2025-2026學年江蘇省淮安市盱眙縣九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O外，則OP的長可能是(

)A.3 B.4 C.5 D.62.用配方法解一元二次方程x2?6x?2=0正確的是(

)A.(x?3)2=2 B.(x?3)2=113.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠D=55°，則∠B的度數(shù)是(

)A.115°

B.120°

C.125°

4.若關于x的一元二次方程x2+2x+m=0有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為(

)A.m<1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥15.如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D.若AB=10，AC=6，則BD的長是(

)

A.3 B.4 C.5 D.66.在△ABC中，∠A=50°，⊙O是△ABC的內切圓，連接OB、OC，則∠BOC的度數(shù)為(

)A.105° B.110° C.115°7.如圖1是博物館屋頂?shù)膱D片，屋頂由圖2中的瓦片構成，瓦片橫截面如圖3所示，AB是以點O為圓心，18cm為半徑的弧，弦AB的長為18cm，則AB的長是(

)

A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.6πcm8.如圖1，筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖2，筒車⊙O與水面分別交于點A、B，筒車上均勻分布著若干盛水筒，P表示筒車的一個盛水筒，PC是⊙O的直徑，連接PA、PB，點M在AB的延長線上，若∠APC=20°，則∠PBM=(

)

A.115° B.70° C.120°二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。9.若xm?1?x?5=0是關于x的一元二次方程，則m的值為

.10.若x=3是關于x的方程ax2?bx=6的解，則2025?9a+3b的值為

11.已知一個扇形的半徑長是4cm，圓心角為45°，則這個扇形的面積是

cm12.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則△ABC的外接圓半徑是______.13.在數(shù)學跨學科主題活動課上，芳芳用半徑為15cm，圓心角為120°的扇形紙板，做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示，在不考慮接縫的情況下，這個圓錐形生日帽的底面圓的半徑是

cm.14.劉徽在《九章算術注》中首創(chuàng)“割圓術”，利用圓的內接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學發(fā)展史上圓周率研究的新紀元.某同學在學習“割圓術”的過程中，作了一個如圖所示的圓內接正八邊形.若⊙O的半徑為2，則這個圓內接正八邊形的面積為

.

15.為了測量一個光盤的直徑，小明把直尺、光盤和三角板按如圖所示放置于桌面上，其中光盤與直尺、三角板均相切，點A是三角板的一個頂點，B是光盤與直尺的切點.測量得AB=6cm，則這張光盤的直徑是

cm.

16.如圖，已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內部作等腰△ABE，其中AB=AE，過點E作EF⊥AB于點F，若點P是△AEF的內心，AB=4，連接CP，則CP的最小值是

.

三、解答題：本題共11小題，共102分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

解方程：

(1)3(x?1)2=12；18.(本小題8分)

已知關于x的一元二次方程x2?(k+5)x+6+2k=0.

(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若此方程有一個根為3，求方程的另一個根19.(本小題8分)

隨著盱眙文旅融合發(fā)展的深入推進，大云山漢王陵博物館憑借金縷玉衣、陳璋圓壺等珍貴文物吸引了大批游客，成為感受西漢歷史文化的重要窗口.今年3月份，該博物館共計接待游客10萬人，受“漢代葬玉文化特展”等特色活動帶動，5月份接待游客數(shù)量增至14.4萬人.

(1)求大云山漢王陵博物館3月至5月接待游客的月平均增長率；

(2)若6月份繼續(xù)保持相同的增長率，結合盱眙“五一”文旅熱潮的延續(xù)性，則該博物館6月份預計接待游客多少萬人？20.(本小題8分)

如圖，在坐標系中，A(1,6)、B(5,6)、C(7,4).

(1)經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為______；

(2)這個圓的半徑長為______；

(3)判斷點D(5,?3)與⊙M的位置關系，點D在⊙M______；(填內、外、上)

(4)若AB與y軸交于點N，則∠ANC=______.21.(本小題8分)

如圖，已知△ABC中，∠C=90°.

