年度第一學(xué)期高二四校期中聯(lián)考數(shù)學(xué)揭陽一中潮州金中梅縣東山中學(xué)汕頭金中海灣學(xué)校85分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一般式直線方程求出斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】由直線方程，則直線的斜率為，即為傾斜角的正切值，所以傾斜角的大小為.故選：D2.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，據(jù)此可得答案.【詳解】由題可得圓心，半徑為1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，則，又圓半徑也為1，所以圓的方程為.故選：D.第1頁/共20頁）A.)B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量基本定理，用基底表示向量即可.【詳解】因?yàn)?故選：B4.已知函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A3B.C.D.2【答案】B【解析】.【詳解】因函數(shù)的周期為2，且為奇函數(shù)，故.故選：B第2頁/共20頁5.若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1m）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，結(jié)合點(diǎn)到直接的距離公式運(yùn)算求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，且圓心到直線的距離，由題意可知：，則，即，解得或，所以m的取值范圍為.故選：A.6.“”是“圓的一條切線過點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，首先方程要表示圓，再結(jié)合切線過點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上或圓外，然后求解即可．【詳解】方程表示圓，則，，解得或，由于圓的一條切線過點(diǎn)，所以，，第3頁/共20頁所以的取值范圍是，所以“”是“圓的一條切線過點(diǎn)”的充要條件．故選：C．7.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在，，則直線的斜率為（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】，，利用勾股定理可得，進(jìn)而得到即可求解．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，由橢圓的定義可得，，因?yàn)?，在中由勾股定理得，解得，所以，，直線的斜率，而，直線的斜率．故選：B．8.已知在正方體的棱長為2EF分別是直線與EF長度的最小值為（）第4頁/共20頁A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出EF長度即可求出.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x抽，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值為.故選：A.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于，的方程，下列說法正確的是（）A.存在實(shí)數(shù)，使得該方程表示兩條直線B.若，則該方程表示圓，其半徑為第5頁/共20頁C.若，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D.若，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)不同的取值范圍，結(jié)合直線、圓、橢圓的方程特征來逐一分析選項(xiàng).詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，方程表示兩條直線，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程表示圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，方程，即表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，方程，即表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知點(diǎn)，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圓，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，，下列說法正確的是（）A.圓與圓有兩條公切線B.的最小值為1C.四邊形面積的最小值為1D.直線恒過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)兩圓外離可判斷A；由向量關(guān)系得，，然后利用圓的性質(zhì)得第6頁/共20頁，利用點(diǎn)到直線的距離判斷B；求得四邊形的面積可判斷C；由題可知點(diǎn)，在以為直徑的圓上，利用兩圓相減可求得直線方程，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為2，因?yàn)?，所以圓與圓相離，故有四條公切線，A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，，連接，則，所以當(dāng)最小時(shí)，最小.當(dāng)，即為圓心到直線的距離時(shí)，最小，，所以，B正確.對(duì)于C，由題意得，，所以四邊形的面積，由選項(xiàng)B可知，C正確.對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)?，是圓的切線，所以點(diǎn)，在以為直徑的圓上.因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A的方程為，整理得，與圓的方程相減得直線的方程為，化簡得，由，得，即直線恒過定點(diǎn)，D正確.第7頁/共20頁故選：BCD已知球是棱長為的正方體的內(nèi)切球，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是球的球面上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.球的表面積為B.三棱錐的體積的最大值為C.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為D.若，則的大小為定值【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球半徑為棱長的一半，結(jié)合球的表面積公式可求得A為原點(diǎn)建立空間到平面大值為，知B錯(cuò)誤；分別取中點(diǎn)，易知平面平面與內(nèi)切球C可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢球面上，結(jié)合橢圓與圓的對(duì)稱性可知D正確.【詳解】對(duì)于A，球?yàn)槔忾L為的正方體的內(nèi)切球，球的半徑，球的表面積，A正確；對(duì)于B，以為原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，第8頁/共20頁，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得，，；球心到平面的距離，平面，平面，，又，三棱錐體積最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正方體性質(zhì)得面，且內(nèi)切球半徑，分別取中點(diǎn)，如圖所示，，，平面，平面，平面，平面，第9頁/共20頁平面，平面，又，平面，平面平面，平面，則點(diǎn)軌跡為平面與內(nèi)切球的交線，即為截面圓的周長，易知球心平面，則到平面距離為平面與平面的距離，截面圓半徑，點(diǎn)軌跡長度為，C正確；對(duì)于D，由題意知：，又，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢球面上，點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，點(diǎn)在橢球面與球面的交線處，則平面截球與橢球的截面圖如圖所示，由橢圓與圓的對(duì)稱性可知：點(diǎn)位于時(shí)，為定值，D正確.