一、開篇引思：為何要重視“雞兔同籠”的變式練習(xí)？演講人01開篇引思：為何要重視“雞兔同籠”的變式練習(xí)？02學(xué)情定位：四年級學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與變式學(xué)習(xí)難點(diǎn)03變式類型解析：從“形異”到“神同”的結(jié)構(gòu)拆解04教學(xué)策略設(shè)計：從“模仿應(yīng)用”到“自主建?！钡碾A梯式引導(dǎo)05練習(xí)設(shè)計：梯度化、多樣化的能力檢測06總結(jié)升華：在變式中生長的“模型思想”目錄2025小學(xué)四年級數(shù)學(xué)下冊雞兔同籠變式練習(xí)課件01開篇引思：為何要重視“雞兔同籠”的變式練習(xí)？開篇引思：為何要重視“雞兔同籠”的變式練習(xí)？作為一名深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終記得第一次教授“雞兔同籠”問題時的場景：孩子們盯著“雞兔共35頭，94腳”的題目，有的托腮皺眉，有的在草稿紙上畫滿小雞和兔子，還有的小聲嘀咕“要是全是雞或者全是兔子就好了”。當(dāng)我引導(dǎo)他們用假設(shè)法一步步推導(dǎo)出答案時，教室里響起此起彼伏的“哦，原來如此！”的驚嘆。但真正讓我意識到變式練習(xí)重要性的，是兩周后的單元測試——一道“自行車和三輪車共10輛，26個輪子”的題目，竟有近半數(shù)學(xué)生卡了殼。他們疑惑地問：“老師，這題里沒有雞和兔子，還能用原來的方法嗎？”這個場景讓我深刻體會到：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)不是記住某道題的解法，而是掌握“模型思想”的遷移能力?！半u兔同籠”作為經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，其核心價值在于通過“兩種事物、兩種屬性、總量約束”的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的假設(shè)推理、邏輯分析和問題轉(zhuǎn)化能力。而變式練習(xí)，正是幫助學(xué)生突破“具體情境”的束縛，抓住“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”本質(zhì)的關(guān)鍵路徑。02學(xué)情定位：四年級學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與變式學(xué)習(xí)難點(diǎn)學(xué)情定位：四年級學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與變式學(xué)習(xí)難點(diǎn)要設(shè)計有效的變式練習(xí)，首先需要精準(zhǔn)把握四年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。經(jīng)過前期學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備以下基礎(chǔ)：1知識儲備能熟練運(yùn)用“假設(shè)法”解決標(biāo)準(zhǔn)雞兔同籠問題（如已知頭數(shù)、腳數(shù)，求雞兔數(shù)量）；理解“總差÷單差=數(shù)量”的基本推理邏輯；掌握簡單的四則運(yùn)算和方程思想（部分學(xué)生）。2思維特點(diǎn)對生活中的實(shí)際問題興趣濃厚，但缺乏主動抽象數(shù)學(xué)模型的意識。03對“換湯不換藥”的問題容易產(chǎn)生思維定式，需要通過變式打破“情境依賴”；02以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡；013常見學(xué)習(xí)難點(diǎn)無法識別變式題與原題的“結(jié)構(gòu)共性”（如將“輪子”對應(yīng)“腳”，“車輛數(shù)”對應(yīng)“頭數(shù)”）；1面對“隱含條件”（如“每只雞2腳”變?yōu)椤懊块g房住3人”）時，不能自主提取關(guān)鍵信息；2遇到“多物種”或“多屬性”變式時，缺乏分步轉(zhuǎn)化的策略。303變式類型解析：從“形異”到“神同”的結(jié)構(gòu)拆解變式類型解析：從“形異”到“神同”的結(jié)構(gòu)拆解“雞兔同籠”的變式題看似千變?nèi)f化，實(shí)則遵循“保持核心結(jié)構(gòu)，改變情境要素”的規(guī)律。我將其歸納為五大類，每類均包含典型例題、解題思路和學(xué)生易錯點(diǎn)分析。1基礎(chǔ)變式：情境替換，屬性對應(yīng)特點(diǎn)：將“雞兔”替換為其他兩種事物（如車輛、昆蟲、球類等），但保留“兩種事物、兩種屬性（如頭/輛數(shù)、腳/輪子數(shù)）、總量約束”的核心結(jié)構(gòu)。例題1：停車場有自行車和三輪車共12輛，車輪總數(shù)31個，問自行車和三輪車各多少輛？