全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題

闡明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)根據(jù)本評(píng)分原則.第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔：第二試

各題，請(qǐng)按照本評(píng)分原則規(guī)定的評(píng)分檔次給分.假如考生的解答措施和本解答不一樣，只要思緒合理,

環(huán)節(jié)對(duì)的，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分原則劃分的檔次，予以對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)

第一試

一、選擇題：(本題滿(mǎn)分42分，每題7分)

1.已知a+b=2,———+———=-4,則ab的值為

ba

()

,.11

A.I.B.-1.C.------.D.—.

22

【答】B.

由=y可得〃(］一of+b(T—b)2=-4ab,

ba

即(a+b)-2(a2+/??)+c/+b'+4ab=0,

即2—2(/+b2)+2(a2-ab+/?2)+4ab=0,即2-2ab+4ab=0,因此ah=-1.

2,已知△ABC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和20,若第三條高線為長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條高線長(zhǎng)

的最大值為

()

A.5.B.6.C.7.D.8.

【答】B.

2s2s2S

設(shè)△ABC的面積為S,所求的第三條高線的長(zhǎng)為人則三邊長(zhǎng)分別為一,一,一.顯然

520h

竺

包

系

2ST得

一>?Ir>l1

520竺

2S至

+-->

745

20至

得

解<<2-0

S至

2143

+

--〃

2055

因此h的最大整數(shù)值為6,即第三條高線的長(zhǎng)的最大值為6.

3.方程|J2-1|=(4-2V3)(x+2)的解的個(gè)數(shù)為

()

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答】C.

當(dāng)|x|21時(shí)，方程為工2—1=(4一26)(工+2),即12一(4一26)工-9+46=0,解

得內(nèi)=有，￡二4一3石，均滿(mǎn)足|x|Nl.

當(dāng)|x|<l時(shí)，方程為1一42=（4-26）（工+2）,即42+（4-26口+7—46=0,解

得天二百一2,滿(mǎn)足|x|<l.

綜上，原方程有3個(gè)解.

全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參照答案及評(píng)分原則第1頁(yè)(共8頁(yè))

.4.今有長(zhǎng)度分別為I.2,…，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段構(gòu)成“線段組”，由這

一組線段恰好可以拼接成一種正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有

A.5組.B.7組.C.9組.D.II組.

【答】C.

顯然用這些線段去拼接成正方形，至少要7條.當(dāng)用7條線段去拼接成正方形時(shí)，有3條邊每邊

都用2條線段連接，而另一條邊只用I條線段，其長(zhǎng)度恰好等于其他3條邊中每?jī)蓷l線段的長(zhǎng)度之

和.當(dāng)用8條線段去拼接成正方形時(shí)，則每邊用兩條線段相接，其長(zhǎng)度和相等.

45

又由于1+2+—?+9=45,因此正方形的邊長(zhǎng)不不小于由于

7=1+6=2+5=34-4:8=14-7=2+6=3+5:

9=1+8=2+7=34-6=4+5；

1+9=2+8=3+7=4+6：2+9=3+8=4+7=54-6.

因此，構(gòu)成邊長(zhǎng)為7、8、10、II的正方形，各有一種措施；構(gòu)成邊長(zhǎng)為9的正方形，有"5種措

施。

故滿(mǎn)足條件的“線段組”的批數(shù)為lX4+5=9.

5.如圖，菱形ABC。中，AB=3,DF=\,/￡>43=60°,ZEFG=15°,FGYBC,

則AE=

(

)

A.14-V2.B.Vb.C.2V3—1.D.I+V3.

【答】D.

過(guò)尸作A8的垂線，垂足為//.?.?N￡>A8=60°,AF=AD-FD=2,

/.ZAFH=30°.AH=i,FH=瓜

又???ZEFG=15°,

/.NEFH=ZAFG-ZAFH-ZEFG=90°-30°-15°=45°,

從而是等腰直角三角形，EUtHE=FH=>/3,

AE=AH+HE=\-^^3.

_11I11111i,,,234,

6.己知一+-=—,—+------=-,-+------=—，則一+—+一的值為（）

xy+z2yz+x3zx+y4xyz

35

A.1.B.—.C.2.D.一.

22

【答】c.

i組沖+zx、yz+xy_xr+yz,xy+yz+zx9

由已知等式得--------=2,------=3.----:-=4,m因tl此上~:-------=-

x+y+zx+y+zx+y+zx+y+z2

…，)'z5zx3xy1'5z.y5

x+y+z2x+y+z2x+y+z2x3yx3

即z=3y=5x?

,11123

代入一+-----=一,得——解得％=.

xy+z2

—x+5x10

3

因此2+』+工入3423r

xyzx55.r5x

-x

3

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二、填空題：（本題滿(mǎn)分28分，每題7分）

1.在aABC中，已知NB=2ZA,8c=2,A3=2+2V5,則ZA=.

【答】15°o

延長(zhǎng)AB到D,使BD=BC,連線段CD,則NO=NBCD='/ABC=NA,因此CA=CD。

2

作CE_LA8于點(diǎn)E,則E為AD的中點(diǎn)，故

AE=DE=-AD=-(AB+BD)=-(2+2y/3+2)=2+y/3,一

222

BE=AB-AE=Q+2M)-Q+5=港.

