北京三中2026屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，2．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或3．若傾斜角為的直線過，兩點，則實數(shù)（）A. B.C. D.4．下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．直線與直線的位置關系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形9．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.10．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.11．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺12．在中，已知點在線段上，點是的中點，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，則的面積為_________14．已知直線與，若，則實數(shù)a的值為______15．已知函數(shù)，若，則________.16．已知正方體的棱長為2，E為線段中點，F(xiàn)為線段BC上動點，則（1）的最小值為______；（2）點F到直線DE距離的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若與相交于A、兩點，設，求.18．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.19．（12分）在數(shù)列中，，，(1)設，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.20．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程（1）中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，且它的一個頂點恰好是拋物線的焦點；（3）經(jīng)過點拋物線21．（12分）已知橢圓的長軸長是6，離心率是.（1）求橢圓E的標準方程；（2）設O為坐標原點，過點的直線l與橢圓E交于A，B兩點，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.22．（10分）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結論.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.2、C【解析】點關于軸的對稱點為，由反射光線的性質(zhì)，可設反射光線所在直線的方程為：，再利用直線與圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，由此即可求出結果【詳解】點關于軸的對稱點為，設反射光線所在直線的方程為：，化為因為反射光線與圓相切，所以圓心到直線的距離，可得，所以或故選：C3、C【解析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關系得到直線的斜率為，再根據(jù)兩點的斜率公式計算可得；【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C4、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.【詳解】由直線傾斜角為45°，可知直線的斜率為，對于A，直線斜率為，對于B，直線無斜率，對于C，直線斜率，對于D，直線斜率，故選：C5、C【解析】由題意確定流程圖的功能，然后計算其輸出值即可.【詳解】運行程序，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，滿足，利用裂項求和可得：.故選：C.【點睛】識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環(huán)結構(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題(3)按照題目的要求完成解答并驗證6、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因為離心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A7、C【解析】把直線化簡后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關系是重合.故選：C8、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結合正弦定理化簡求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.9、D【解析】先求定義域，再求導數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域為令，解得故選：D【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10、B【解析】設點P到準線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當且僅當點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為故選：B11、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A12、C【解析】利用三點共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點是的中點，則，又因為點在線段上，則，所以，當且僅當，時取等號，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：314、【解析】由可得，從而可求出實數(shù)a的值【詳解】因為直線與，且，所以，解得，故答案：15、【解析】求出導函數(shù)，確定導函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的運算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關鍵16、①.；②..【解析】建立空間直角坐標系.空一：利用空間兩點間距離公式，結合平面兩點間距離公式進行求解即可；空二：根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有.空一：，代數(shù)式表示橫軸上一點到點和點的距離之和，如下圖所示：設關于橫軸的對稱點為，當線段與橫軸的交點為點時，有最小值，最小值為；空二：設，為垂足，則有，，，因為，所以，因此，化簡得：，當時，即時，此時，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點睛】關鍵點睛：利用空間向量垂直的性質(zhì)進行求解是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線的普通方程為；曲線的直角坐標方程為（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關系式把參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；（2）易得滿足直線的方程，轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，再利用韋達定理結合弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為普通方程為，曲線的極坐標方程為，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為；【小問2詳解】解：因為滿足直線的方程，將轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，設A、兩點的參數(shù)分別為，則，所以.18、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時除以，結合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得的表達式；（2）求得，利用裂項相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.19、（1）略（2）【解析】（1）題中條件，而要證明的是數(shù)列是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的的遞推公式轉(zhuǎn)化為的遞推公式：，從而，，進而得證；（2）由（1）可得，，因此數(shù)列的通項公式可以看成一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯位相減法求其前項和，即有：①，①得：②，②-①得.試題解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴則是為首項為公差的等差數(shù)列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.考點：1.數(shù)列的通項公式；2.錯位相減法求數(shù)列的和.20、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線的性質(zhì)可求得則，由此可求得雙曲線的方程；（2）由已知求得拋物線的焦點為，得出橢圓的，再根據(jù)橢圓的離心率求得，由此可得出橢圓的方程；（3）設拋物線的標準方程為：或，代入點求解即可.【小問1詳解】解：對于直線，令，得，所以，則，所以，所以中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線的方程為；【小問2詳解】解：由得拋物線的焦點為，所以對于橢圓，，又橢圓的離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程；【小問3詳解】解：因為點在第三象限，所以滿足條件的拋物線的標準方程可以是：或，代入點得或，解得或，所以經(jīng)過點的拋物線的方程為或21、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計算作答.(2)當直線l的斜率存在時，設出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達定理、向量數(shù)量積運算，推理計算作答.【小問1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標準方程為：.【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，由消去y并整理得：，設，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時，當直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨令，，，當時，，即當時，過點的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點，恒有，所以存在滿足條件.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值22、（1）40；（2）a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.【解析】（1）設每件定價為x元,可得提高價格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收