解題思路：對應(yīng)原題結(jié)構(gòu)：自行車（雞，2輪）、三輪車（兔，3輪）、車輛總數(shù)（頭數(shù)）、輪子總數(shù)（腳數(shù)）；假設(shè)全是自行車：12×2=24輪，比實(shí)際少31-24=7輪；每換1輛三輪車，輪子增加3-2=1輪，需換7÷1=7輛三輪車；自行車數(shù)量：12-7=5輛。1基礎(chǔ)變式：情境替換，屬性對應(yīng)學(xué)生易錯點(diǎn)：混淆“單差”方向（如誤算為三輪車比自行車少1輪），需強(qiáng)調(diào)“替換后總量的變化方向”。2隱含條件變式：屬性值需自主提取特點(diǎn)：題目中不直接給出兩種事物的屬性值（如腳數(shù)），需結(jié)合生活常識或題目描述推導(dǎo)。例題2：學(xué)校組織植樹活動，老師每人種3棵，學(xué)生每3人種1棵，共100人植樹100棵，問老師和學(xué)生各多少人？解題思路：提取隱含屬性：老師（1人3棵）、學(xué)生（3人1棵→1人1/3棵）；假設(shè)全是老師：100×3=300棵，比實(shí)際多300-100=200棵；每換1名學(xué)生（即減少1老師，增加3學(xué)生），總?cè)藬?shù)不變，植樹數(shù)減少3-(1/3×3)=3-1=2棵；需換次數(shù)：200÷2=100次→學(xué)生人數(shù)=100×3=300？（矛盾，說明假設(shè)單位需調(diào)整）2隱含條件變式：屬性值需自主提取優(yōu)化假設(shè)：以“3人組”為單位，設(shè)x組老師（每組1人），y組學(xué)生（每組3人），則x+y=100/3？（非整數(shù)，換用方程更清晰）1方程法：設(shè)老師x人，學(xué)生(100-x)人，3x+(100-x)/3=100，解得x=25，學(xué)生75人。2教學(xué)啟示：當(dāng)屬性值非整數(shù)時，假設(shè)法需調(diào)整單位，或引入方程輔助理解，避免學(xué)生因“分?jǐn)?shù)運(yùn)算”產(chǎn)生畏難情緒。33多物種變式：分步轉(zhuǎn)化，降維處理特點(diǎn)：題目中涉及三種或以上事物，需通過“合并同類項(xiàng)”轉(zhuǎn)化為兩種事物的問題。例題3：動物園有孔雀、猴子和鴕鳥共20只，腳數(shù)共56只。已知孔雀和鴕鳥都是2腳，猴子4腳，問猴子有多少只？解題思路：觀察屬性：孔雀和鴕鳥腳數(shù)相同（2腳），可合并為“雙足動物”；設(shè)雙足動物x只，猴子(20-x)只；總腳數(shù)：2x+4(20-x)=56；解得：2x+80-4x=56→-2x=-24→x=12；猴子數(shù)量：20-12=8只。學(xué)生難點(diǎn)：無法自主識別“同類事物”，需引導(dǎo)觀察“屬性相同點(diǎn)”（如腳數(shù)、價格等），滲透“分類討論”思想。4實(shí)際應(yīng)用變式：生活場景中的模型遷移特點(diǎn)：問題源于真實(shí)生活，需從復(fù)雜情境中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例題4：媽媽買了2元、5元的紀(jì)念郵票共30張，花費(fèi)90元，問兩種郵票各買了多少張？解題思路：抽象結(jié)構(gòu)：2元郵票（雞，2腳）、5元郵票（兔，5腳）、張數(shù)（頭數(shù)）、總金額（腳數(shù)）；假設(shè)全是2元郵票：30×2=60元，比實(shí)際少90-60=30元；每換1張5元郵票，金額增加5-2=3元，需換30÷3=10張；5元郵票10張，2元郵票20張。教學(xué)價值：通過“購物”“比賽得分”“運(yùn)輸計費(fèi)”等場景，讓學(xué)生體會“數(shù)學(xué)模型服務(wù)于生活問題”的應(yīng)用價值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。4實(shí)際應(yīng)用變式：生活場景中的模型遷移3.5逆向變式：已知數(shù)量求總量，或部分量求其他量特點(diǎn)：改變問題的“已知-未知”方向，如已知雞兔數(shù)量差，求總腳數(shù)；或已知總腳數(shù)和雞兔倍數(shù)關(guān)系，求數(shù)量。例題5：雞比兔多10只，總腳數(shù)80只，問雞兔各多少只？解題思路：方法一（假設(shè)法）：去掉10只雞，剩余雞兔數(shù)量相等，總腳數(shù)80-10×2=60只；每組1雞1兔共6腳，組數(shù)=60÷6=10組→兔10只，雞10+10=20只；方法二（方程法）：設(shè)兔x只，雞(x+10)只，4x+2(x+10)=80→6x+20=80→x=10。教學(xué)重點(diǎn)：逆向變式需強(qiáng)化“數(shù)量關(guān)系的雙向表達(dá)”，幫助學(xué)生從“正向求解”過渡到“逆向構(gòu)建方程”，提升邏輯靈活性。04教學(xué)策略設(shè)計：從“模仿應(yīng)用”到“自主建模”的階梯式引導(dǎo)教學(xué)策略設(shè)計：從“模仿應(yīng)用”到“自主建?！钡碾A梯式引導(dǎo)變式練習(xí)的有效性，取決于教學(xué)策略的針對性。結(jié)合四年級學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，我設(shè)計了“三階五步法”，逐步提升學(xué)生的模型遷移能力。