第五章

不定積分?jǐn)?shù)學(xué)中有許多運(yùn)算都是互逆的，如加法與減法、乘法與除法等，同樣微分法也有它的逆運(yùn)算。本章將討論如何尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使得它的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)，即微分法的逆運(yùn)算，這就是積分學(xué)的基本問(wèn)題之一：求不定積分。5.1不定積分的概念和性質(zhì)5.2基本積分表及不定積分的性質(zhì)5.3不定積分的計(jì)算不定積分的概念和性質(zhì)先看下面這個(gè)實(shí)例：求當(dāng)

L(100)=20000元時(shí)，該商品的利潤(rùn)函數(shù)。解根據(jù)題意，L(x)

的導(dǎo)數(shù)為例5-1設(shè)某商品的銷售量為

x，那么利潤(rùn)

L(x)

是銷售量

x

的函數(shù)，并發(fā)現(xiàn)該商品的邊際利潤(rùn)為而當(dāng)x=100

時(shí)，L=20000，由導(dǎo)數(shù)公式可知即為所求的利潤(rùn)函數(shù)。此例實(shí)際上是同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同表現(xiàn)形式，即：已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求這個(gè)函數(shù)，相當(dāng)于由

，求F(x)。

定義如果在區(qū)間I

上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)

的導(dǎo)數(shù)為f(x)，即對(duì)于區(qū)間上的任何一點(diǎn)x

都有或則稱函數(shù)F(x)

為f(x)在區(qū)間I

上的原函數(shù)。

例5-1中，

就是

的一個(gè)原函數(shù)。

例如，在區(qū)間(–∞,+∞)

內(nèi)，所以x2

是2x

在區(qū)間(–∞,+∞)

內(nèi)的原函數(shù)；同理，所以x2

–2、x2

+3都是2x

的原函數(shù)。由上述例子可知：一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的。下面討論有關(guān)原函數(shù)的兩個(gè)問(wèn)題。再如，當(dāng)

x

>0時(shí)，，所以

lnx

是

在(0,+∞)上的原函數(shù)，同理

1+lnx、–5+lnx都是

的原函數(shù)。第一，原函數(shù)的個(gè)數(shù)。設(shè)

F(x)是

f(x)在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù)，那么對(duì)任意常數(shù)

C

都有

，即函數(shù)

F(x)+C

也是

f(x)在區(qū)間

I上的原函數(shù)。這說(shuō)明，如果

f(x)有一個(gè)原函數(shù)，那么

f(x)就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。第二，原函數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)

Φ(x)是

f(x)在區(qū)間

I上的另一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)于任意的

x∈I，也有

，于是Φ(x)–

F(x)

=C0（C0為某個(gè)常數(shù)），這表明

Φ(x)與

F(x)

只差一個(gè)常數(shù)。因此，當(dāng)C

為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式

F(x)

+C就可以表示

f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。一個(gè)函數(shù)具備什么條件，它的原函數(shù)一定存在呢？這里直接給出結(jié)論：定理（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上連續(xù)，那么在區(qū)間

I上存在可導(dǎo)函數(shù)

F(x)，使得對(duì)于任意的

x∈I，都有。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。定義

在區(qū)間I

上，f(x)

的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為

f(x)

在區(qū)間I

上的不定積分，記作其中記號(hào)稱為積分號(hào)，

f(x)

稱為被積函數(shù)，

f(x)dx

稱為被積表達(dá)式，x

稱為積分變量。

如果

F(x)是

f(x)在區(qū)間

I上的一個(gè)原函數(shù)，即

（x∈I），那么因此，不定積分可以表示

f(x)

的所有原函數(shù)。任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量不定積分與微分（求導(dǎo)）互為逆運(yùn)算：由此可見(jiàn)微分運(yùn)算（以記號(hào)d

表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算，以記號(hào)∫表示）是互逆的，記號(hào)∫與

d

一起時(shí)或者抵消，或者抵消后差一常數(shù)。先積后微，形式不變；先微后積，差個(gè)常數(shù)。或或

定義設(shè)F(x)

是

f(x)的一個(gè)原函數(shù)，

y=F(x)的圖形稱為

f

(x)

