第三章

導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分構(gòu)成了微分學(xué)的總體，其中導(dǎo)數(shù)是以極限為工具研究函數(shù)相對于自變量變化的快慢程度，而微分則指明當(dāng)自變量發(fā)生微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.2函數(shù)的求導(dǎo)法則3.3函數(shù)的微分導(dǎo)數(shù)的概念1.切線的斜率問題設(shè)曲線L為函數(shù)y=f(x)的圖形，其上一點A的坐標(biāo)為(x0,f(x0)

)。在曲線上點A

附近另取一點B

，它的坐標(biāo)是(x0

+?x,f(x0+?x)

)。直線AB

是曲線的割線，它的傾斜角記作β。由圖中的直角三角形ACB，可知割線AB的斜率為Lf(x0+

x)xyOABx0x0+

xf(x0)TC

在數(shù)量上，它表示當(dāng)自變量從x0變到x0

+?x時函數(shù)f(x)關(guān)于變量的平均變化率（增長率或減小率）?，F(xiàn)在讓點B沿著曲線L

趨向于點A，此時?x→0，過點A的割線AB如果也能趨向于一個極限位置——直線AT，我們就稱L

在點A處存在切線AT。記AT的傾斜角為

α，則α

為β

的極限，若α≠

90

°，得切線AT的斜率k為在數(shù)量上，它表示函數(shù)f(x)在點x0處的變化率。2.產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率問題設(shè)某產(chǎn)品的產(chǎn)量

Q

是時間

t

的函數(shù)，即

Q

=

Q(t)，求產(chǎn)量

Q

在

t

時刻的變化率。首先考慮產(chǎn)量在時刻

t0附近很短一段時間內(nèi)的變化率。產(chǎn)品的產(chǎn)量從

t0

到

t0

+?t這段時間間隔內(nèi)從

Q(t0)變到

Q(t0

+?t)，其改變量為

?Q=Q(t0

+?t)–Q(t0)，在這段時間內(nèi)產(chǎn)品的產(chǎn)量的平均變化率為，當(dāng)時間間隔很小時，可以用產(chǎn)量在時間

[t0,t0+?t]內(nèi)的平均變化率近似地表示

t0

時刻的變化率，而且

?t越小，其近似程度越高。當(dāng)時間間隔

?t→0時，我們把平均變化率的極限稱為

時刻的變化率，即上述兩個引例，雖然實際意義完全不同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，其實質(zhì)都是函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比，在自變量的改變量趨于零時的極限。我們把這種特定的極限叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1.函數(shù)在一點處可導(dǎo)的概念定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，對應(yīng)于自變量x在點x0處有改變量?x，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的改變量為?y=f(x0+?x)

–f(x0)，若?y與?x之比當(dāng)?x→0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作即比值表示函數(shù)y=f(x)在點x0到x0

+?x之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù)

則表示了函數(shù)在點處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點x0處自變量隨因變量變化的快慢。如果當(dāng)?x→0時的極限不存在，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在。特別地，如果，也說函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大。在定義中，若設(shè)點x

=

x0

+?x，則導(dǎo)數(shù)定義式可寫成由此可見，前面兩個引例說明，曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)

)處切線的斜率就是函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，即k=f′(x0)；而產(chǎn)量Q=Q(t)在時刻t0的變化率就是函數(shù)Q(t)點t0處的導(dǎo)數(shù)，即Q′(t0)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)

f′(x0)的步驟如下：第一步

求函數(shù)的改變量第二步

求比值第三步

求極限例3-1求在點x

=2處的導(dǎo)數(shù)。解則于是所以例3-2求在點x

=0處的導(dǎo)數(shù)。解當(dāng)?x<

0時，于是有當(dāng)?x>

0時，于是有因此定義

函數(shù)y=f(x)在點x0

處的左導(dǎo)數(shù)記為，且定理

函數(shù)在一點處導(dǎo)數(shù)存在的充要條件為左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即同樣，右導(dǎo)數(shù)為

如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。這時，對開區(qū)間I內(nèi)每一個確定的值x都對應(yīng)一個f(x)的確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成一個新函數(shù)，稱之為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作即2.導(dǎo)函數(shù)的概念注意：

（1）f′(x)是x的函數(shù)，而f′(x0)是一個數(shù)值；

（2）

f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)

f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)

f′(x)在點x0處的函數(shù)值。例3-3求函數(shù)y=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解因為?y=C–C=0，所以即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零。例3-4求f(x)=x3

（n∈N）的導(dǎo)數(shù)。解根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，再利用二項展開式，可得即一般的，對于冪函數(shù)y=xk

（k∈R），有這就是冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，利用它可以很方便的求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例3-5求下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）這些常用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以記住結(jié)論，直接應(yīng)用。（2）因為，所以（3）因為，所以（4）因為，所以由引例的切線問題及導(dǎo)數(shù)的定義可知，如果函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)

)有不垂直于x軸的切線，其斜率為f′(x0)，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。x1

O

x2

x3xO

x0x即不存在。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點斜式方程，容易求出曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)