1一階：對比辨析，感知結(jié)構(gòu)（1-2課時）操作步驟：呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)題（雞兔同籠）與基礎(chǔ)變式題（如自行車三輪車），讓學(xué)生填寫“事物名稱”“屬性1”“屬性2”“總量1”“總量2”的對比表格；小組討論：“這兩題有什么相同的地方？”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“兩種事物、兩種屬性、總量約束”的核心結(jié)構(gòu)；教師總結(jié)：“不管是雞兔還是車輛，問題的本質(zhì)都是‘兩種事物的兩種屬性之和已知，求各自數(shù)量’，這樣的問題都可以用‘假設(shè)法’解決?！苯虒W(xué)工具：使用“結(jié)構(gòu)對比卡”（如表1），通過可視化工具幫助學(xué)生剝離情境，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)。1一階：對比辨析，感知結(jié)構(gòu)（1-2課時）|題目類型|事物A|事物B|屬性A（如腳/輪數(shù)）|屬性B（如腳/輪數(shù)）|總量1（頭/輛數(shù)）|總量2（腳/輪數(shù)）||----------------|-------------|-------------|--------------------|--------------------|------------------|------------------||標(biāo)準(zhǔn)雞兔同籠|雞|兔|2|4|頭數(shù)|腳數(shù)||自行車三輪車|自行車|三輪車|2|3|輛數(shù)|輪數(shù)|2二階：分層練習(xí)，突破難點(diǎn)（3-4課時）基礎(chǔ)層：情境替換類變式（如鋼筆圓珠筆價格問題），要求學(xué)生獨(dú)立填寫“結(jié)構(gòu)對比卡”，并復(fù)述解題步驟；01提高層：隱含條件類變式（如“大船小船限乘人數(shù)”），引導(dǎo)學(xué)生先圈畫關(guān)鍵信息，再提取屬性值（如“大船坐6人”對應(yīng)“兔4腳”）；02挑戰(zhàn)層：多物種變式（如“蜘蛛蜻蜓蟬”問題），小組合作討論“如何將三種事物轉(zhuǎn)化為兩種”，教師巡視時追問“為什么可以合并蜘蛛和蜻蜓？”（因腿數(shù)相同）。03反饋方式：采用“錯誤資源共享”，將學(xué)生典型錯誤（如混淆單差、遺漏隱含條件）投影展示，組織全班“診斷修正”，強(qiáng)化關(guān)鍵步驟的理解。043三階：生活實(shí)踐，自主建模（2課時）任務(wù)設(shè)計：讓學(xué)生從生活中尋找“雞兔同籠”模型的應(yīng)用場景，如：家庭場景：“媽媽買蘋果和梨共10斤，花了50元，蘋果6元/斤，梨4元/斤，各買了幾斤？”學(xué)校場景：“運(yùn)動會跳繩比賽，單人跳和雙人跳共15組，36人參加，各有幾組？”社會場景：“快遞站用大箱（裝8件）和小箱（裝5件）裝70件快遞，共用11個箱子，大小箱各幾個？”成果展示：舉辦“生活中的數(shù)學(xué)模型”分享會，學(xué)生用海報或小視頻展示自己發(fā)現(xiàn)的問題及解法，教師點(diǎn)評時強(qiáng)調(diào)“從生活到數(shù)學(xué)的抽象過程”，增強(qiáng)模型應(yīng)用的成就感。05練習(xí)設(shè)計：梯度化、多樣化的能力檢測練習(xí)設(shè)計：梯度化、多樣化的能力檢測為確保變式練習(xí)的效果，需設(shè)計覆蓋“理解-應(yīng)用-創(chuàng)新”的梯度化練習(xí)，同時兼顧題型多樣性（填空、選擇、解決問題、實(shí)踐操作）。1基礎(chǔ)鞏固（課堂練習(xí)）籠子里有蛐蛐（6條腿）和蜘蛛（8條腿）共10只，68條腿，蛐蛐和蜘蛛各幾只？（情境替換變式）小明買了5角和8角的郵票共15張，花了9元，問兩種郵票各買了幾張？（隱含單位變式，需統(tǒng)一單位為“角”）2能力提升（課后作業(yè)）雞兔同籠，兔比雞少15只，總腳數(shù)180只，雞兔各多少只？（逆向變式）學(xué)校租了大客車（45座）和小客車（30座）共10輛，送390名學(xué)生，問大小客車各幾輛？（實(shí)際應(yīng)用變式）3拓展挑戰(zhàn)（數(shù)學(xué)實(shí)踐）調(diào)查家里一周的早餐支出：包子（1.5元/個）和豆?jié){（2元/杯）共買了20份，花費(fèi)34元，記錄購買數(shù)量并驗(yàn)證是否符合“雞兔同籠”模型。（綜合實(shí)踐，需記錄調(diào)查過程和計算步驟）06總結(jié)升華：在變式中生長的“模型思想”總結(jié)升華：在變式中生長的“模型思想”回顧整個變式練習(xí)的設(shè)計與實(shí)施，我深刻感受到：“雞兔同籠”問題的價值，遠(yuǎn)不止于解決幾道數(shù)學(xué)題，而是通過“變式”這把鑰匙，打開學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！钡乃季S之門。當(dāng)學(xué)生能說出“這題看起來像雞兔同籠，因?yàn)橛袃煞N東西，兩種數(shù)