第1頁(yè)/共1頁(yè)安徽省合肥市2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二期末模擬試卷數(shù)學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得到方程，再驗(yàn)證并結(jié)合充要條件的判定即可得到答案.【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，，兩直線重合，則當(dāng)時(shí)，，故“”是“”的充分必要條件.故選：A.2.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程為，則的范圍為A.（4,7） B.（5.5,7） C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題意知.3.過(guò)點(diǎn)的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用當(dāng)∠ACB最小時(shí)，CP和AB垂直，求出AB直線的斜率，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程．【詳解】圓：的圓心為，當(dāng)最小時(shí)，和垂直，所以直線的斜率等于，則直線的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程為，即，故選：A．4.窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為4，P是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①的最大值為②在方向上的投影向量為③④若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用余弦定理可得，對(duì)于①，取的中點(diǎn)為可推出，結(jié)合圖形可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)取得最大值，計(jì)算可知①正確；對(duì)于②，根據(jù)投影向量定義計(jì)算可判斷其錯(cuò)誤；對(duì)于③，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算可知錯(cuò)誤；對(duì)于④，將點(diǎn)坐標(biāo)代入所求函數(shù)，整理并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得其最小值為，可知④錯(cuò)誤.【詳解】易知正八邊形的每條邊所對(duì)的圓心角都是，所以，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)，在中，由余弦定理，,可得，且.對(duì)于①，取的中點(diǎn)為，則,且；則；由正八邊形對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，不妨取，則，則,所以，因此，即①正確；對(duì)于②，易知，所以在方向上的投影向量為，因此②錯(cuò)誤；對(duì)于③，易知，而，因此，即③錯(cuò)誤；對(duì)于④，易知由可得：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以函數(shù)的最小值為，因此④錯(cuò)誤.因此只有①正確.故選：B5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.10 B.15 C.20 D.40【答案】C【解析】【分析】仍成等差數(shù)列，據(jù)此求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到：仍成等差數(shù)列，記，設(shè)，，，解得，所以，故選：C.6.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面與相交于點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】選作為基底表示出向量，根據(jù)向量共線和四點(diǎn)共面的充要條件得到，再求模長(zhǎng).【詳解】設(shè)，則，且兩兩夾角為，因此，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，同理，又，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以設(shè)，所以，又，，，四點(diǎn)共面，所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，故，所以，解得，所以，所以，故選：D7.已知雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)分別為，，M，N為雙曲線一條漸近線上的兩點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形為矩形，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由四邊形為矩形→，可設(shè)以MN為直徑的圓的方程為，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立求出，進(jìn)而求出，再對(duì)采用余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，（矩形的?duì)角線相等），所以以MN為直徑的圓的方程為.直線MN為雙曲線的一條漸近線，不妨設(shè)其方程為，由，解得或，所以，或，.不妨設(shè)，，又，所以，.在△AMN中，，由余弦定理得，即，則，所以，則，所以.故選：D【點(diǎn)睛】試題綜合考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查考生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題?解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)理性思維?數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng).求解雙曲線的離心率的方法：（1）公式法：直接求出a，c或找出a，b，c三者中任意兩個(gè)的關(guān)系，代入公式求解；（2）構(gòu)造法：由已知條件得出a，c關(guān)于的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；（3）通過(guò)特殊值或者特殊情況求離心率，例如，令，求出相應(yīng)c的值，進(jìn)而求出離心率，能有效簡(jiǎn)化運(yùn)算.8.如果函數(shù)f(x)＝x4－8x2＋c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c＝（）A.1 B.2C.－1 D.－2【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可.【詳解】令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為的較小者，由f(－1)＝c－7，f（2）＝c－16得最小值為f（2）＝c－16＝－14．∴c＝2．故選：B二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若為線段的中點(diǎn)，則直線平面B.三棱錐的體積為C.在線段上存在點(diǎn)，使得D.若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題目條件，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，結(jié)合選項(xiàng)條件代入計(jì)算判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】以原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，棱長(zhǎng)為，,,,,,,,,，分別是，的中點(diǎn),,,點(diǎn)在正方形上，設(shè)，其中，對(duì)于A選項(xiàng)：為線段的中點(diǎn)，則,,又是正方體，則是平面的法向量，，即，又平行平面，所以直線平行平面，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，三棱錐體積與相同，的頂點(diǎn)，，，點(diǎn)到的距離恒為，于是，B選項(xiàng)正確對(duì)于C，在線段上：，設(shè)，，垂直條件即，，但，所以不存在這樣的點(diǎn),C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，即，，，，，點(diǎn)限制在，且平面上，因此在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)一條線段：當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得，線段長(zhǎng)度：，所以軌跡長(zhǎng)為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD10.