在RL^BCE中，cosNE8C=〃=^，因此NE5C=30c,故ZA=-Z4BC=15°.

BC22

2.二次函數(shù)y=.d+%x+c的圖象的頂點(diǎn)為。，與'軸正方向從左至右依次交于A,“兩點(diǎn),

與y軸正方向交于C點(diǎn)，若和△OBC均為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則

b+2c=.

【答】2.

-h-A//?2-4c-b+yjb2-4cbh2-4c

由已知，得。（0,c）,A（\,0）,0（\,0）,D（導(dǎo)”）.

22

,2A______

過(guò)D作DEJ.AB于點(diǎn)E,,則2OE=AB,即2J.=-4c,得

4

/?2-4C=2V^4C.

因此一4c=()或J/??-4c=2.又Z?2-4C>0,因此J/?2-4C=2.

又OC=OB,即.=-1)+7)--4c,得b+2c="2-4c=2.

2

3.能使2”+256是完全平方數(shù)的正整數(shù)〃的值為.

【答】11.

當(dāng)〃<8時(shí)，2"+256=2"(1+2""),若它是完全平方數(shù)，則〃必為偶數(shù).

若〃=2,則2"+256=22X65；若〃=4,則2"+256=24x17；若〃=6,則

2"+256=26x5：若〃=8,則2"+256=2'x2。因此，當(dāng)〃K8時(shí)，2"+256都不是完

全平方數(shù).

當(dāng)〃>8時(shí)，2"+256=28(2n-8+l),若它是完全平方數(shù)，則2”4+1為一奇數(shù)的平方。

設(shè)2?8+1=(2%+Ifa為自然數(shù))，則2"T°=，(A+1).由于&和7+1一奇一偶,因此

k=l,于是2"T°=2,故〃=11.

4.如圖，己知人8是。。的直徑，弦C'。與A8交于?點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與C/)的延長(zhǎng)線交

C

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于點(diǎn)F,假如。E=巳CE,AC=8，。為E尸的中點(diǎn)，則AB=_____.

4A

【答】24.

設(shè)CE=4x,AE=)，，則DF=DE=3x,EF=6x.

連AD,BC.由于AR為00的直徑，AF為00的切線，因此

ZEAF=90°,ZACD=Z.DAF.

又由于D為RtAAEF的斜邊EF的中點(diǎn)，

/.DA=DE=DF,乙DAF=ZAFD,

...ZACD=ZAFD,AF=AC=Sy/5.

在RtZXAE產(chǎn)中，由勾股定理得EF2=AE2+AF2,即36x2=)3+320.

設(shè)8￡=z,由相交弦定理得CEDE=AEBE,即yz=4.「3x=12x?,

/.y2+320=3yz①

又「AD=DE,：.ZDAE=ZAED.

又/"石=/8?！?￡。=/8E。，，/BCE=NBEC,從而B(niǎo)C=BE=z.

在R【A4CB中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即（y+z）?=320+z?,

y2+2yz=320.②

聯(lián)立①②，解得y=8,z=16.

因此A8=A￡+3E=24.

第二試（A）

一、（本題滿(mǎn)分20分）已知三個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)a,〃,c滿(mǎn)足。一。+。=3,方程”?+々1+1=0

和X?+〃x+c=0有一種相似的實(shí)根，方程+x+a=o和工2+以+〃=0也有一種相似的實(shí)

根.求〃力,c的值.

解依次將題設(shè)中所給的四個(gè)方程編號(hào)為①，②，③，④.

?X2+cix-f*1—0

設(shè)占是方程①和方程②的一種相似的實(shí)根，則《'?一’兩式相減，可解得

X,+力X]+c=0,

c-1

x\=7?

a-b

.........................5分

設(shè)也是方程③和方程④的一種相似的實(shí)根，則I"；+々+”二°，兩式相減，可解得

[x；+cx2+b=0,

a-b

Xf=1o

■c-\

因此XjX2=1..........................io分

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又方程①的兩根之積等于1，于是々也是方程①的根，則4；+，'戊2+1=0。

乂X；+12+4=0,兩式相減，得（4_1）工2=4-1?.........................15

分

若。=1,則方程①無(wú)實(shí)根，因此awl,故當(dāng)二1?

于是。=-2,力+。=-1.又。-Z?+c=3,解得b=-3,c=2.20

分

（本題滿(mǎn)分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知NBM>=60°.ZABC=90°.

ZBCD=120°,對(duì)角線ACBO交于點(diǎn)S,RDS=2SB,P為AC的中點(diǎn).求證：（1）

ZPB￡>=3(P：(2)AD=DC.

證明（1）由己知得ZADC=90°,從而A,8,C,。四點(diǎn)共圓，AC為

直徑，。為該圓的圓心.................5分

作PM±BD于點(diǎn)M,知何為8。的中點(diǎn)，因此/BPM=-^BPD-

2

ZA=60°,從而NPBM=30°..........................1C分

(2)作SNLBP于點(diǎn)N,則SN=1sB.

