【贏(yíng)在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考=1\*ROMANI卷）黃金卷05（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)交集的定義求解.【詳解】由題，得，故，進(jìn)而，故選：A2．設(shè)，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出，令求出相應(yīng)的的取值范圍，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?令，即，解得或，所以推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．已知向量滿(mǎn)足：，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列，可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】則為常數(shù)，所以為常數(shù)，知數(shù)列為等差數(shù)列，由，知，又，所以公差，故.故選：A5．已知圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先求出圓心到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離，再結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出的關(guān)系，即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，因?yàn)?，所以圓心到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離，所以，即，所以，即該雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：D.6．已知，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合正切的和角公式計(jì)算即可.【詳解】由可得，所以，因?yàn)椋?，解之?故選：D7．某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)分類(lèi)討論求出方法數(shù)，再求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)的方法數(shù)，然后由概率公式計(jì)算．【詳解】“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”可分為甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)，方法數(shù)為，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”，即“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”，方法數(shù)為，因此所求概率為．故選：A．8．已知函數(shù)，若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合可求的取值范圍.【詳解】由，有，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增，，又時(shí)，，如圖可知之間存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使成立.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在正三棱臺(tái)中，，，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．正三棱臺(tái)的高為B．正三棱臺(tái)的體積為C．與平面所成角的正切值為1D．正三棱臺(tái)外接球的表面積為【答案】BCD【分析】將正棱臺(tái)補(bǔ)全為一個(gè)正棱錐，結(jié)合正棱臺(tái)、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求臺(tái)體的高、體積及側(cè)棱與底面夾角正切值，由確定棱臺(tái)外接球球心位置，建立等量關(guān)系求半徑，進(jìn)而求外接球表面積.【詳解】將正棱臺(tái)補(bǔ)全為一個(gè)正棱錐，如下圖示，其中分別為上下底面的中心，為的中點(diǎn)，易知，則為等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角，所以，而，則，根據(jù)棱臺(tái)上下底面相似，知，即，故，A錯(cuò)；由，，所以，B對(duì)；由圖知：為與平面所成角，則，C對(duì)；若為正三棱臺(tái)外接球的球心，則其半徑，即，令，則，可得，所以，故外接球表面積為，D對(duì).故選：BCD10．已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，的平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的面積為B．的離心率為C．點(diǎn)到軸的距離為D．【答案】ACD【分析】根據(jù)中位線(xiàn)及橢圓的定義，利用等邊三角可求出PF1，，再由余弦定理可得關(guān)系，即可判斷B，再由三角形面積公式判斷A，利用等面積法判斷C，由角平分線(xiàn)定理求出即可判斷D.【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn).

由題意知，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又，所以是等邊三角形，則化簡(jiǎn)得即在中，由余弦定理得，所以，即.因?yàn)?，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.的面積為，故A正確.設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，所以，則，故C正確.因?yàn)槭堑钠椒志€(xiàn)，所以，所以，則，故D正確.故選：ACD11．定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，，.若，記函數(shù)的最大值與最小值分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為的一個(gè)周期 B．C．若，則 D．在上單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】結(jié)合已知求得為的一個(gè)周期，從而A正確；將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo)，得，即可判斷B正確；利用中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求值判斷C正確；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò)誤.【詳解】由，將x替換成，得．因?yàn)?，由上面兩個(gè)式子，．將x替換成，，所以．所以，所以為的一個(gè)周期，A正確；將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo)，得，即成立，B正確；滿(mǎn)足，即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)一定存在關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，解得，C正確；已知條件中函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，無(wú)法判斷在上是否單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：ABC．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開(kāi)式中的系數(shù)為.【答案】【分析】分取1，取和取，取兩種情況討論即可.【詳解】當(dāng)取1，取，的系數(shù)為；當(dāng)取，取時(shí)，得的系數(shù)為：.所以的系數(shù)為：.故答案為：13．