【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅱ卷）黃金卷07（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。12345678BBDCDCAD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ABDACDAD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．1113．14．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．(本小題滿分13分）【解】（1）設(shè)這100名學(xué)生中愛(ài)好音樂(lè)的學(xué)生有x人，則，………2分解得.………3分列聯(lián)表完成如下.愛(ài)好音樂(lè)不愛(ài)好音樂(lè)總計(jì)男163450女242650總計(jì)4060100………6分（2）由（1）可知，………10分因?yàn)?，……?2分故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛(ài)好音樂(lè)與性別有關(guān).………13分16．(本小題滿分15分）【解】（1）取中點(diǎn)，連接，則有，，………2分如圖：

在等腰梯形中，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以，………4分又平面，平面，所以直線平面．………5分（2）過(guò)點(diǎn)作于，在等腰梯形中，，所以梯形的高，所以等腰梯形面積為，所以四棱錐的體積，解得，在中，由射影定理得或，………7分當(dāng)時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)平行與的方向，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則有，………9分故，，設(shè)平面的法向量，故，令，得，………11分設(shè)直線與平面夾角的大小為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為；………13分當(dāng)時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)平行與的方向，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則有，故，，設(shè)平面的法向量，故，令，得，設(shè)直線與平面夾角的大小為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為，綜上所述，直線與平面夾角的正弦值為或．………15分17．(本小題滿分15分）【解】（1），.………1分當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減；………3分當(dāng)時(shí)，由，解得，即在上單調(diào)遞增，由，解得，即在上單調(diào)遞減.………6分（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，………8分，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，………10分由題意知，即.………11分設(shè)，則，所以為增函數(shù)，……13分又，所以，即的取值范圍是.………15分18．(本小題滿分17分）【解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，………3分解得，………5分故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.………6分（2）

由（1）知，由題意可知直線的斜率不為0，否則位于軸同側(cè)，，不符合題意；………7分設(shè)的方程為，代入，得，由，設(shè)，則，………9分所以，，………10分直線的方程為，令，得，故，同理可得，

………12分所以，………13分由，得，即，所以，………15分所以，解得或（舍去），所以直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).………17分19．(本小題滿分17分）【解】（1）易得，不超過(guò)9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，………1分不超過(guò)7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，………2分不超過(guò)21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，所以，.………4分（2）在不大于的正整數(shù)中，只有p的倍數(shù)不與互素，而p的倍數(shù)有個(gè)，因此.………6分由p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，得，，………7分在不超過(guò)的正整數(shù)中，p的倍數(shù)有個(gè)，q的倍數(shù)有個(gè)，于是，所以.………10分（3）根據(jù)（2）得，………11分所以，