9一

乂DS=2s及DM=MB=-BD,

2

31

MS=DS-DM=2SB--SB=-SB=SN,.........................15分

22

:.Ri^PMSwRdPNS,/MPS=/NPS=30

乂PA=PB,因此ZPAI3=-ZNPS=\5O,故ZDAC=45°=ZDC4，因此

2

AD=DC.

.25

分

三.(本題滿(mǎn)分25分)已知機(jī)，幾〃為正整數(shù)，m<n.設(shè)A(-嘰0),8(〃,0),C(0,〃)，

0為坐標(biāo)原點(diǎn).若NAC3=90°,且Q^+OB:+OC?=3(QA+OB+OC).

(I)證明：加+〃=〃+3；

(2)求圖象通過(guò)A,8,C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式.

解(1)由于NACB=90°,OC_LA3,因此。4,04=0。2,即〃加二

由OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC),得

m2+n2+p2=3(m+n+p)......................5分

又

in2+n2+p2={tn+n+p)*-2(〃〃？+np+mp)—{m+〃+p)2-2(p2+np+mp)

=(///+〃+/J)?—2p{m+〃+/?)=(m+〃+p){m+n-p),

從而有〃?+〃一〃=3,即m+〃=〃+3..........................

全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參照答案及評(píng)分京則第5頁(yè)（共8頁(yè)）

10分

(2)由"加=，〃?+〃=〃+3知m,n是有關(guān)x的一元二次方程

x2-(/?+3)x+p2=0①

的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，從而△=[-(〃+3)]2—4〃2>0,解得一1<〃<3。

又〃為正整數(shù)，故p=]或p=2................15

分

當(dāng)〃=1時(shí)，方程①為I?-4x+l=0,沒(méi)有整數(shù)解.

當(dāng)〃=2時(shí)，方程①為工2-5工+4=0,兩根為〃?=1,〃=4.

綜合知：in=1,n=4,/?=2................20

分

設(shè)圖象通過(guò)4及C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=攵(x+l)(x—4),將點(diǎn)C(0,2)的坐標(biāo)代入

得2=&xlx(-4),解得k=一一.

2

因此，圖象通過(guò)A,B,C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為

25分

第二試(B)

一.(本題滿(mǎn)分20分)題目和解答與(A)卷第一題相似.

二.(本題滿(mǎn)分25分)如可，在四邊形ABCD中，已知N8AO=60。，ZABC=90°,

ZBCD=120°,對(duì)角線AC,B。交于點(diǎn)S,且DS=2SB.求證：AD=DC.

證明由已知得NADC=90。，從而A及CO四點(diǎn)共圓，AC為立徑.

設(shè)?為AC的中點(diǎn)，則P為四邊形ABCD的外接圓的圓心.

...............5分

作PM±BD卜點(diǎn)M,則M為的中點(diǎn)，因此/BPM=L/B『D=

2A

NA=60。，從而NPBM=30°................10分

作SN_L8P「?點(diǎn)N,則SN=，S5.

2

又DS=2SB,DM=MB=-BD,

2

??

MS=DS-DM=2SB--SB=-SI3=SN,...........................15

22

分

RtAPNS,ZMPS=ZNPS=30°,

又PA=PB,因此/必3=1/即5=15。，因此ND4C=45°=NOC4,因此

2

AD=DC.

...........25分

全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參照答案及評(píng)分原則第6頁(yè)(共8頁(yè))

三.(本題滿(mǎn)分25分)已知"7,〃,p為正整數(shù)，m<〃.設(shè)A(-〃7,0),8(”,0),C(0,p),

O為坐標(biāo)原點(diǎn).若NAC8=90°,且。42+OB2+OC2=3(OA+O8+OC).求圖象通過(guò)

A8.C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式.

解由于ZAC8=90。，OC±AB,因此OAOB=OC2,即胸=".

由OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC),得

m2+n2+p?=3("?+n+p)......................5分

又

m2+n2+p2=(tn+n+/?)2-2(〃〃?+up+mp)=(m+n+p)2-2(p2+np+nip)

=(m+n+p)2-2p(m+〃+〃)=(m4-n+〃)("?+〃-〃)，

從而有m+w-/?=3,即

"[+〃=p+3...........................10分

又="2,故相，〃是有關(guān)K的一元二次方程

x2-(/?+3)x+p2=0①

的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，從而4=[一(〃+3)]2—4〃2>0,解得一1<〃<3。

又〃為正整數(shù)，故〃=1或〃=2......

15分

當(dāng)〃=1時(shí)，方程①為工2-4工+1=0,沒(méi)有整數(shù)解.

當(dāng)p=2時(shí)，方程①為A?-5X+4=0,兩根為，〃=1,〃=4.

綜合知：m=1,〃=4,〃=2................

20分

設(shè)圖象通過(guò)A8,C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=k（x+\）（x-4）,將點(diǎn)C（0,2）的坐標(biāo)代入

得2=&xlx（-4）,解得￡=一一.

因此，圖象通過(guò)AB,C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為

1103

y=—(x+l)(x-4)=—k+—x+2.

第