簡(jiǎn)單的三角恒等變換課前必備知識(shí)課標(biāo)要求1.能運(yùn)用兩角和與差的三角公式及二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換．2.能根據(jù)三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇公式變形，培養(yǎng)靈活選擇和運(yùn)用公式的能力．知識(shí)梳理1．三角函數(shù)求值(1)給角求值是將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值．(2)給值求值的關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．2．三角函數(shù)化簡(jiǎn)(1)角的變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關(guān)系，減少角的種類(lèi)，化異角為同角．(2)函數(shù)名稱(chēng)的變換：觀察、比較名稱(chēng)上的差異，采用切化弦或弦化切等手段，實(shí)現(xiàn)異名化同名．(3)常數(shù)的變換：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，eq\f(\r(3),2)＝sineq\f(π,3)等．(4)次數(shù)變換：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用．如sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)等．(5)結(jié)構(gòu)變換：通過(guò)重組、移項(xiàng)、變除為乘或求差等實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的變換．3．三角恒等式的證明證明三角恒等式的基本思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變形，然后化繁為簡(jiǎn)、左右歸一，或用變更命題的方法，使兩端化異為同．常用結(jié)論1．降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．半角公式：sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)；cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)；tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα)；taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).課前訓(xùn)練1．(教材母題必修5.5.1練習(xí)T4改編)已知tan(α＋eq\f(π,4))＝2，則tanα＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)解析：A由tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，解得tanα＝eq\f(1,3).故選A.2．(2025·吉林松原期末)若cos(eq\f(π,4)＋θ)＝eq\f(1,2)，則sin2θ＝()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)解析：C由題得eq\f(\r(2),2)cosθ－eq\f(\r(2),2)sinθ＝eq\f(1,2)，所以cosθ－sinθ＝eq\f(\r(2),2)，兩邊平方得1－sin2θ＝eq\f(1,2)，所以sin2θ＝eq\f(1,2).故選C.3．化簡(jiǎn)eq\r(\f(1－cos160°,2))＋eq\r(1－sin160°)的結(jié)果是()A．cos10° B．sin10°C．2sin10°＋cos10° D．2cos10°－sin10°解析：D原式＝eq\r(\f(1＋cos20°,2))＋eq\r(1－sin20°)＝eq\r(\f(1＋(2cos210°－1),2))＋eq\r(1－2sin10°cos10°)＝cos10°＋cos10°－sin10°＝2cos10°－sin10°.故選D.4．(2025河北石家莊期末)已知eq\f(1＋cosθ,sinθ)＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\f(θ,2)＝________．解析：eq\r(3)因?yàn)閑q\f(1＋cosθ,sinθ)＝eq\f(2cos2\f(θ,2),2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝eq\f(cos\f(θ,2),sin\f(θ,2))＝eq\f(1,tan\f(θ,2))，且eq\f(1＋cosθ,sinθ)＝eq\f(\r(3),3)，所以taneq\f(θ,2)＝eq\r(3).5．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，角θ的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，則cos(2θ＋eq\f(π,3))＝________．解析：－1由題知cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝eq\f(\r(3),2)，則cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(1,2)，sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以cos(2θ＋eq\f(π,3))＝cos2θ×eq\f(1,2)－sin2θ×eq\f(\r(3),2)＝－1.

