】（1）分別將和代入得到一個方程組，并利用奇偶性變形，解方程組即可求出和；（2）將代入并利用奇偶性變形，與原式組成方程組，求出和，再利用函數(shù)的性質(zhì)判斷的單調(diào)性即可；（3）由（2）可知在上是增函數(shù)，利用單調(diào)性將條件轉(zhuǎn)化為⑤在恒成立，令，則⑤可化為⑥，再對⑥分情況討論，當時，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為在上是奇函數(shù)，在上是偶函數(shù)，且，所以①，所以②，聯(lián)立①②組成的方程組，可解得；【小問2詳解】因為在上是奇函數(shù)，在上是偶函數(shù)，且③，則，即④，聯(lián)立③④組成的方程組可得.又因為，而在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)；【小問3詳解】由（2）可知，在上是增函數(shù)，若對恒成立則有在恒成立，即⑤在恒成立.令，則，又因為，所以，則⑤式可化為，即⑥.當時，⑥式恒成立，所以；當時，⑥式可化為，當時，取到最小值，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍.19.定義三階行列式運算：，其中.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知是一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且，求使的值為整數(shù)的所有a的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)行列式運算即可；（