課程內(nèi)容與思政元素結(jié)合目的下二重積分的概念教學(xué)設(shè)計學(xué)院數(shù)學(xué)分析課程名稱二重積分的概念課程負(fù)責(zé)人授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)時1學(xué)時學(xué)分6學(xué)分教材信息數(shù)學(xué)分析第四版下冊/華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編授課章節(jié)第二十一章第一節(jié)課程類別專業(yè)教育課程本次課學(xué)情分析上課對象是數(shù)學(xué)類專業(yè)大二的學(xué)生，學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過了定積分的概念，時間久遠，有些可能已經(jīng)忘記了概念形成的思路方法，不利于從定積分的概念過渡到本節(jié)課的學(xué)習(xí)；對于概念的學(xué)習(xí)學(xué)生存在害怕困難、害怕探索的心理，進而容易忽略掌握概念形成的步驟思路，只注重硬記、硬背概念定義；學(xué)生剛學(xué)完曲線積分，開始慢慢地理解掌握微元思想，有助于對本節(jié)課的學(xué)習(xí).教學(xué)目標(biāo)理解和掌握二重積分的概念、幾何意義，知道二重積分存在的條件，并且能熟練掌握二重積分性質(zhì)，學(xué)生在經(jīng)歷二重積分概念形成的過程中，培養(yǎng)創(chuàng)新、探索解決問題能力.教學(xué)重難點重點：二重積分的定義及其存在性、二重積分的性質(zhì)、幾何意義.難點：通過幾何體體積求二重積分.教學(xué)方法通過提問法，學(xué)生探索二重積分概念的形成，理解定義；通過PPT放映和講授定理性質(zhì)，幫助學(xué)生掌握定理.課程思政教育內(nèi)容1、通過定積分概念類比導(dǎo)入學(xué)習(xí)二重積分概念，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想，知識遷移能力，積極去探索事物間的關(guān)系.2、通過“分割、近似求和、取極限”步驟求解曲頂柱體體積，導(dǎo)入“以直代曲”的對立與統(tǒng)一的哲學(xué)思想，引出量變與質(zhì)變的關(guān)系、積少成多的道理.3、二重積分的定義告訴我們?nèi)说纳钣梢患∈陆M成，要找到那個有意義的“少”去發(fā)展成“多”；由二重積分存在的條件引出充分的物質(zhì)條件支撐著事物存在，進而提出中國有效的控制了新型冠狀病毒肺炎疫情，正是破壞其存在的條件.4、中值定理的證明引入曹操沖象的故事，活躍課堂，證明思路類似“鋪路”思想，告訴學(xué)生大膽的聯(lián)想、想象.教學(xué)過程（課程內(nèi)容與思政元素結(jié)合）Ⅰ.（第0-2分鐘）教學(xué)內(nèi)容（一）引入首先給學(xué)生回顧定積分的概念，即一元函數(shù)在區(qū)間經(jīng)過分割、近似求和、取極限得到的某種結(jié)構(gòu)和的極限，即.通過曲邊梯形面積的求解和定積分概念類比學(xué)習(xí)二重積分的概念[2]，引導(dǎo)學(xué)生明白積分的定義是根據(jù)“分割、近似求和、求極限”這三個步驟得到的，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識理論之間是有聯(lián)系的，教導(dǎo)學(xué)生積極去探求事物間的關(guān)系，進而去尋找到解決問題的方法.（第2-3分鐘）切入思政元素：人是一個個體，但是與社會上的人事物都存在著一定的聯(lián)系，所以為人要有責(zé)任心，善待他人，善待自己.（第3-10分鐘）教學(xué)內(nèi)容如下是例子引入引例1曲頂柱體的體積設(shè)有一立體的底是面上的有界閉區(qū)域，側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于軸的柱面，頂是二元非負(fù)連續(xù)函數(shù)所表示的曲面，這個立體稱為以為底的曲頂柱體，求解該立體的體積.