第01講平面向量的概念及其線性運(yùn)算(精講）目錄第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念與表示角度2：模角度3：零向量與單位向量角度4：相等向量高頻考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算角度1：平面向量的加法與減法角度2：平面向量的數(shù)乘高頻考點(diǎn)三：共線向量定理的應(yīng)用第一部分：知第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量或；?；?（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示.特別的：非零向量的單位向量是.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.2、向量的線性運(yùn)算2.1向量的加法①定義：求兩個向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對角線）已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.2.2向量的減法①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.2.3向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的定義:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，.3、共線向量定理①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實(shí)數(shù)，.②向量共線定理的注意問題：定理的運(yùn)用過程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．4、常用結(jié)論4.1中點(diǎn)公式的向量形式：若為線段的中點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則.4.2三點(diǎn)共線等價形式：（，為實(shí)數(shù)），若，，三點(diǎn)共線第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念與表示典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上【答案】A【詳解】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點(diǎn)相同時終點(diǎn)必相同，故A正確；兩個有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.故選：A例題2．（2022·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)（文））下列說法正確的是(

)①有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長度；②向量兩要素是大小和方向；③同向且等長的有向線段表示同一向量；④在平行四邊形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【詳解】①始點(diǎn)、方向、長度可以確定一條有向線段，即有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長度，故①正確；②根據(jù)向量的定義知，向量的兩要素是大小和方向，故②正確；③同向且等長的有向線段表示的向量大小相等，方向相同，故為同一向量，故③正確；④∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，且AB＝DC，故，故④正確．故選：D．例題3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．向量與向量是相等向量B．若兩個向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合C．與實(shí)數(shù)類似，對于兩個向量有三種關(guān)系D．向量的模是一個正實(shí)數(shù)【答案】B【詳解】向量與向量模長相等，方向相反，為相反向量，故選項(xiàng)A不正確；由向量共線的定義可知，選項(xiàng)B正確；由向量的定義，向量有模長和方向兩個要素，不可比較大小，故選項(xiàng)C不正確；零向量的模長為0，因此向量的模不一定為正數(shù)，故選項(xiàng)D不正確.故選：B題型歸類練1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．向量與向量長度相等 B．單位向量都相等C．的長度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以和互為相反向量，長度相等，方向相反，故A選項(xiàng)正確；單位向量長度都為，但方向不確定，故B選項(xiàng)錯誤；根據(jù)零向量的概念，易知C選項(xiàng)正確；向量只與長度和方向有關(guān)，與位置無關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動，故D選項(xiàng)正確；故選：B.2．（2022·浙江·杭州四中高一期中）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】解：時，方向未知，不成立，A錯誤；向量不能比較大小，B錯誤；表示向量大小相等，方向相同，所以，C正確；表示向量方向相同或相反，不能得到，D錯誤.故選：C.角度2：模典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知、為非零向量，“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．即非充分又非必要條件【答案】A【詳解】由題意知，充分性：若，則、方向相同且，充分性成立；必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.因此，“”是“”充分而不必要條件.故選：A.例題2．（2022·江蘇省太湖高級中學(xué)高一階段練習(xí)）在矩形中，，，則（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【詳解】由題意，；故選：D.例題3．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）已知四邊形是邊長為的正方形，求：(1)；(2)【答案】(1)(2)2【分析】利用向量的加減法法則化簡向量即可解決問題.（1）四邊形是邊長為的正方形，（2）題型歸類練1．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）已知，，且，求.【答案】10【詳解】解：以與為鄰邊，構(gòu)造平行四邊形，如圖所示：則和分別是該四邊形的兩條對角線，因?yàn)椋丛撈叫兴倪呅蔚膶蔷€相等，故該四邊形為長方形，所以.2．（2022·廣東·雷州市白沙中學(xué)高一階段練習(xí)）已知菱形的邊長為2，(1)化簡向量；(2)求向量的模.【答案】(1)(2)2(1)(2)由向量的平行四邊形法則與三角形法則，3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若、為相反向量，且，，則________，________.【答案】