故選：ACD.三、填空題：本小題3小題，每小題5分，共分.12.已知，則_____.【答案】##0.28【解析】【分析】由，利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.第10頁/共20頁答案為：##0.2813.已知直線將圓的周長平分，其中，，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】抓住直線平分圓的周長，即過圓心，可得m、n的關(guān)系，然后利用基本不等式可解.【詳解】由題知直線過圓心，所以有，即，所以，當(dāng)，即時(shí).故答案為：.14.已知點(diǎn)P為橢圓l過圓的圓心且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，所以，再由的范圍，可得的取值范圍．【詳解】由橢圓的方程可知，，可得，易知圓的圓心，半徑為1，第11頁/共20頁，可知恰為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，所以．故答案為：．四、解答題：本小題共5小題，共分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求的大小.（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】1）利用正弦定理化簡邊角關(guān)系后可求的大??；（2）根據(jù)余弦定理和基本不等式可得，從而可求面積最大值．【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：①，因?yàn)?故①式可變形為，第12頁/共20頁即，化簡得：，因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋?【小問2詳解】由正弦定理得，所以，由（1）知，故，則，由余弦定理得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此，所以面積的最大值為．16.已知圓的圓心為的圓心為與圓外切，且與圓內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】1）結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，利用橢圓的定義求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)，將為鈍角轉(zhuǎn)化為且、、三點(diǎn)不共線，然后結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列不等式求解即可.【小問1詳解】第13頁/共20頁設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，所以，所以，所以曲線是以，為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓.設(shè)橢圓方程為，所以，，即，，所以，又，所以圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，所以的方程為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，，，所以，，若為鈍角，且、、三點(diǎn)不共線，所以，①又由橢圓的方程得，②聯(lián)合①②得，解得所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.第14頁/共20頁17.已知圓及點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)．（1）若弦長，求直線的方程；（2）求△面積的最大值，并求此時(shí)弦長的值．【答案】（1）或；（2）最大，此時(shí)【解析】1可得直線方程；（2）令直線，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、弦長公式及三角形面積求法列方程，利用基本不等式求面積最大值，注意取值條件即可得答案.【小問1詳解】若直線斜率不存在，則，此時(shí)，不符題設(shè)，由，則圓心，半徑為3，又，所以到直線的距離，令直線，則，可得，故或，所以直線的方程為或；【小問2詳解】由（1）直線斜率不存在，有，又到直線的距離，則；若直線斜率存在，令，此時(shí)到直線的距離，，第15頁/共20頁所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立，所以，此時(shí)最大.18.如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線.（1）求證：直線平面；（2上存在一點(diǎn)（與都在與直線所成的角為與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】1）先證明，再證明平面，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后再求出相關(guān)平面的法向量，最后用夾角公式計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：，分別是，的中點(diǎn)，，第16頁/共20頁又平面，平面，平面，又平面，平面平面，，又，平面平面，平面平面，平面，平面，則平面.【小問2詳解】由（1）得，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，平面內(nèi)，過作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)，則.依題意可得：，即：所以，即于是：，設(shè)平面的法向量為則，取，可得再設(shè)平面的法向量為，則，取，得于是所以平面與平面所成角的余弦值為.第17頁/共20頁19.曼哈頓距離是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和.例如：在平面直角坐標(biāo)系中，若，，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離；在空間直角坐標(biāo)系中，若，，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離.（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，求的值；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，為函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.（3）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)圍成的幾何體的表面積.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由曼哈頓距離定義直接計(jì)算即可；（2）設(shè)，，由曼哈頓距離定義表示，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合三角恒等變形可求的最小值即可；（3）利用曼哈頓距離定義求得動(dòng)點(diǎn)圍成的圖形為八面體且每個(gè)面均為邊長為的等邊三角形，即可求解其表面積.【小問1詳解】，所以.第18頁/共20頁設(shè)，，，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值，為單