分析：學(xué)生知道平頂柱體的體積公式是，但該題不是平頂柱體，所以要換另一種做法.設(shè)計思路：將柱體底面分成份微元面積，再將微元面積所對應(yīng)的高作微小平頂柱體計算體積，然后將所有微小柱體的體積疊加起來，即為整個柱體的體積.具體步驟如下：（1）分割將區(qū)域任意劃分成個小閉區(qū)域，其中表示第個小閉區(qū)域的面積.在每個小閉區(qū)域內(nèi)，以它的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于軸的柱面，從而我們得到了個小曲頂柱體.（2）近似求和在每一個小閉區(qū)域上任取一點，以為高，為底面積的平頂柱體體積近似替代第個小曲頂柱體的體積.即把這個小平頂柱體的體積累加起來等于整個曲頂柱體的體積近似值，即此處用“地球是圓的，但我們站在地球上時，也會存在平坦的地方”的道理形象地讓學(xué)生理解可以近似替代的原因.（3）取極限將區(qū)域無限的細(xì)分，當(dāng)每個小區(qū)域趨向于一個點時，逼近于曲頂柱體的體積，即，表示區(qū)域的直徑中最大的值徑.（第10-12分鐘）切入思政點：“分割、近似求和、取極限”這三個步驟，體現(xiàn)出了對立與統(tǒng)一的哲學(xué)思想[4]，直和曲是相互對立的，但是它們可以轉(zhuǎn)換來解決實際的數(shù)學(xué)問題.分割思想把“大化小”，告誡我們，在生活中碰到大問題時要善于把大問題分解成小問題，運用我們的智慧尋找規(guī)律理性地去解決問題.同時教育學(xué)生，成大事者，重于細(xì)節(jié)，中國之大器，在于中國人有工匠精神，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷，提高學(xué)生的時代責(zé)任感.“近似和，求極限”，體現(xiàn)著量變引起質(zhì)變的規(guī)律，告訴學(xué)生學(xué)習(xí)重在積累，厚積才能薄發(fā)，在平時的學(xué)習(xí)生活中，要有不畏艱難的精神，學(xué)習(xí)上要堅持不懈的努力學(xué)習(xí)新知識.（第12-16分鐘）教學(xué)內(nèi)容引例2平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有平面上的閉區(qū)域，它的密度為上的連續(xù)函數(shù)，試求該薄片的質(zhì)量.此例和前一例的解決思路方法一樣，引導(dǎo)學(xué)生探究獨立思考，能讓學(xué)生趁熱打鐵，進一步鞏固運用“分割、近似求和、取極限”這一方法，有助于學(xué)生對概念的掌握.Ⅱ.（第16-20分鐘）教學(xué)內(nèi)容（二）二重積分的概念我們拋開以上例子的幾何背景和物理背景，單純從數(shù)學(xué)的角度分析抽象得到的就是二重積分的定義.定義[6]設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù).是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某個正數(shù)，使對于的任何分割，當(dāng)它的細(xì)度時，屬于的所有積分和都有，則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的二重積分，記作我們通?？紤]用與坐標(biāo)軸平行的直線網(wǎng)分割，相當(dāng)于是切割區(qū)域所得到微元矩形面積，因此它可以表示成，從而這需要學(xué)生回顧極限的定義，即理解為什么定義中需要寫入這個式子，明白在積分中極限的關(guān)鍵意義所在，有助于學(xué)生更好地理解和掌握二重積分的概念.（第20-21分鐘）切入思政點：由二重積分的概念提出，人的學(xué)習(xí)亦與其概念相似，學(xué)如逆水行舟，不進則退，積少成多的道理蘊含在其概念當(dāng)中，貪圖太多也沒有用，我們要找到那個有意義的“少”去發(fā)展成“多”.習(xí)總書記提到，每個人的生活都是一件件小事組成的，養(yǎng)小德才能成大德，勿以善小而不為，勿以善小而不為，我們要做一個有道德、高素質(zhì)的人.