【詳解】因?yàn)?、為相反向量，且，，則，，因此，，.故答案為：；.角度3：零向量與單位向量典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：對①：零向量的方向是任意的，故①錯誤；對②：零向量的長度為0，故②正確；對③：零向量的方向是任意的，故③正確；對④：單位向量的模都等于1，故④正確.故選：C.例題2．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）在下列判斷中，正確的是()①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤【答案】D【詳解】由定義知①正確，②由于兩個零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個具體方向，故不正確．顯然，③、⑤正確，④不正確，所以答案是D.題型歸類練1．（多選）（2022·全國·高二）如果是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】依題意，是兩個單位向量，單位向量方向不一定相同，所以A選項(xiàng)結(jié)論錯誤.單位向量的模為，所以，所以BD選項(xiàng)結(jié)論正確.當(dāng)時，，所以C選項(xiàng)結(jié)論錯誤.故選：AC2．（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）若為任一非零向量，為單位向量，下列各式：（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是與同向的單位向量，則＝.其中正確的是________.(填序號)【答案】（3）【詳解】由題意知，，對（1），當(dāng)時，，不一定有，故(1)錯誤；對（2），與方向不一定相同或相反，所以與不一定平行，故(2)錯誤；對（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正確；對（4），向量的模非負(fù)，故(4)錯誤；對(5)，與方向不一定相同，所以與方向不一定相同，故(5)錯誤.綜上可知（3）正確.故答案：（3）角度4：相等向量典型例題例題1．（2022·全國·高一單元測試）在四邊形中，，且，那么四邊形為（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【詳解】由，可得四邊形ABCD是平行四邊形．由，，所以，所以四邊形ABCD為菱形．故選：C例題2．（2022·北京朝陽·高一期末）如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A選項(xiàng)，，A錯；對于B選項(xiàng)，，B錯；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，，D錯.故選：C.例題3．（2022·福建省福州高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正六邊形中，與向量相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圖可知六邊形ABCDEF是正六邊形，所以ED=AB，與方向相同的只有；而,,與長度相等，方向不同，所以選項(xiàng)A,C,D,均錯誤；故選：B題型歸類練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】AB選項(xiàng)均與方向不同，C選項(xiàng)與模長不等，D選項(xiàng)與方向相同，長度相等.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，為邊的延長線上一點(diǎn)，且，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，故選：A.3．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，.故選：B.高頻考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算角度1：平面向量的加法與減法典型例題例題1．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高二期末）正六邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，由題意得：，可以得到故選：A例題2．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡得（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C例題3．（2022·甘肅蘭州·高一期末）（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】．故選：B.題型歸類練1．（多選）（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，D，E，F(xiàn)分別是的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】解：因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，所以,且，，且，所以，，所以，故選：BCD.2．（2022·甘肅蘭州·高一期末）平行四邊形的對角線交于O點(diǎn)，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，化簡_____________．【答案】【詳解】如圖所示，，所故答案為：3．（2022·新疆·新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）化簡__________．【答案】【詳解】角度2：平面向量的數(shù)乘典型例題例題1．（2022·四川瀘州·高一期末）在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】在平行四邊形中，，所以．故選：B．例題2．（2022·浙江臺州·高一期末）的化簡結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，.故選：B.例題3．（2022·貴州·模擬預(yù)測（理））在中，，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，∴.故選：B.題型歸類練1．（2022·廣東·清遠(yuǎn)市博愛學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在中，D為上一點(diǎn)，且，設(shè)，則用和表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題得.故選：A2．（2022·貴州·羅甸縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）求__________．【答案】【詳解】解：；故答案為：3．（2022·吉林·長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知則使得的實(shí)數(shù)___________.【答案】【詳解】，則在線段上，且，所以，又，所以．故答案為：．高頻考點(diǎn)三：共線向量定理的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·安徽省宣城中學(xué)高二期末）如圖，在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，即，整理得：，因?yàn)?，所以，解得：故選：C例題2．（2022·浙江·寧波咸祥中學(xué)高一期末）設(shè)是兩個不共線的向量，若向量()與向量共線，則(

)A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵是兩個不共線的向量，且∥，故存在實(shí)數(shù)λ，使得．故選：A．例題3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，是兩個不共線向量，若向量與方向相反，則實(shí)數(shù)______.【答案】【詳解】由題意知，與共線，∴存在實(shí)數(shù)，使.∵，不共線，∴解得或，∵與反向，∴，.故答案為：題型歸類練1．（2022·四川·成都外國語學(xué)校高一階段練習(xí)（理））如圖在△ABC