(1)作一個圓，使圓心O在BC邊上，且⊙O與AB、AC所在的直線都相切(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，若AC=4，BC=3，求⊙O的半徑22.(本小題8分)

2025年5月10日江蘇省城市足球聯(lián)賽(被球迷稱為“蘇超”的足球聯(lián)賽)開幕.某經銷商銷售以“蘇超”為主題的T恤衫，平均每天可售出40件.每件盈利30元.為了盡快減少庫存、增加盈利，該經銷商采取了降價措施，經過一段時間的銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低1元，平均每天可多售出4件.設每件T恤衫降價x元.

(1)降價后每件T恤衫的利潤為______(元)，平均每天可售出______件(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)若該經銷商每天獲得的利潤為1500元，則每件T恤衫應降價多少元？23.(本小題8分)

為落實勞動教育課程要求，盱眙縣某學校在校園內開辟勞動教育基地，計劃種植盱眙特色蔬菜(如盱眙水芹、山藥等).基地一面利用學校圍墻(墻的最大可用長度為22米)，用總長46米的籬笆圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，為方便學生進出勞作，在菜地前端各設計了兩個寬1米的小門(小門處無需架設籬笆，可視為籬笆長度增加).若設菜地的寬AB為x米.

(1)BC=______米(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)若圍成的菜地面積為180平方米，求此時的寬AB.24.(本小題10分)

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O為圓心，OA為半徑的圓分別交AB，AC于點E，D.在BC的延長線上取點F，使得BF=EF.

(1)試判斷EF所在直線與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)若AD=4，∠A=20°25.(本小題10分)

在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=9cm，點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以每秒2cm的速度移動，同時點Q從點D出發(fā)沿DA邊向點A以每秒1cm的速度移動，P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動.設運動時間為t秒.解答下列問題：

(1)如圖①，t為何值時，△APQ的面積等于20cm2；

(2)如圖②，若以點P為圓心，PQ為半徑作⊙P.在運動過程中，是否存在t值，使得⊙P經過點C？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由26.(本小題12分)

定義：我們把關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0與cx2+bx+a=0(ac≠0,a≠c)稱為一對“友好方程”.如2x2?7x+3=0的“友好方程”是3x2?7x+2=0.

(1)寫出一元二次方程10x2?3x?1=0的“友好方程”______.

(2)已知一元二次方程10x2?3x?1=0的兩根為x1=12，x2=?15，請求出它的“友好方程”的兩根x3、x4.根據(jù)以上結論，猜想ax2+bx+c=027.(本小題14分)

閱讀與思考

下面是小宇的一篇數(shù)學日記(部分)，請仔細閱讀，并完成相應的任務.2025年5月4日星期日

中線定理

今天，我在瀏覽網頁時，發(fā)現(xiàn)了一個重要詞條——中線定理.該詞條由《中國科技信息》雜志社參與編輯并審核，經科普中國?科學百科認證.

閱讀該詞條后，將理解內容記錄如下：

中線定理：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.

如圖1，在△ABC中，D為BC的中點，可得AB2+AC2=2AD2+2BD2.

下面是該定理的證明過程：

證明：如圖1，過點A作AE⊥BC于點E.

在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，

任務：

(1)把上述過程括號中內容補充完整，即BE=______，CE=______；(用x，y表示)

(2)如圖1，在△ABC中，點D為BC的中點，AB=6，AC=4，BC=8，則AD=______；

(3)如圖2，已知?ABCD內接于⊙O，P為⊙O內一點，若PB=4，PD=7，求PA2+PC2的值.