為橢圓上一點(diǎn)，為的左、右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于A，B兩點(diǎn)、在中，記，，若，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.面積的最大值為B.的離心率為C.若與的內(nèi)切圓半徑之比為3：1，則的斜率為D.【答案】ACD【解析】【分析】在中由正弦定理結(jié)合條件可得出的值，由面積公式可判斷面積的最值，設(shè)與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，利用等面積法結(jié)合韋達(dá)定理可判斷選項(xiàng)C，作橢圓的左準(zhǔn)線，D，E，G分別為P，A，在左準(zhǔn)線上的投影，設(shè)，，利用橢圓的第二定義可判斷選項(xiàng)D.【詳解】如圖，在中，由正弦定理，，則，即，所以，由所以，則，則最大值為，故A正確，B錯(cuò)誤；由題意可得，的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立方程得，恒成立，，，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為，，因?yàn)椋?，所以，即，，，，所以，即，，所以，C正確；作橢圓的左準(zhǔn)線，D，E，G分別為P，A，在左準(zhǔn)線上的投影，設(shè)，，，所以，，則，得，同理可得，所以，故D正確，故選：ACD．11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，所以，則是等比數(shù)列，根據(jù)題意得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，利用累加法求出，再利用分組求和法得到.【詳解】因?yàn)?，所以，則是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題意得，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，故B正確；所以，故C正確；，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即為．故答案為：．13.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線和圓相切，其中，，若函數(shù)的零點(diǎn)，則______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切，可得，進(jìn)而求解，，即可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解方程的根為，即可求解.【詳解】∵直線和圓相切，∴圓心到直線的距離是半徑，∴，即，∵，，故或，則或，故或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此無(wú)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，，∴函數(shù)，令，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴故答案為：14.在長(zhǎng)方體中，對(duì)角線與平面交于點(diǎn).記四棱錐的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，則的值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖象，連接交于點(diǎn)，證明是重心，那么點(diǎn)到平面的距離是的，利用體積公式，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖連接交于點(diǎn)，平面平面，平面，平面，，連接，是的中點(diǎn)，是中線，又根據(jù)平行且等于，，點(diǎn)是的重心，那么點(diǎn)到平面的距離是的，，而，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體體積的計(jì)算，解題關(guān)鍵是掌握錐體體積計(jì)算公式，數(shù)形結(jié)合，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切．（1）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相交，相交弦長(zhǎng)為，求此直線的方程；（2）若與直線垂直的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，若為鈍角，求直線的縱截距的取值范圍．【答案】（1）或（2）且【解析】【分析】（1）先求出圓的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出圓心到直線的距離，再分情況計(jì)算即可.（2）設(shè)出直線的方程，與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合、韋達(dá)定理及向量數(shù)量積判斷角的方法求出的范圍；舍去向量反向共線即時(shí)的取值，最后取交集即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，圓心到直線：的距離為圓的半徑長(zhǎng)，所以所以圓的方程為．①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線為，代入圓方程可解得，所以弦長(zhǎng)為，滿足題意；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即由弦長(zhǎng)公式可得，圓心到直線的距離為.圓心到直線的距離，解得，此時(shí)，即.所以所求直線方程為或；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€的斜率為1且，所以直線的斜率為，設(shè)直線的方程為.與圓的方程聯(lián)立，整理得．設(shè)，，則，是方程的兩個(gè)不同的根，所以，即，解得.所以，，，，因?yàn)闉殁g角，所以，又，，所以，解得．當(dāng)時(shí)，與反向共線，直線經(jīng)過(guò)，此時(shí)，不符合題意，應(yīng)舍去綜上，直線的縱截距的取值范圍是且．16.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)公差為，由，可得解得，，從而可得結(jié)果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）設(shè)公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，平面，，，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）求平面與底面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，得到，根據(jù)線面平行的判定定理即可證出線面平行.（2）根據(jù)二面角的定義找出二面角對(duì)應(yīng)的平面角，在直角三角形中利用三角函數(shù)求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接，，∵為的中點(diǎn)，∴，且又，，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴直線平面.【小問(wèn)2詳解】∵平面，平面，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴，∴即為平面與底面所成的銳二面角的平面角，在中，，則，則，故平面與底面所成的銳二面角的余弦值．18.已知橢圓的焦距為4，為橢圓上一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，若為定值，求此定值及的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，，求解可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)題意可得為定值對(duì)恒成立，求解即可.【小問(wèn)1詳解】由橢圓的焦距為4，可得，解得，所以①，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以②，由①②解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，所以，所以，因?yàn)闉闄E圓的左焦點(diǎn)，所以其坐標(biāo)為，直線，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，若為定值，則為定值對(duì)恒成立，即為定值對(duì)恒成立，所以為定值對(duì)恒成立，即為定值對(duì)恒成立，所以，解得，所以為定值，此時(shí)的值為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是第二問(wèn)中的定值問(wèn)題，解答時(shí)將定值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，從而借助于系數(shù)為0解決問(wèn)題.19.已知函數(shù)（1