高素質(zhì)高思維高能力4.2.2等差數(shù)列的判定與證明

1.定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。3.通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d4.等差中項(xiàng)：a,A,b成等差數(shù)列2A=a+b.復(fù)習(xí)回顧2.遞推公式:an-an-1=d

(n≥2)或an+1-an=d

(n∈N*).

an、a1、n、d知三求一例題1

已知數(shù)列{an}，a1=-2，an+1=an

+3，(1)試寫出這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)到第5項(xiàng);

(2)判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列.解：(1)數(shù)列{an}中，

a1=-2，an+1=an

+3

∴a2=a1+3=-2+3=1；a3=a2+3=1+3=4；a4=a3+3=4+3=7

；a5=a4+3=7+3=10.(2)數(shù)列{an}中，an+1=an

+3∴an+1

-an

=3(常數(shù)）數(shù)列{an}為等差數(shù)列.典例分析證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法是:

.證明an+1-an為一個(gè)常數(shù)

例題1

判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列(1)an=3n-1(2)an=n2+n

典例分析用定義法判定(或證明)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本步驟為:方法歸納(1)作差an+1-an.(3)當(dāng)an+1-an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當(dāng)an+1-an不是常數(shù),而是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí),數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.(2)對(duì)差式進(jìn)行變形.

典例分析優(yōu)化P14

問題探究?jī)?yōu)化P14等差中項(xiàng)法：用于證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列

方法歸納

A.12

B.13

C.14

D.15

√跟蹤訓(xùn)練 ①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n,an)組成的集合，這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上.(k＋b)k

an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)②任給一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k,b為常數(shù))，則f(1)＝k＋b,f(2)＝2k＋b,…,f(n)＝nk＋b，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk＋b}，其首項(xiàng)為________，公差為____.思考：我們知道數(shù)列是自變量為n的函數(shù)，你認(rèn)為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？

等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系125a1xf(x)O346a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)探究新知從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列一次函數(shù)：

f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)結(jié)論：等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān).①當(dāng)d＞0時(shí)，

等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增;②當(dāng)d＜0時(shí)，

等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減；③當(dāng)d＝0時(shí)，

等差數(shù)列{an}為常數(shù)列.思考：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？探究新知從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列

(1)an=2n-3()；(2)an=n2-1()；(3)an=5-3n()；(4)

an=7n+3().練習(xí)1

已知數(shù)列{an},判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？×d=an+1-an＝7d=an+1-an＝2d=an+1-an＝-3d=an+1-an＝2n+1不確定常數(shù)常數(shù)常數(shù)類似an=kn+b(

n∈N*

)

形式是等差數(shù)列.鞏固練習(xí)nanO?1569121518?2????3463練習(xí)2

注意：（1）判定一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列可以用定義法（作差法）、等差中項(xiàng)法及通項(xiàng)公式法，前兩個(gè)較為嚴(yán)謹(jǐn)，可用于解答題，通項(xiàng)公式法一般適用于選擇、填空題.（2）要否定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，只要舉出一個(gè)反例，即說明其中存在連續(xù)三項(xiàng)不等差即可.方法歸納知識(shí)小結(jié)從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列：等差數(shù)列的第項(xiàng)是一次函數(shù),當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，即=圖象是直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn).等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d的符號(hào)有關(guān).函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)在同一條直線上：d＞0,等差數(shù)列單調(diào)遞增；d＜0,等差數(shù)列單調(diào)遞減；d＝0,等差數(shù)列為常數(shù)列.4.已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,公差分別為d1,d2,數(shù)列{cn}滿足cn=

an

+2bn

.

(1)數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列?若是,證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求數(shù)列