課堂核心考點(diǎn)考點(diǎn)1三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明【例1】(1)化簡(jiǎn)：eq\f((1＋sinθ＋cosθ)(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)),\r(2＋2cosθ))(0＜θ＜π).(2)證明：eq\f(sinx,cos3xcos2x)＋eq\f(sinx,cos2xcosx)＝tan3x－tanx.解析：(1)由θ∈(0，π)，得0＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)，所以coseq\f(θ,2)＞0，所以eq\r(2＋2cosθ)＝eq\r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2).又(1＋sinθ＋cosθ)(sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2))＝(2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＋2cos2eq\f(θ,2))(sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2)(sin2eq\f(θ,2)－cos2eq\f(θ,2))＝－2coseq\f(θ,2)cosθ，故原式＝eq\f(－2cos\f(θ,2)cosθ,2cos\f(θ,2))＝－cosθ.(2)證明：因?yàn)閑q\f(sinx,cos3xcos2x)＝eq\f(sin(3x－2x),cos3xcos2x)＝eq\f(sin3xcos2x－cos3xsin2x,cos3xcos2x)＝tan3x－tan2x，又eq\f(sinx,cos2xcosx)＝eq\f(sin(2x－x),cos2xcosx)＝eq\f(sin2xcosx－cos2xsinx,cos2xcosx)＝tan2x－tanx，所以eq\f(sinx,cos3xcos2x)＋eq\f(sinx,cos2xcosx)＝tan3x－tanx.化簡(jiǎn)時(shí)要有整體意識(shí)，合理變形，為公式應(yīng)用創(chuàng)造條件，使結(jié)果中三角函數(shù)名稱(chēng)、角的個(gè)數(shù)、次數(shù)盡可能少，盡可能不含無(wú)理式．變式探究1．(2025·四川綿陽(yáng)模擬預(yù)測(cè))已知θ∈(eq\f(3π,4)，π)，tan2θ＝－4tan(θ＋eq\f(π,4))，化簡(jiǎn)：eq\f(1＋sin2θ,2cos2θ＋sin2θ).解析：因?yàn)閠an2θ＝－4tan(θ＋eq\f(π,4))，則eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(－4(tanθ＋tan\f(π,4)),1－tanθ·tan\f(π,4))＝eq\f(－4(tanθ＋1),1－tanθ)，顯然1－tanθ≠0，可得eq\f(tanθ,1＋tanθ)＝－2(tanθ＋1)，整理得2tan2θ＋5tanθ＋2＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－eq\f(1,2)，又因?yàn)棣取?eq\f(3π,4)，π)，則tanθ∈(－1，0)，可得tanθ＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(1＋sin2θ,2cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ,2cos2θ＋2sinθcosθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,2cosθ)＝eq\f(1,2)(tanθ＋1)＝eq\f(1,4).2．(教材母題必修復(fù)習(xí)參考題5T16)證明：eq\f(sinβ,sinα)＋2cos(α＋β)＝eq\f(sin(2α＋β),sinα).證明：左邊＝eq\f(sinβ＋2sinαcos(α＋β),sinα)＝eq\f(sin[(α＋β)－α]＋2sinαcos(α＋β),sinα)＝eq\f(sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＋2sinαcos(α＋β),sinα)＝eq\f(sin(α＋β)cosα＋sinαcos(α＋β),sinα)＝eq\f(sin(2α＋β),sinα)＝右邊．考點(diǎn)2三角函數(shù)的求值【例2】(1)(教材母題必修復(fù)習(xí)參考題5T14)已知cos(eq\f(π,4)＋θ)cos(eq\f(π,4)－θ)＝eq\f(1,4)，則sin4θ＋cos4θ＝________.(2)(2025·重慶模擬預(yù)測(cè))求值：eq\f(2sin18°(3cos29°－sin29°－1),cos6°＋\r(3)sin6°)＝________．解析：(1)eq\f(5,8)因?yàn)閏os(eq\f(π,4)＋θ)cos(eq\f(π,4)－θ)＝(eq\f(\r(2),2)cosθ－eq\f(\r(2),2)sinθ)(eq\f(\r(2),2)cosθ＋eq\f(\r(2),2)sinθ)＝eq\f(1,2)(cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1,2)cos2θ＝eq\f(1,4).所以cos2θ＝eq\f(1,2).故sin4θ＋cos4θ＝(eq\f(1－cos2θ,2))2＋(eq\f(1＋cos2θ,2))2＝eq\f(1,16)＋eq\f(9,16)＝eq\f(5,8).(2)1原式＝eq\f(2sin18°(3cos29°－sin29°－cos29°－sin29°),2sin(6°＋30°))＝eq\f(2sin18°(2cos29°－2sin29°),2sin36°)＝eq\f(2sin18°cos18°,sin36°)＝eq\f(sin36°,sin36°)＝1.(1)“角”是三角函數(shù)的“靈魂”，三角變換中首先要考慮角的變換與統(tǒng)一，通過(guò)角的變換進(jìn)行函數(shù)名稱(chēng)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)變換．(2)給角求值問(wèn)題一般思路是通過(guò)變換湊出特殊角并設(shè)法創(chuàng)造將非特殊角消去(抵消或約分)的機(jī)會(huì)．(3)給值求值問(wèn)題的求解，其關(guān)鍵是明確變換的目標(biāo)，根據(jù)目標(biāo)靈活選擇湊角和運(yùn)用公式．