作課人：廉文杰數(shù)學(xué)之王——?dú)W拉北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)作課人：廉文杰焦作市外國語中學(xué)第一章

預(yù)備知識(shí)第3節(jié)

不等式3.1不等式的性質(zhì)

第1課時(shí)（共1課時(shí)）學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)目

標(biāo)重

點(diǎn)難

點(diǎn)1．掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法．2．掌握不等式的性質(zhì)．3．能利用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行簡單的變形．1、掌握不等式的性質(zhì)．2、能利用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行簡單的變形．1、能利用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行簡單的變形．新

知

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯同學(xué)們：

我們班里的50名同學(xué)的身高都相等么？

我們班里的50名同學(xué)的體重都相等么？

你們的中招成績都一樣么？

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著不等關(guān)系。這些不等關(guān)系在數(shù)學(xué)中用不等式表示。那么，什么叫作不等式呢？

用不等號(hào)“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

連接起來的式子叫作不等式。新

知

引

入

關(guān)于實(shí)數(shù)a,b大小的比較，有以下基本事實(shí):

如果a-b是正數(shù)，那么____________;

如果a-b等于0,那么____________;

如果a-b是負(fù)數(shù)，那么___________.反過來也成立.即：韋

達(dá)a>b

借助這些基本事實(shí)，我們可以得到不等式的性質(zhì)。a=ba<b學(xué)

習(xí)

新

知布

豐性質(zhì)1：如果a＞b，那么b＜a；這個(gè)性質(zhì)稱為不等式的對(duì)稱性。證明：∵

a＞b，∴a－b＞0，

又由于正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，∴-(a－b)＜0，即b－a＜0∴b＜a學(xué)

習(xí)

新

知?dú)W幾里得（約公元前300年）《幾何原本》性質(zhì)2：如果a>b，且b>c，那么a>c.這個(gè)性質(zhì)稱為不等式的傳遞性。證明：∵a>b,且b>c，

∴a-b>0,b-c>0，

∴從而a-c=(a-b)+(b-c)>0，∴a>c.學(xué)

習(xí)

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》證明:∵a>b，∴a-b>0，∴(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.運(yùn)算性質(zhì)1：如果a>b，那么a+c>b+c.這個(gè)性質(zhì)稱為不等式的可加性。文字語言：不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等

式與原不等式同向．學(xué)

習(xí)

新

知阿波羅尼奧斯（約公元前200年）

《圓錐曲線論》證明:∵a>b，∴a-b>0.∵c>0,∴(a-b)c>0即ac-bc>0,∴ac>bc運(yùn)算性質(zhì)2：如果a>b，c>0，那么ac>bc;

如果a>b，c<0，那么ac<bc.這個(gè)性質(zhì)稱為不等式的可乘性。文字語言：不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；

不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向．證明：∵

a>b，∴a-b>0，

∵c<0，∴(a-b)c<0即ac-bc<0，

∴ac<bc.學(xué)

習(xí)

新

知拉格朗日證明：∵a>b,∴a+c>b+c.

∵c>d，∴b+c>b+d由不等式的傳遞性,得a+c>b+d.運(yùn)算性質(zhì)3：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.這個(gè)性質(zhì)稱為不等式的加法法則。

學(xué)

習(xí)

新

知集合論之父——康托證明:∵a>b,c>0,∴ac>bc.

∵c>d,b>0,∴bc>bd

由不等式的傳遞性,

得ac>bd.運(yùn)算性質(zhì)4：如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;

如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.

這個(gè)性質(zhì)稱為不等式的乘法法則。證明：∵

a>b，c<0，

∴ac<bc，

∵c<d，b>0，

∴bc<bd，

由不等式的傳遞性，

得

ac<bd.學(xué)

習(xí)

新

知運(yùn)算性質(zhì)5：（乘方法則）當(dāng)a>b>0時(shí)，an>bn,其n∈N+,n≥2.伯努利證明：累次應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)4即可得。學(xué)

習(xí)

新

知無冕的數(shù)學(xué)之王——希爾伯特

典

例

引

路柯

西

作差法比較實(shí)數(shù)的大小的一般步驟：作差→恒等變形→判斷差的符號(hào)→下結(jié)論.作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步，變形的方向是化成幾個(gè)完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號(hào)的因式的積的形式.

同

步

練

習(xí)解析幾何之父——笛卡爾

典

例

引

路傅里葉

解：A中，令c=0,則A不成立B中，若c＜0,則B不成立D中，若a＜0且b＜0,則D不成立C同

步

練

習(xí)洛必達(dá)

A

解：①②為真命題。B典

例

引

路牛

頓

同

步

練

習(xí)黎

曼

典

例

引

路狄利克雷

同

步

練

習(xí)萊布尼茲

典

例

引

路皮

亞

諾

同

步

練

習(xí)龐加萊

全

課

總

結(jié)性質(zhì)1：如果a＞b，那么b＜a；性質(zhì)2：如果a>b，且b>c，那么a>c.運(yùn)算性質(zhì)1：如果a>b，那么a+c>b+c.運(yùn)算性質(zhì)2：如果a>b，c>0，那么ac>bc;

如果a>b，c<0，那么ac<bc.運(yùn)算性質(zhì)3：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.運(yùn)算性質(zhì)4：