2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)揚(yáng)波中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a(chǎn)+b＝5 C．a(chǎn)+ba=52．（4分）下列各組圖形一定相似的是（）A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)矩形 D．兩個(gè)等邊三角形3．（4分）將拋物線y＝x2+3向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+34．（4分）下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．0?a→B．如果a→+b→=2c→，aC．設(shè)e→為單位向量，那么|e→D．如果|a→|＝2|b→|，那么a→=2b5．（4分）四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，BF的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，下列式子中能判斷AD∥BC的式子是（）A．FDBC=EDEC B．AFDF=6．（4分）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，以下條件中不能推出△ABC為直角三角形的是（）A．∠A＝∠BCD B．CDAD=BDCD C．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）已知線段a＝2，b＝6，如果線段c是a、b的比例中項(xiàng)，那么c＝．8．（4分）已知P是線段AB上一點(diǎn)，AB＝1cm，且滿足PAPB=ABPA，則9．（4分）已知f（x）＝x2+2x，那么f（1）的值為．10．（4分）如果拋物線y＝ax2的開(kāi)口方向向下，那么a的取值范圍是．11．（4分）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2的對(duì)稱軸是．12．（4分）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．13．（4分）已知點(diǎn)A（1，y1）、B（3，y2）在二次函數(shù)y＝﹣x2+2的圖象上，那么y1y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．14．（4分）如圖，在△ABC中，已知線段EF經(jīng)過(guò)三角形的重心G，EF∥AB，四邊形ABFE的面積為15cm2，那么△ABC的面積為cm2．15．（4分）已知一條拋物線具有以下特征：（1）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（2）在y軸左側(cè)的部分，圖象上升，在y軸右側(cè)的部分，圖象下降．試寫(xiě)出一個(gè)符合要求的拋物線的表達(dá)式：．16．（4分）當(dāng)兩條曲線關(guān)于某直線l對(duì)稱時(shí)，我們把這兩條曲線叫做關(guān)于直線l的對(duì)稱曲線．如果拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2是關(guān)于直線x＝﹣1的對(duì)稱曲線，那么拋物線C2的表達(dá)式為．17．（4分）定義：把二次函數(shù)y＝a（x+m）2+n與y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常數(shù)）稱作互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．如果二次函數(shù)y＝x2+32bx﹣2與y＝﹣x2?14cx+c（b、c是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫(xiě)出點(diǎn)P（b，18．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，AD是BC邊上的中線（如圖）．將△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在線段AD上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，邊EF與邊BC交于點(diǎn)G，那么DG的長(zhǎng)是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：1?cos20．（10分）如圖，已知?ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)G．（1）求OGDG（2）如果設(shè)AB→=a→，BC→=b21．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AE2＝AD?AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求證：DE∥BC；（2）如果S△ADE：S四邊形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．22．（10分）垃圾分類(lèi)作為一個(gè)公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會(huì)各個(gè)層面共同發(fā)力，洛陽(yáng)市某超市計(jì)劃定制一款家用分類(lèi)垃圾桶，獨(dú)家經(jīng)銷(xiāo)．生產(chǎn)廠家給出如下定制方案：不收設(shè)計(jì)費(fèi)，定制不超過(guò)200套時(shí)，每套費(fèi)用60元；超過(guò)200套后，超出的部分8折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均費(fèi)用為56元1套．（1）該超市定制了這款垃圾桶多少套？（2）超市經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)此款垃圾桶售價(jià)定為80元/套時(shí)，平均每天可售出20套；售價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2套．當(dāng)售價(jià)下降多少元時(shí)，可使該超市平均每天銷(xiāo)售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大？23．（12分）已知：如圖，四邊形ABCD、ACED都是平行四邊形，M是邊CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM并延長(zhǎng)，分別交AC、DE于點(diǎn)F、G．（1）求證：BF2＝FM?BG；（2）聯(lián)結(jié)CG，如果AB=2CG，求證：∠BGC＝∠24．