第01講平面向量的概念及其線性運(yùn)算(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．長(zhǎng)的有向線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點(diǎn)，單位長(zhǎng)度已選定，則l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得，是單位向量C．方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東30°的向量不可能是共線向量D．一人從A點(diǎn)向東走500米到達(dá)B點(diǎn)，則向量不能表示這個(gè)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)的位移【答案】B【詳解】一個(gè)單位長(zhǎng)度取時(shí)，長(zhǎng)的有向線段剛好表示單位向量，故A錯(cuò)誤；根據(jù)單位向量的知識(shí)可知，B選項(xiàng)正確；方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東30°的向量是一對(duì)方向相反的向量，因此是平行向量，所以兩向量為共線向量，故C錯(cuò)誤；根據(jù)位移的定義可知，向量表示這個(gè)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)的位移，所以D錯(cuò)誤.故選：B2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，四邊形ABCD是等腰梯形得，且，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，又向量不能比較大小，所以選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤，故選：B.3．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）已知平面向量、、，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】B【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若、為非零向量，，但不一定等于，故不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可知、同向，于是可知、共線，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若為零向量，，不一定能推出，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，但是兩個(gè)向量方向不一定相同，故不可以推出，故D錯(cuò)誤；故選：B4．（2022·北京·高二）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，“紅星閃閃放光彩”，國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著緊密聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以A、B、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】五角星中，，，則，由于則，故選：D5．（2022·天津河?xùn)|·高一期中）有關(guān)向量和向量，下列四個(gè)說(shuō)法中：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則.其中的正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由零向量的定義，可知①④正確；由向量的模定義，可知②不正確；由向量共線可知③不正確.故選：B6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于M，若，，用表示為(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】．故選：D．7．（2022·天津南開(kāi)·高一期中）已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，即，所以，所以，即，故選：B8．（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）如圖所示，在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】.故選：B二、多選題9．（2022·福建·上杭縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）以下說(shuō)法正確的是（

）A．兩個(gè)相等向量的模相等B．平行向量方向相同C．若和都是單位向量，則D．平行向量一定是共線向量【答案】AD【詳解】根據(jù)相等向量的概念可知，兩個(gè)相等向量的模相等，故A正確；根據(jù)平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量與任何向量平行，此時(shí)不談方向，故B不正確；若和都是單位向量，則，不一定有，故C不正確；平行向量與共線向量是同一個(gè)概念，故D正確.故選：AD10．（2022·河北保定·高一階段練習(xí)）在△ABC中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，CM與BN交于P點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】設(shè)，，由，可得，．因?yàn)镃，P，M共線，所以，解得．因?yàn)镹，P，B共線，所以，解得．故，，即，．故選：AD．三、填空題11．（2022·上海市七寶中學(xué)高一階段練習(xí)）若向量與共線，且，則______．【答案】0或2【詳解】向量與共線，且，∴與相等或互為相反向量，當(dāng)與相等時(shí)，，當(dāng)與互為相反向量時(shí)，．故答案為：0或2．12．（2022·重慶·高一階段練習(xí)）設(shè)向量和不平行，若向量與反向共線，則實(shí)數(shù)=______.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄颗c反向共線，所以存在，使得，即，又向量和不平行，所以，所以.故答案為：.四、解答題13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)．(1)寫出與共線的向量；(2)寫出與的模相等的向量；(3)寫出與相等的向量；(4)寫出與相反的向量．【答案】(1)，，，，，，(2)，，，，(3)與(4)，，(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，所以EFBC，且EF＝BC.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，所以與共線的向量有，，，，，，.(2)由（1）可知與的模相等的向量有，，，，.(3)由（1）可知與相等的向量有與.(4)因?yàn)镋，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，所以，∥，所以與相反的向量有，，.14．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2)（1）原式=.（2）原式=.B能力提升15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在中，D，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，且，，．求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：因?yàn)樵谥?，D，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以．又與有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)