的積分曲線。顯然積分曲線不止一條，而且所有的積分曲線都可以由一條積分曲線沿y

軸方向平移得到。

不定積分的幾何意義：任一條積分曲線

y=F(x)

沿著

y

軸從–∞到+∞連續(xù)地平行移動(dòng)所產(chǎn)生的一族積分曲線。例5-2設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)

(1,2)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的2

倍，求此曲線的方程。

解設(shè)所求曲線方程為y=f

(x)，由題設(shè)，曲線上任一點(diǎn)(x,y)

處的切線斜率為即f(x)

是2x

的原函數(shù)，因?yàn)楣时卮嬖谀硞€(gè)常數(shù)C，使又因?yàn)樗笄€通過(guò)點(diǎn)(1,2)，故2=1+C，即

C=1。于是所求曲線方程為本例就是求函數(shù)

2x

的通過(guò)點(diǎn)(1,2)的那條積分曲線?；痉e分表及不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義，求函數(shù)

f(x)的不定積分，只需求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意常數(shù)C

即可。例如，因?yàn)椋?/p>

所以是的一個(gè)原函數(shù)，于是又如，當(dāng)x>0

時(shí)，，所以是的一個(gè)原函數(shù)，因此當(dāng)x<0

時(shí)，，

所以是的一個(gè)原函數(shù)，因此綜上可得（1）（2）（5）（4）（3）（7）（12）（9）（8）（13）（11）（10）（6）以上所列基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，必須熟記。例5-4求解例5-3求解例5-5求解例5-6求解根據(jù)不定積分的定義，可以得到它的如下兩個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

性質(zhì)2

設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k

為非零常數(shù)，則該性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。利用基本積分表和不定積分的性質(zhì)，可以求出一些簡(jiǎn)單的不定積分。例5-7求解例5-8求解1.分項(xiàng)積分后，只需要總的寫(xiě)出一個(gè)任意常數(shù)即可；2.檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)。注意：例5-9某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每天生產(chǎn)產(chǎn)品的邊際成本是

（x

是每天的產(chǎn)量），已知固定成本為1000元，求每天總成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。解

因?yàn)榭偝杀臼沁呺H成本的原函數(shù)，所以有已知固定成本為1000元，即C(0)

=1000，將其代入上式得

C

=1000。于是所求函數(shù)為有些不定積分，基本積分表中沒(méi)有相應(yīng)的類型，需要對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖冃?，將其化為表中的形式后再逐?xiàng)積分。例5-10求解例5-11求解例5-12求解例5-13設(shè)每天生產(chǎn)某種商品

x

單位時(shí)的固定成本為30元，邊際成本函數(shù)為如果該商品的銷售價(jià)為每件20元，且所有商品都能售出。（1）求成本函數(shù)

C(x)；（2）求利潤(rùn)函數(shù)

L(x)以及獲得最大利潤(rùn)時(shí)每天生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)。解（1）根據(jù)題意，成本函數(shù)為又因?yàn)镃(x)=30，從而C

=30，因此

（2）因?yàn)槭找婧瘮?shù)為R(x)=20x，所以利潤(rùn)函數(shù)為于是有當(dāng)時(shí)，得

x

=30。所以每天生產(chǎn)30件產(chǎn)品時(shí)才能獲得最大利潤(rùn)。不定積分的計(jì)算換元積分法是將復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則反過(guò)來(lái)用于求不定積分，即通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將所求的不定積分化為基本積分表中所列形式，再計(jì)算出積分的結(jié)果。，據(jù)此我們把原式改寫(xiě)為例5-14求解在基本積分表中有公式若做變量代換，令u=3x，把u

看作新的積分變量，就可應(yīng)用基本積分公式，得再把u

換成3x，得上例中所用的方法就是第一類換元積分法，該方法的關(guān)鍵在于選擇一個(gè)合適的變量代換，把所求的積分變形成為基本積分表中已有的形式或者便于求出積分的形式。一般地，設(shè)F(u)

為

f(u)

的原函數(shù)，即如果u=φ(x)

是中間變量且可導(dǎo)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有從而，由不定積分的定義可得，定理（第一類換元積分法）設(shè)函數(shù)u=φ(x)可導(dǎo)，且則有應(yīng)用第一類換元積分法的關(guān)鍵是，先要從被積函數(shù)中分出一部分因式與dx結(jié)合，湊成微分因式φ(x)dx

