第一章

三角形的證明1三角形內(nèi)角和定理多邊形的內(nèi)角和

小明和小亮經(jīng)常到如圖所示的廣場(chǎng)進(jìn)行體育鍛煉.這個(gè)廣場(chǎng)中心的邊緣是一個(gè)五邊形.你能設(shè)法求出它的五個(gè)內(nèi)角的和嗎?與同伴進(jìn)行交流.課堂引入

【探究1】多邊形內(nèi)角和探究與應(yīng)用【操作交流】

小明、小亮分別利用圖中的圖形求出了五邊形的五個(gè)內(nèi)角的和,你知道他們是怎么做的嗎?你還有其他的方法嗎?解:小明:連接多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)與不相鄰的頂點(diǎn),把五邊形分成三個(gè)三角形,

可得五邊形內(nèi)角和=3×180°=540°;小亮:在五邊形內(nèi)部取一點(diǎn),與五邊形各頂點(diǎn)相連,把五邊形分成五個(gè)三角形,

可得五邊形內(nèi)角和=5×180°-360°=540°;還可以在五邊形邊上取一點(diǎn)(除五邊形的頂點(diǎn)外),連接與其不相鄰的頂點(diǎn),

可得五邊形內(nèi)角和=4×180°-180°=540°

【探究1】多邊形內(nèi)角和探究與應(yīng)用【嘗試·思考】(1)按照上面圖(1)的方法,六邊形能分成多少個(gè)三角形?n(n是大于或等于3的自然數(shù))邊形呢?你能確定n邊形的內(nèi)角和嗎?(2)按照?qǐng)D(2)的方法再試一試.解：按照?qǐng)D(1)的方法,可把六邊形分成4個(gè)三角形,n邊形能分成(n-2)個(gè)三角形,從而得到n邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°;按照?qǐng)D(2)的方法,可把六邊形分成6個(gè)三角形,n邊形能分成n個(gè)三角形,從而得到n邊形的內(nèi)角和=180°n-360°,也就是(n-2)·180°.

【探究1】多邊形內(nèi)角和探究與應(yīng)用【概括新知】

定理:n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°

從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出(n-3)條對(duì)角線,把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形.從而得出:n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°.

【探究】多邊形內(nèi)角和探究與應(yīng)用【應(yīng)用】

例(教材例1)如圖,四邊形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠B與∠D有怎樣的關(guān)系?解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°

【探究2】正多邊形的內(nèi)角探究與應(yīng)用【操作·思考】(1)正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形的每個(gè)內(nèi)角分別是多少度?(2)怎樣計(jì)算正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（1）解：正三角形的每個(gè)內(nèi)角為：180°÷3=60°；正方形的每個(gè)內(nèi)角為：360°÷4=90°；正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為：（5-2）×180°÷5=108°；正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為：（6-2）×180°÷6=120°；正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：（8-2）×180°÷8=135°．（2）正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)=內(nèi)角和除以邊數(shù)

【探究3】剪掉一個(gè)角后的圖形的內(nèi)角和探究與應(yīng)用【思考·交流】

剪掉一張長(zhǎng)方形紙片的一個(gè)角后，剩下的紙片是幾邊形？它的內(nèi)角和是多少度？與同伴進(jìn)行交流.解：因?yàn)榧舻粢粋€(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方形對(duì)角2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí)，剩余圖形為三角形，內(nèi)角和為180°；當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方形一組對(duì)邊的直線時(shí)，剩余圖形是四邊形，內(nèi)角和360°；當(dāng)截線為只經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方形一組鄰邊的一條直線時(shí)，剩余圖形是五邊形，內(nèi)角和為540°．【拓展提升】1.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°,那么原多邊形的邊數(shù)為 (

)A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或72.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=45°.直線l與邊AB,AD分別相交于點(diǎn)M,N,則∠1+∠2=

.

探究與應(yīng)用D

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)1.一個(gè)多邊形的邊數(shù)是10,這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 (

)A.1800°

B.1440°

C.1980°

D.540°2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1800°,則它的邊數(shù)是 (

)A.5 B.6 C.8D.123.在四邊形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度數(shù)比為1∶3∶3∶5,則∠D= (

)A.20° B.90° C.130° D.150°BD課堂小結(jié)與檢測(cè)D

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于900°,它是

邊形.

5.一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角后,其余內(nèi)角的和為1680°,它是

邊形.

課堂小結(jié)與檢測(cè)七十二第一章

三角形的證明1三角形內(nèi)角和定理

多邊形的外角和

問(wèn)題:(1)什么是三角形的外角?(2)三角形的外角有哪些性質(zhì)?

知識(shí)關(guān)聯(lián)

三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角,稱為三角形的外角.①三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.②三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

【探究】多邊形的外角和定理探究與應(yīng)用【情境問(wèn)題】

如圖,小剛在公園沿著五邊形步道按逆時(shí)針?lè)较蚵?(1)小剛每次從五邊形步道的一條邊轉(zhuǎn)到下一條邊時(shí),跑步方向改變的角是哪個(gè)角?在圖上標(biāo)出這些角.(1)如圖跑步方向改變的角是:∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.51234

【探究】多邊形的外角和定理探究與應(yīng)用【情境問(wèn)題】

(2)他每跑完一圈,跑步方向改變的角的總和是多少度?說(shuō)說(shuō)你的理由,并與同伴進(jìn)行交流.(2)跑步方向改變的角的總和是360°.理由:方法一:以小明自身轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)計(jì)算,轉(zhuǎn)過(guò)一周,剛好是360°;方法二:用量角器量出度數(shù)后計(jì)算;方法三:把各個(gè)外角都剪出來(lái),再拼在一起,類似驗(yàn)證三角形內(nèi)角和的方法;

【探究】多邊形的外角和定理探究與應(yīng)用【情境問(wèn)題】

(2)他每跑完一圈,跑步方向改變的角的總和是多少度?說(shuō)說(shuō)你的理由,并與同伴進(jìn)行交流.方法四:利用內(nèi)角與相鄰的外角互補(bǔ)的關(guān)系推理得出:∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°,∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.∵五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.

【探究】多邊形的外角和定理探究與應(yīng)用【思考·交流】

如果公園的步道是六邊形、八邊形,那么結(jié)果會(huì)怎樣?與同伴進(jìn)行交流.六邊形或八邊形的外角和都等于是360°。

【探究】多邊形的外角和定理探究與應(yīng)用【概括新知】

說(shuō)明:多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角.在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角,它們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和.

多邊形的外角和等于360°.

【探究】多邊形的外角和定理探究與應(yīng)用【應(yīng)用】

例(教材例2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍,它是幾邊形?解:設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形,則內(nèi)角和是(n-2)·180°,外角和等于360°.根據(jù)題意,得(n-2)·180°=3×360°.解得n=8.所以,這個(gè)多邊形是8邊形.

【探究】多邊形的外角和定理探究與應(yīng)用變式訓(xùn)練

1.一個(gè)多邊形每個(gè)外角都是60°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

.

2.一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比相鄰的外角大36°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).6解：設(shè)外角為x°，那么內(nèi)角就是x°+36°。根據(jù)內(nèi)角和外角的和為180°，我們可以得到方程：x°+(x°+36°)=180°，解這個(gè)方程，得到：x=72所以，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：360÷72=5。

探究與應(yīng)用

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)1.一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為108°,則這個(gè)多邊形是 (

)

A.七邊形