)處的切線方程為：而過點(x0,f(x0)

)處的法線方程為：若f′(x0)=0，則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)

)具有水平切線y=f(x0)，法線為x=x0；若f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)

)處具有垂直于x軸的切線x=x0，而法線為切線y=f(x0)。例3-6求曲線y=x4

在點(2,16)處切線和法線方程。解

因為所以所求的切線方程為，則即法線方程為即初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系：定理

如果函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。所以函數(shù)y=|x|

在x=

0處不可導(dǎo)。但是，函數(shù)y=

f(x)在點x0處連續(xù)時卻不一定在該點處可導(dǎo)。例3-7函數(shù)y=|x|

在x=

0處是連續(xù)的但卻不可導(dǎo)，因為：Oyxy=|x|一般的，如果函數(shù)圖形在某點處出現(xiàn)“尖點”，則函數(shù)在該點不可導(dǎo)。例3-8函數(shù)

在x=

0處連續(xù)但卻不可導(dǎo)，因為曲線在原點具有垂直于x軸的切線，也就是說，函數(shù)在x=

0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大。所以函數(shù)f(x)在x=

0處不連續(xù)，于是函數(shù)f(x)在x=

0處也不可導(dǎo)。例3-9設(shè)函數(shù)討論函數(shù)在x=

0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。Oyx解

因為O

yxx0（1）連續(xù)但不可導(dǎo)之一：曲線在該點不光滑，形成尖角。（2）連續(xù)但不可導(dǎo)之二：O

yxx0曲線在該點具有垂直于x軸的切線。函數(shù)在該點導(dǎo)數(shù)為無窮大，事實上導(dǎo)數(shù)不存在。（3）不連續(xù)所以不可導(dǎo)：O

yxx0函數(shù)的求導(dǎo)法則利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，運算往往比較復(fù)雜，有時甚至是不可行的。為了能夠迅速、準(zhǔn)確的求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，本節(jié)將給出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)求導(dǎo)的四則運算及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用它們就能比較方便的求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。為了應(yīng)用方便，列出所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為基本導(dǎo)數(shù)公式。（1）（4）（6）（2）（k為常數(shù)）（3）（a>0且a≠1）（5）（a>0且a≠1）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）定理

設(shè)函數(shù)u(x)和v(x)均在x點可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為0

時）也均在x點可導(dǎo)，且有乘積求導(dǎo)的推廣和特例：商的求導(dǎo)的特例：例3-10設(shè)，求。解解于是例3-11設(shè)，求，。例3-12設(shè)，求。解解例3-13設(shè)求。解例3-14設(shè)，求。解例3-15設(shè)，求。解例3-16設(shè)，求。解例3-17設(shè)，求。例3-18設(shè)，求。解定理

設(shè)函數(shù)u=φ(x)

在x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)點u=φ(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在x處可導(dǎo)，且有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則說明：y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對中間變量u的導(dǎo)數(shù)與中間變量u對自變量x的導(dǎo)數(shù)的乘積。這個法則叫做鏈?zhǔn)椒▌t?；騳

u

x

設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=φ(v)

，v=ψ(x)均可導(dǎo)，則它們的復(fù)合函數(shù)

y=f{φ[ψ(x)]}也可導(dǎo)，且此法則也可以推廣到多個函數(shù)復(fù)合的情況。y

u

vx解令y=sinu，u=2x，則例3-19設(shè)y=sin2x，求。解令，，，則例3-20設(shè)，求。解令，，則例3-21設(shè)，求。應(yīng)用熟練后，可以不寫出中間變量，而直接寫出函數(shù)對中間變量的求導(dǎo)結(jié)果，重要的是要清楚每一步是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)。解例3-22設(shè)

，求。例3-23設(shè)

，求。解解例3-24設(shè)

，求。解例3-25設(shè)

，求。，求例3-26設(shè)解當(dāng)x>0

時，y=lnx

，則當(dāng)x<0時，y=ln|x|=ln(–x)，于是所以有利用基本導(dǎo)數(shù)公式，以及函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，就可以求出各種初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

一般的，函數(shù)

y=f(x)的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，再對x

求導(dǎo)，即導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為y

或f(x)

對

x

的二階導(dǎo)數(shù)，記作或

類似的，二階導(dǎo)數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，稱為

y

對

x

的三階導(dǎo)數(shù)，記

，。這樣可以定義

y

對

x

的四階導(dǎo)數(shù)、五階導(dǎo)數(shù)、…………

直到

y

對

x

的

n

階導(dǎo)數(shù)，記作即

函數(shù)

y

對x的n階導(dǎo)數(shù)就是y

對

x

的

n–1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即或

相應(yīng)的，前面所說的導(dǎo)數(shù)也稱為

y

對

x

的一階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù)，所以只需應(yīng)用前面學(xué)過的求導(dǎo)方法就能計算高階導(dǎo)數(shù)。解例3-27求函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)。解例3-28求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。如此下去，可得特別的，解由于例3-29設(shè)，求。所以解由于，則例3-30設(shè)y=xsinx