【拓展提升】(4)如圖3，點C、D是以AB為直徑的⊙O上兩點，點P是OB的中點，點E是CD的中點，且∠CPD=90，若AB=16，當△EPB面積最大時，則CD參考答案一、選擇題：1.D

2.B

3.C

4.B

5.B

6.C

7.D

8.D

二、填空題：9.3

10.2019

11.2π

12.13213.5

14.815.1216.2三、解答題：17.解：(1)∵3(x?1)2=12，

∴(x?1)2=4，

則x?1=2或x?1=?2，

解得：x=3或x=?1；

(2)∵x2+4x=?2，

∴x18.解：(1)∵Δ=b2?4ac=[?(k+5)]2?4×1×(6+2k)=(k+1)2≥0，

∴方程總有兩個實數(shù)根；

(2)設方程的另一個根為m，

則3+m=k+519.解：(1)設該博物館這兩個月接待游客的月平均增長率為x，

依題意，得：10(1+x)2=14.4，

解得：x1=0.2=20%，x2=?2.2(不符合題意，舍去)；

答：該博物館這兩個月接待游客的月平均增長率為20%；

(2)6月份接待游客人數(shù)：14.4×(1+20%)=17.28(萬人)，

答：該博物館6月份預計接待游客17.28萬人．

20.解：(1)如圖，圓心M的坐標為(3,2)，

故答案為：(3,2)；

(2)圓的半徑長為：42+22=25；

(3)MD=(5?3)2+(2+3)2=29，

∵29>25，

∴點D在⊙M外，

故答案為：外；

(4)∵AC=62+22=210，

∴MA2+MC2=AC2，

∴∠AMC=90°，

由圓周角定理得：∠ANC=12∠AMC=45°，

故答案為：45°.

21.解：(1)如圖，先作∠BAC的平分線，交BC于點O，再以點O為圓心，OC的長為半徑畫圓，

則⊙O即為所求．

(2)設⊙O與AB相切于點D，連接OD，OA，

由勾股定理得，AB=AC2+BC2=5.

設⊙O的半徑為r，

則OC=OD=r.

∵S△ABC=S△AOB+S△AOC，

∴12AC?BC=12AB?OD+12AC?OC，

即12×4×3=12×5r+12×4r，

解得r=43，

∴⊙O的半徑為43.

22.解：(1)依題意得：降價x元后，每件襯衫的利潤為(30?x)元，平均每天的銷售量為(40+4x)件．

故答案為：(30?x)；(40+4x).

(2)依題意得：(30?x)(40+4x)=1500，

解得：x1=5，x2=15，

又∵要盡快減少庫存、增加盈利，

∴x=15.

答：每件商品應降價15元．

23.解：(1)由題意知，BC=46?3x+2×1=(48?3x)(米)，

故答案為：(48?3x)；

(2)由題意得：x(48?3x)=180，

整理得：x2?16x+60=0，

解得：x1=6，x2=10，

當x=6時，BC=48?3×6=30>22，不合題意，舍去；

當x=10時，BC=48?3×10=18<22，符合題意；

答：此時的寬AB為10米．

24.解：(1)直線EF與⊙O相切，理由：

連接OE，

∵FB=FE，

∴∠B=∠FEB，

∵OE=OA，

∴∠BAC=∠OEA，

又∵∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°，

∴∠OEA+∠BEF=90°，

∴∠OEF=180°?(∠OEA+∠BEF)=90°，

∴直線EF與⊙O相切；

(2)∵∠A=20°，

∴∠AEO=∠A=20°，

∴∠AOE=180°?20°?20°=140°，

∴弧長AE=140π?2180=149π.

25.解：(1)在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=9cm，點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以每秒2cm的速度移動，同時點Q從點D出發(fā)沿DA邊向點A以每秒1cm的速度移動，設運動時間為t秒，

∴AP=2tcm，AQ=(9?t)cm，

∵△APQ的面積等于20cm2，

∴12?2t(9?t)=20.

∴t2?9t+20=0，

∴t1=4，t2=5，

∴當t=4或5時，△APQ的面積等于20cm2；

(2)在運動過程中，存在t值，使得⊙P經過點C.理由如下：

如圖②，連接PC，

∵⊙P經過點C，

∴PQ=PC，

在直角三角形APQ中，由勾股定理得：PQ2=AP2+AQ2，

在直角三角形BCP中，由勾股定理得：PC2=PB2+BC2，

∴PA2+AQ2=PB2+BC2，

∴(2t)2+(9?t)2=(12?2t)2+92，

∴t=?15+341或t=?15?341(不合題意，舍去)，

∴當t=?15+341時，⊙P經