的形式，即因此，第一類換元積分法也稱為湊微分法。例5-15求解令u=3x+1，則du=d(3x+1)=3dx，即，于是

下面通過(guò)具體的例子來(lái)介紹如何應(yīng)用第一類換元積分法（湊微分法）。例5-16求解令u=2x–3，則du=d(2x–3)=2dx，即，于是

由以上兩例可以看出，一般地，對(duì)于積分，總可以做變換u=ax+b，若，于是例5-17求解令

，則du=2xdx，即，于是

解令

，則du=–2xdx，即，于是

例5-18求如前面四例，也可分別寫(xiě)為：在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們常不寫(xiě)出中間變量。同樣地，在比較熟悉不定積分的第一類換元積分法后，也可不寫(xiě)出中間變量。使用第一類換元積分法時(shí)，總是將被積函數(shù)分解成兩個(gè)因式

與

的乘積，然后將

按微分逆運(yùn)算寫(xiě)成

，當(dāng)被積函數(shù)的中間變量與積分變量的形式一致時(shí)，就可使用基本積分表中的結(jié)論寫(xiě)出積分結(jié)果。例5-19求解例5-20求解例5-21求解例5-22求解例5-23求解類似可得例5-24求解例5-25求解例5-26求解通過(guò)上面的例子可以看到，利用第一類換元積分法求不定積分需要一定的技巧，關(guān)鍵是要在被積表達(dá)式中湊出適用的微分因子，進(jìn)而進(jìn)行變量代換，這方面無(wú)一般法則可循，但熟記一些常用的湊微分公式是有幫助的。用第一類換元積分法能夠求出許多不定積分，但有些不定積分例如卻不能用第一類換元積分法求解。我們引入另一種積分法——第二類換元積分法。定理（第二類換元積分法）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，

x=φ(t)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，則有換元公式例如，對(duì)于被積函數(shù)中含有

的不定積分，可令

，即做變量代換

（

），從而把無(wú)理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分。解令

，即，去掉被積函數(shù)中的根式，此時(shí)

dx=2tdt，于是

例5-27求解令

，即，則

dx=2tdt，于是

例5-28求第二類換元法主要解決被積函數(shù)含有根式的積分問(wèn)題，但也要具體問(wèn)題具體分析，例如等，使用湊微法更為簡(jiǎn)便。設(shè)u=u(x)，v=v(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由求導(dǎo)公式，得兩邊積分，有即這就是分部積分公式，使用分部積分公式求不定積分的方法稱為分部積分法。應(yīng)用分部積分法首先要把被積函數(shù)f(x)分成兩部分，一部分作為公式中的u，另一部分作為公式中的v′，然后把積分寫(xiě)成的形式。即恰當(dāng)?shù)剡x取u和v′是應(yīng)用該方法的關(guān)鍵，選取的原則一是要v容易求出，二是要使新的積分比原來(lái)的積分容易求出。應(yīng)用分部積分法時(shí)，u及v′的選擇是有一定規(guī)律的。當(dāng)被積函數(shù)為多項(xiàng)式（或冪函數(shù)）與正（余）弦或指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，可以考慮應(yīng)用分部積分法，此時(shí)選取多項(xiàng)式（或冪函數(shù)）作為u，這樣可以降低多項(xiàng)式（或冪函數(shù)）的次數(shù)。例5-29求解設(shè)u=x，

，則

，于是例5-30求解令

，

，則

，于是例5-31求解令u=x，v′=cosx，則v=sinx，于是如果被積函數(shù)是多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的形式，可以考慮應(yīng)用分部積分法，并把對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)作為u。例5-32求解為使容易求得，選取u=lnx，

，則

，于是應(yīng)用比較熟練后，不必再把u和v′明確寫(xiě)出來(lái)，可直接使用分部積分公式。例5-33求解有時(shí)求一個(gè)不定積分，需要將換元積分法和分部積分法結(jié)合起來(lái)使用。例5-34求解先換元，令

，則

，

，于是兩個(gè)多項(xiàng)式的商