，求。解由于，則例3-31設(shè)

，求。1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

如果變量

x與y

之間的對應(yīng)規(guī)律是把

y

直接表示成

x

的解析式，即我們熟知的

y=f(x)

的形式，則稱函數(shù)

y=f(x)

為顯函數(shù)。

如果能從方程

F(x,y)

=0

確定

y

為x

的函數(shù)y=f(x)，則稱y=f(x)為由方程F(x,y)

=0所確定的隱函數(shù)。

有些隱函數(shù)不容易顯化為顯函數(shù)，所以我們要找出一種能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。下面從具體例子來看。

例3-32求由方程

所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解

在等式的兩邊同時對

x

求導(dǎo)，注意現(xiàn)在方程中的

y

是

x

的函數(shù)，所以

y2

是

x

的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得從而解得

例3-33求由方程

所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

。

解

方程兩邊同時對

x

求導(dǎo)，得從而解得

例3-34求由方程

y=sin(x+y)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解

方程兩邊同時對

x

求導(dǎo)，得從而解得

例3-35求由方程

所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

。

解

方程兩邊同時對

x

求導(dǎo)，得從而解得2.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若參數(shù)方程確定

x

與y

間的函數(shù)關(guān)系，則此函數(shù)稱為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。當(dāng)x=φ(t)，y=ψ(t)

都可導(dǎo)，且時，則由此參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

例3-36計算由參數(shù)方程

所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解

例3-37計算由參數(shù)方程

所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解函數(shù)的微分

先看下例?？紤]邊長為

x

的正方形，其面積為

y，則若邊長由

x0變化到x0

+?x，面積相應(yīng)的改變量為當(dāng)|?x|很小時，(Ⅰ)

是?y的主要部分，

由于(Ⅰ)

是

?x的線性函數(shù)，所以稱?y為的線性主部。，當(dāng)?x→0時，(Ⅱ)是比?x高階的無窮小，可忽略不計，即(Ⅰ)

(Ⅱ)

定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及

x0

+?x在該區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的改變量?y=f(x0

+?x)–

f(x0)當(dāng)?x→0

時可以表示為其中A是僅依賴于x0而與?x無關(guān)的常數(shù)，o(?x)是比?x高階的無窮小，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0可微，并稱A?x為函數(shù)y=f(x)在點x0相應(yīng)于自變量的增量?x的微分，記作?y=A?x

+o(?x)所以，函數(shù)在一點處的微分就是函數(shù)在該點的改變量的線性主部。即定理

函數(shù)

f(x)在點x0可微的充要條件是函數(shù)

f(x)在點x0可導(dǎo)，且有由此可知，當(dāng)f′(x0)≠0且|?x|很小時，有這就把計算比較復(fù)雜的函數(shù)的增量?y近似表示成了一個計算比較簡單的量dy，它的近似程度是比較好的。當(dāng)f(x)=x時，f′(x)=1，所以即自變量的微分就是自變量的增量。f(x)在點x0的微分也可寫為如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)每一點處都可微，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是可微函數(shù)。函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任一點x處的微分為或由此可知，導(dǎo)數(shù)可以看作函數(shù)的微分與自變量的微分的商，所以導(dǎo)數(shù)也稱為“微商”。解因為例3-38求函數(shù)的微分。，所以例3-39求函數(shù)

的微分。解因為，所以例3-40求函數(shù)

的微分。解因為，所以yx

xT

M(x0,y0)N(x0+

x,y0+

y)

ydyQ

P

O設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象如右所示，點M(x0,y0)、N(x0+

x,y0+

y)在曲線上，過點M、N

分別作x

軸和y

軸的平行線，相交于Q

點，則有向線段MQ

=

x，QN=

y過點M再作曲線的切線MT，設(shè)其傾斜角為α，MT交QN于P

點，則有向線段因此函數(shù)y=f(x)在點x0

處的微分dy，在幾何上表示其圖象在點M(x0,y0)處切線的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。（2）近似式?y≈dy表示當(dāng)?x→0時，可以以QP

近似代替QN，即以曲線在點M處的切線可以近似代替曲線本身，亦即在一點的附近可以用“直”代“曲”。由圖中還可以看出：（1）線段的長表示用dy來近似代替?y所產(chǎn)生的誤差，當(dāng)|?x|很小時，它比|dy|要小得多。1.微分的基本公式（16）（15）（1）（3）（4）（5）（7）（9）（12）（10）（8）（6）（2）（14）（11）（13）2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則由函數(shù)的求導(dǎo)法則可以得到相應(yīng)的微分法則。設(shè)

u=u(x)，v=v(x)

，則關(guān)于函數(shù)和、差、積、商的微分法則為：3.復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在求導(dǎo)中有著十分重要的應(yīng)用，我們從中可以得到復(fù)合函數(shù)的微分法則。設(shè)y=f(u)，u=φ(x)，則對于復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]有所以而對于函數(shù)u=φ(x