（第21-30分鐘）教學(xué)內(nèi)容（1）二重積分的幾何意義當(dāng)，函數(shù)在上的二重積分表示以為底面，為曲頂?shù)闹w的體積；當(dāng)，函數(shù)在上的二重積分表示以為底面，曲頂在面下方的柱體體積的相反數(shù)；當(dāng)在閉區(qū)域上有正有負(fù)，則二重積分表示在面下方、上方的曲頂柱體的體積代數(shù)和.（2）二重積分的存在性若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則二重積分一定存在.與前面定積分存在性進行比較，通過類別，引導(dǎo)學(xué)生思考二重積分存在性.（第30-31分鐘）切入思政點：世間萬物的發(fā)生與存在，都是有某種條件去支撐它們，找到這些條件是十分重要，因為條件決定著它們能否發(fā)生與存在.只有了解事物的本質(zhì)，才能有效對問題的解決對癥下藥.正如來勢洶洶的新型冠狀病毒肺炎疫情，我們國家的科研人員們?nèi)ヌ骄堪l(fā)現(xiàn)它們生存的條件，然后破壞它們能生存的條件，進而疫情逐步得到有效控制.Ⅲ.（第31-42分鐘）教學(xué)內(nèi)容（三）二重積分性質(zhì)的討論二重積分和定積分有相類似的性質(zhì)，因此把兩種的性質(zhì)進行比較，把學(xué)生剛接觸到的“陌生”知識轉(zhuǎn)化為“熟悉”的知識.性質(zhì)1[6]（線性性）若在區(qū)域上可積，為常數(shù)，則在也在可積，且.性質(zhì)2[6]（線性性）若、在區(qū)域上都可積，則在也可積，且.二重積分的線性性，向?qū)W生提問，然后說明函數(shù)的線性關(guān)系是高等代數(shù)里面的內(nèi)容，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)雖然有幾個分支研究方向，但是它們之間也是有聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識之間是相互貫通的.性質(zhì)3[6]（可加性）若在區(qū)域上都可積，且無公共內(nèi)點，則在上也可積，且.性質(zhì)4[6]（保序性）若、在區(qū)域上都可積，且，則.性質(zhì)5[6]（絕對可積性）若在區(qū)域上可積，則函數(shù)在上也可積，且.性質(zhì)6[6]（有界性）若在區(qū)域上可積，且，則，這里，是積分區(qū)域的面積.通過二重積分的幾何意義，學(xué)生獨立思考，教學(xué)生會用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.這6個性質(zhì)都是十分的重要，它是往后計算求解二重積分的重要工具，需要學(xué)生理解并記住.下面向?qū)W生引出二重積分的壓軸性質(zhì)，即性質(zhì)7[6]（中值定理）若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則存在，使得這里是積分區(qū)域的面積.引導(dǎo)學(xué)生通過二重積分的定義和性質(zhì)6進行證明，用一系列問題竄提問學(xué)生，讓學(xué)生知道知識從何而來.學(xué)生需要預(yù)備的知識是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的最值定理、介值定理以及二重積分的性質(zhì)6，通過一系列問題提問學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生找到這幾個知識點間的聯(lián)系，得到證明該定理的思路.證：因為在有界閉區(qū)域上連續(xù)，所以在中存在最大值和最小值，所以對于任意的都有由性質(zhì)6知即再由介值定理知，，使得，得證.該定理講解時，引入曹沖稱象[7]的故事，活躍課堂氛圍，提高學(xué)生課堂興趣.用簡單易懂的語言解析定理的意思，即我們可以想象把曲頂凸的部分填充到凹的地方，直到曲頂變成平頂，平頂柱體的體積就是曲頂柱體的體積.（第42-43分鐘）切入思政點：類似于“鋪路”，把凸的部分填鋪到凹的地方，顯然該定理的思想方法源于實際生活中，可以啟發(fā)學(xué)生善于思考，大膽想象，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)與實