（12分）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy中，對(duì)稱軸為直線x=32的拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、點(diǎn)M（1，m），與y軸交于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)AB、AM、BM，求S△ABM的面積；（3）過(guò)M作x軸的垂線與AB交于點(diǎn)P，Q是直線MP上點(diǎn)，當(dāng)△BMQ與△AMP相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．25．（14分）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．實(shí)踐探究：（2）在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖2，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使CE＝BD，BE與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，若給出△ABC中任意兩邊長(zhǎng)，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長(zhǎng)均可求．該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長(zhǎng)．”

2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)揚(yáng)波中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案CDDDDD二、填空題：（本大題共12題）7．23．8．3?59．3．10．a(chǎn)＜0．11．直線x＝1．12．（0，﹣4）．13．＞．14．27．15．y＝﹣x2．16．y＝（x+3）2﹣1．17．（?118．310三、解答題：（本大題共7題）19．解：原式==1?=1=220．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，∵AE＝DE，∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEG∽△BCG，∴DGGB設(shè)DG＝k，GB＝2k，則BD＝3k，OB＝OD＝1.5k，∴OG＝0.5k，∴OGDG（2）∵BD→∵OG=16∴GO→=?16（21．（1）證明：∵AE2＝AD?AB，∴AEAD又∵∠EAD＝∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACB，∴∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S∵S∴S∴(AD∴ADAB∴ADDB∴S22．解：（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶x套，∵56＜60，∴x＞200．根據(jù)題意，得60×200+60（x﹣200）×80%＝56x，解得x＝300．答：該超市定制這款垃圾桶300套．（2）設(shè)售價(jià)下降m元，平均每天銷(xiāo)售此款垃圾桶的利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意，得y＝（80﹣56﹣m）（20+2m），整理，得y＝﹣2m2+28m+480＝﹣2（m﹣7）2+578．∵a＝﹣2＜0，且0＜m＜24，∴當(dāng)m＝7時(shí)，y有最大值．答：售價(jià)下降7元時(shí)，平均每天銷(xiāo)售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大．23．證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵M(jìn)是邊CD的中點(diǎn)，∴AB＝2CM，CM＝DM，∵AB∥CM，∴△ABF∽△CMF，∴BFFM∵四邊形ACED為平行四邊形，∴AC∥DE，∴△CMF∽△DMG，∴FMMG∴BF＝2FM＝2MG，∵BF2＝4FM2，F(xiàn)M?BG＝FM?4FM＝4FM2，∴BF2＝FM?BG；（2）∵AB=2CG，AB＝CD∴CD=2CG，CM=2∴CGCD=2∴CGCD∵∠MCG＝∠GCD，∴△CMG∽△CGD，∴∠MGC＝∠GDC，∵AC∥CD，∴∠EDC＝∠ACD，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BGC．24．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2的對(duì)稱軸為直線x=3∴?b2a∵拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），∴16a+4b+2＝0②，由①②可得a=?12，b∴y=?12x2+在y=?12x2+32x+2中，令x=32得：y=?12∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（32，25（2）過(guò)M作MP∥y軸交AB于P，如圖：在y=?12x2+32x+2中，令∴B（0，2），∵A（4，0），∴直線AB解析式為y=?12在y=?12x2+32x+2中，令∴M（1，3），在y=?12x+2中，令x＝1得y∴P（1，32∴PM＝3?3∴S△ABM=12PM×|xA﹣xB|（3）過(guò)B作BH⊥MP于H，如圖：由（2）知，B（0，2），M（1，3），∴BH＝MH＝1，BM2＝2，∴△BMH是等腰直角三角形，∴∠BMQ＝45°，∵A（4，0），∴AB2＝20，AM2＝18，∴AM2+BM2＝AB2，∴∠AMB＝90°，∴∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ，要使△BMQ與△AMP相似，只需MQMP=BM設(shè)Q（1，t），則MQ＝3﹣t，當(dāng)MQMP=BM解得t=5∴Q（1，52當(dāng)MQAM=BM解得t＝﹣1，∴Q（1，﹣1），綜上所述，Q的坐標(biāo)為（1，5225．（1）證明：如圖1中，∵∠ADC＝∠ACB，∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，∴∠ACD＝∠B；（2）解：結(jié)論：BH＝EF．理由：如圖2中，在CB上取一點(diǎn)T，使得GH＝CT．在△BGH和△DCT中，GB=CD∠BGH=∠DCT∴△BGH≌△DCT（SAS），∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，∵∠CDT+∠FDT＝180°，∴∠GBH+∠FDT＝180°，∴∠B