已知函數(shù)與函數(shù)在公共點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】0【分析】設(shè)函數(shù)與的公共點(diǎn)為，由題意得，可求出的值，由即可求出的值.【詳解】設(shè)函數(shù)與的公共點(diǎn)為，則有，則，解得或（舍去），所以，所以，解得.故答案為：0.14．如圖的“心形”曲線(xiàn)恰好是半圓，半圓，曲線(xiàn)組合而成的，則曲線(xiàn)所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.【答案】【分析】先求出兩個(gè)半圓面的面積，再求曲線(xiàn)與、軸圍成的區(qū)域的面積，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出與、軸圍成的區(qū)域的面積，即可得解.【詳解】設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，如圖，因?yàn)榍€(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以可將曲線(xiàn)與軸、軸圍成的區(qū)域割補(bǔ)為直角三角形的區(qū)域，于是曲線(xiàn)與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，即；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得曲線(xiàn)與、軸圍成的區(qū)域的面積為，又曲線(xiàn)所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個(gè)半圓的面積為，所以曲線(xiàn)所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交于M，N兩點(diǎn)，，求直線(xiàn)方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率可求得橢圓方程；（2）分別討論直線(xiàn)斜率是否存在，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程利用焦點(diǎn)弦公式可得，即得直線(xiàn)方程.【詳解】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，所以橢圓中，因?yàn)闄E圓的離心率為，即，…………2分所以，，所以橢圓方程為………6分（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易知此時(shí)，不合題意；…7分所以直線(xiàn)斜率存在，設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=kx-1聯(lián)立得，…9分設(shè)，則，…………………10分根據(jù)焦點(diǎn)弦公式可得，…………………11分解得，，所以直線(xiàn)方程為或…………13分16．（15分）在六面體中，平面，，且底面為菱形.(1)證明：平面.(2)若，，.求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）先證，，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的三角函數(shù).【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以.…2分又平面ABCD，平面ABCD，所以.…4分因?yàn)?，平面，所以平?………6分（2）由題意得，.…………………7分以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，.所以，.……………8分設(shè)平面的法向量為，則，令，得.……………10分易知平面的一個(gè)法向量為，………11分則，……………13分所以平面與平面所成二面角的正弦值為.…15分17．（15分）已知數(shù)列an滿(mǎn)足，.(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用遞推公式作差計(jì)算即可求得通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論及裂項(xiàng)相消法求和，再利用數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算范圍即可證明.【詳解】（1）已知，當(dāng)時(shí)，；……………2分當(dāng)時(shí)，，……………4分則，……………6分顯然時(shí)，，滿(mǎn)足上式，綜上，；………7分（2）由上知:，……………9分故，……………11分易知單調(diào)遞增，……………12分時(shí)，，……………13分又，即，證畢.……………15分18．（17分）如圖，在研究某種粒子的實(shí)驗(yàn)裝置中，粒子從腔室出發(fā)，到達(dá)腔室，粒子從室經(jīng)過(guò)號(hào)門(mén)進(jìn)入室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從室經(jīng)過(guò)號(hào)門(mén)進(jìn)入室后，粒子的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變的概率為.粒子間的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)有兩個(gè)粒子從室出發(fā).(1)求兩粒子進(jìn)入室都為上旋狀態(tài)的概率；(2)若實(shí)驗(yàn)裝置出現(xiàn)故障，兩個(gè)粒子進(jìn)入室后，共裂變?yōu)閭€(gè)粒子，裂變后的每個(gè)粒子再經(jīng)過(guò)號(hào)門(mén)返回室的概率為，各粒子返回室相互獨(dú)立.①時(shí)，寫(xiě)出返回室的粒子個(gè)數(shù)的分布列、期望、方差；②時(shí)，記有個(gè)粒子返回室的概率為，則為何值時(shí)，取最大值.【答案】(1)(2)①分布列見(jiàn)詳解，期望，方差；②【分析】（1）根據(jù)全概率公式以及條件概率計(jì)算公式求得正確答案；（2）①根據(jù)獨(dú)立事件概率計(jì)算求得的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望和方差；②根據(jù)二項(xiàng)式定理即可求得最大項(xiàng).【詳解】（1）設(shè)“兩個(gè)粒子通過(guò)號(hào)門(mén)后處于上旋狀態(tài)粒子個(gè)數(shù)為個(gè)”，，“兩個(gè)粒子通過(guò)號(hào)門(mén)后進(jìn)入室都為上旋狀態(tài)”，則，，……………2分……………3分則.……………4分（2）①返回室的粒子個(gè)數(shù)的可能性為，，，，……………5分服從二項(xiàng)分布：……………6分，，，，，……………8分所以期望，……………9分方差；……………10分②的可能取值為，此時(shí)，……………11分個(gè)粒子返回室的概率為，……………13分則……………14分故，所以，……………16分當(dāng)時(shí)，取最大值.……………17分19．設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)已知在區(qū)間上嚴(yán)格減，且對(duì)任意，有，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；(2)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）結(jié)合（1），利用極值的定義進(jìn)行求解即可；（3）利用題目條件，代入，分和兩種情況進(jìn)行討論即可證明.【詳解】（1）不妨設(shè)，在區(qū)間上嚴(yán)格減，對(duì)任意，有，……………1分又，……………3分函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；……………4分（2）由（1）可知：在區(qū)間上嚴(yán)格增時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增，當(dāng)在區(qū)間上嚴(yán)格減時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減，……………5分又當(dāng)時(shí)，