如果角的關(guān)系不明顯，換元可以避免湊角的變形技巧，可以較快找到所求角與已知角之間的聯(lián)系．變式探究3．(2025·江蘇揚(yáng)州模擬預(yù)測(cè))若－eq\f(π,4)<α<β<eq\f(π,4)，且cosαsinβ＝eq\f(1,2)，eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(2,3)，則cos(α－β)＝()A．eq\f(\r(11),6)B．－eq\f(\r(11),6)C．eq\f(\r(35),6)D．－eq\f(\r(35),6)解析：C因?yàn)閑q\f(tanα,tanβ)＝eq\f(2,3)，則eq\f(\f(sinα,cosα),\f(sinβ,cosβ))＝eq\f(2,3)，則sinαcosβ＝eq\f(2,3)cosαsinβ＝eq\f(1,3)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)，而－eq\f(π,4)<α<β<eq\f(π,4)，則－eq\f(π,2)<α－β<0，所以cos(α－β)＝eq\r(1－sin2(α－β))＝eq\f(\r(35),6).故選C.4．(教材母題必修復(fù)習(xí)參考題5T13)求值：cos40°(1＋eq\r(3)tan10°)＝________.解析：1cos40°(1＋eq\r(3)tan10°)＝cos40°×eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)＝cos40°×eq\f(2cos(60°－10°),cos10°)，＝cos40°×eq\f(2cos50°,cos10°)＝cos40°×eq\f(2sin40°,cos10°)＝eq\f(sin80°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.考點(diǎn)3三角恒等變換的綜合運(yùn)用【例3】(1)(教材母題必修習(xí)題5.5T8改編)(多選)設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(eq\f(π,2)，π)，若eq\f(1＋cosα＋sinα,1－cosα＋sinα)＝taneq\f(β,2)，則有()A．sinα＝sinβB．cosα＝－cosβC．sinα＝cosβD．sin2eq\f(α,2)＋sin2eq\f(β,2)＝1(2)(2025·海南海口模擬預(yù)測(cè))已知cos(α＋2β)＝eq\f(5,6)，tan(α＋β)tanβ＝－4，符合條件的一個(gè)角α的值為_(kāi)_______．解析：(1)ABDeq\f(1＋cosα＋sinα,1－cosα＋sinα)＝taneq\f(β,2)?eq\f(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2),2sin2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＝taneq\f(β,2)?eq\f(2cos\f(α,2)(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)),2sin\f(α,2)(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))＝eq\f(sin\f(β,2),cos\f(β,2)).因?yàn)棣痢?0，eq\f(π,2))，所以eq\f(α,2)∈(0，eq\f(π,4))，因此有eq\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))＝eq\f(sin\f(β,2),cos\f(β,2))，又因?yàn)棣隆?eq\f(π,2)，π)，所以eq\f(β,2)∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2)),所以coseq\f(α,2)coseq\f(β,2)－sineq\f(α,2)sineq\f(β,2)＝0，即coseq\f(α＋β,2)＝0，因?yàn)閑q\f(α,2)∈(0，eq\f(π,4))，eq\f(β,2)∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，所以eq\f(α＋β,2)∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，即eq\f(α＋β,2)＝eq\f(π,2)，因此α＋β＝π，所以有sinα＝sin(π－β)＝sinβ，cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，sin2eq\f(α,2)＋sin2eq\f(β,2)＝sin2eq\f(α,2)＋sin2eq\f(π－α,2)＝sin2eq\f(α,2)＋cos2eq\f(α,2)＝1.故選ABD.(2)eq\f(2π,3)(答案不唯一)因?yàn)閏os(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝cos(α＋β)cosβ－sin(α＋β)sinβ，故cos(α＋β)cosβ－sin(α＋β)sinβ＝eq\f(5,6)，因?yàn)閠an(α＋β)tanβ＝－4，即eq\f(sin(α＋β)sinβ,cos(α＋β)cosβ)＝－4，故sin(α＋β)sinβ＝－4cos(α＋β)cosβ，故5cos(α＋β)cosβ＝eq\f(5,6)，即cos(α＋β)cosβ＝eq\f(1,6)，則sin(α＋β)sinβ＝－4cos(α＋β)cosβ＝－eq\f(2,3)，則cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)·cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝eq\f(1,6)－eq\f(2,3)＝－eq\f(1,2)，可取α＝eq\f(2π,3).(1)證明角的恒等式(或已知值求角)這類(lèi)問(wèn)題的求解，其基本步驟為：①根據(jù)題設(shè)條件求角的某一三角函數(shù)值；②討論角的范圍；③根據(jù)角的范圍和函數(shù)值確定角的大小．(2)討論角的范圍時(shí)，必要時(shí)需要根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍．確定角的范圍要結(jié)合已知條件中的角的范圍，以及三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意一些隱含條件，盡量使角的范圍最小，避免出現(xiàn)增根．變式探究5．(2022