山西省同煤一中聯(lián)盟校2026屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為，則的值為（）A. B.C. D.2．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.3．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國(guó)也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿(mǎn)貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國(guó)家．根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則滿(mǎn)足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.97．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.28．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，；②的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.10．?dāng)?shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.511．已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.12．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是___________14．設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱(chēng)與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.15．已知雙曲線，（，）的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為_(kāi)__________.16．已知數(shù)列中，，，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓心為的圓過(guò)原點(diǎn)，且直線與圓相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，且直線與圓相交于兩點(diǎn).①若，求弦的長(zhǎng)；②若圓上存在點(diǎn)，使得成立，求直線的斜率.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.19．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）已知圓，直線過(guò)定點(diǎn).（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點(diǎn)，且，求此時(shí)直線的方程.21．（12分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，且橢圓過(guò)點(diǎn)過(guò)且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).（1）求橢圓的方程（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；（3）若點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.2、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.3、B【解析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫(xiě)出切線方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.4、D【解析】由題設(shè)易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時(shí)，在上；由時(shí)，在上遞減，值域?yàn)?；令且，則，當(dāng)時(shí)，，即遞增，值域?yàn)?，滿(mǎn)足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上，即遞減，在上，即遞增，此時(shí)值域?yàn)?；?dāng)，即時(shí)存在，而在中，此時(shí)，不合題設(shè)；所以，此時(shí)要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)易知上，只需在上恒有即可.5、A【解析】根據(jù)題意，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由直線與圓相切，知圓心到直線的距離，解得或，因此“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.6、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式后，再解不等式.【詳解】因?yàn)?，兩邊取倒?shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因?yàn)?，即，得，解得：?所以的最大值是7.故選：B7、B【解析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得，所以.故選：B8、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標(biāo)為0，橫、縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D9、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，故，，又因?yàn)?，都有，所以，，所以，，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，故.故選：A.10、C【解析】由已知得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.11、D【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：D.12、B【解析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)直接法，即可求軌跡.【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點(diǎn)的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為12、的橢圓故答案為：14、【解析】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，列表如下：極小值，，如圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15、①.②.【解析】由題意，不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，由可得，代入雙曲線方程，可得，因此，即得解【詳解】如圖所示，不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，，由于代入進(jìn)入，可得，漸近線方程為故答案為：，16、【解析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）①，②.【解析】（1）圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線上，聯(lián)立求圓心，進(jìn)而得半徑即可；（2）①垂徑定理即可求弦長(zhǎng)；②圓上存在點(diǎn)，使得成立，即四邊形是平行四邊形，又，有都是等邊三角形，進(jìn)而得圓心到直線的距離為，列方程求解即可.試題解析：（1）由已知得，圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線上，由得圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）①由題意知，直線的方程為，即，∴圓心到直線的距離為，∴；②∵圓上存在點(diǎn)，使得成立，∴四邊形是平行四邊形，又，∴都是等邊三角形，∴圓心到直線的距離為，又直線的方程為，即，∴，解得.18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出B、D、E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)計(jì)算向量數(shù)量積來(lái)進(jìn)行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算平面與平面的法向量，然后通過(guò)法向量去計(jì)算兩平面所成的銳二面角即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，，分別為，，的中點(diǎn)，則，，證明：因?yàn)椋?，所以，所以【小?wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得因?yàn)樗云矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為20、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圓的方程可得圓心和半徑，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，知與圓相切，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，知與圓相切，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得方程.【小問(wèn)1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在，即時(shí)，與圓相切，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，圓心到直線距離，解得：，，即；綜上所述：直線方程為或；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率不存在，即時(shí)，與圓相切，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，圓心到直線距離，，解得：或，直線的方程為或.21、（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程求出弦長(zhǎng)和三角形的高即得解；（3）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，再利用平面向量證明.【小問(wèn)1詳解】解：由題得，所以橢圓方程為，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)所以，所以所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題得,所以直線的方程為即，聯(lián)立直線和橢圓方程得，所以,點(diǎn)到直