豫東南名校聯(lián)盟2023年1月高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試

一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z(l-i)=|l-iL則2=()

A.1B.-+-iC.—+—iD.l+i

2222

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算以及復(fù)數(shù)的除法，即可求得答案.

【詳解】由題意知復(fù)數(shù)z滿足z(l-i)=|l-i|,

即=&,…正==與烏，

1-i222

故選：C

2.已知集合人=卜，=3={x|y=lgx},則Al8=()

A.(O.+a>)B.[0,+e)C.[1,+<?)D.0

【答案】A

【分析】由函數(shù)值域和定義域的求法可求得集合48,由交集定義可得結(jié)果.

【詳解】x-l>0,/.y=VA-10,即4=[0,+00)；

由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知：8=(0,y)；/.A8=(0,y).

故選：A.

3.已知等差數(shù)列{q},前，】項(xiàng)和為S”，S3n=貝”().

A.200B.300C.500D.1000

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列求和公式及S-100可得.2%+49d=20,則由整體法可求小.

【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為可，公差為d,

則5,0-S*)=306/,+15x296/-(20?1+10x19J)=100,

50x49

化簡(jiǎn)得2%+491=20,S%=50?,+d=25(24+49d)=500.

故選：C.

4.2021年，我國(guó)全年貨物進(jìn)出口總額391009億元，比上年增長(zhǎng)21.4%.其中，出口217348

億元，增長(zhǎng)21.2%：進(jìn)M173661億元，增長(zhǎng)21.5%.貨物進(jìn)出廠順差43687億元，比上年增

加7344億元.如圖是我國(guó)2017-2021年貨物進(jìn)出口總額統(tǒng)計(jì)圖，則下面結(jié)論中不正確的是

()

A.2020年的貨物進(jìn)出口總額322215億元B.2020年的貨物進(jìn)出口順差36343億元

C.2017—2021年，貨物進(jìn)口總額逐年上升D.2017—2021年，貨物出口總額逐年上升

【答案】C

【分析】根據(jù)2017—2021年貨物進(jìn)出口總額統(tǒng)計(jì)圖，依次分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A,2020年的貨物進(jìn)出I」總額為14物36+179279=322215億元,故A正確:

對(duì)于B,2020年的貨物進(jìn)出I」順差為179279742936=36343億元，故B正確：

對(duì)于C,2020年的貨物進(jìn)口總額為142936億元，相對(duì)于2019的貨物進(jìn)口總額143254億元

下降了，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,2017-2021年，貨物出口總額逐年上升，故D正確.

故選：C

5.設(shè)a為銳角，且sin(e+a卜而(1+。)=[，則()

A.ae闖B.a倡)C.aeg.f]D.atg

【答案】C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，再由函數(shù)的性質(zhì)可得解.

71?.[2兀?..7t、7t、1

-+?sin—+a=sin(-+a)cosz(-+?)=-,

(o/\3)665

.?.sin(m+2a)=：<:，且a為銳角

352

n_5n兀日兀,n

—F2a>—.ct>一911.—F2a<?t,a<一,

36433

故選：c

6.如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，若"葉〃=6,則該幾何體體積的最大值為()

俯視圖

93

A.-B.-C.6D.3

22

【答案】D

【分析】首先由三視圖，確定幾何體，再利用基本不等式求體積的最大值.

【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是如圖所示的三棱錐A-BCD四個(gè)頂點(diǎn)為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn),

則幾何體的體積v='X,"〃?X2=L"〃?《(竺士］=3,當(dāng)n.僅當(dāng)〃?=〃=3時(shí)，等號(hào)成立,

323312J

7.已知在平行四邊形ABC。中，AB=m,AD=2,Z4DC=120°,BE=^BCtABAE=\S^

則/〃=()

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】利用向量加減法運(yùn)算，對(duì)石進(jìn)行分解，再利用數(shù)W枳公式即可求解.

【詳解】因?yàn)锳8CD為平行四邊形，所以A8=Z)C，BC=AD，又BE=：BC

=DC^DC-^DA\=\DC^DCDA,乂因?yàn)锳B=，〃，AD=2,Z4DC=120°,則

\DC\--DC-DA=m:--x2x/??xcosl20=m2+—/??=18,因?yàn)?〃>0,解得〃7=4.

11222

故選：B

8.下列結(jié)論不正確的是（）

A.若事件A與6互斥，則P（AuB）=P（A）P（6）

B.若事件A與4相互獨(dú)立，則外人c8）=P（4）P（3）

c.如果x、y分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么。[x+y]=o[x]+o[y]

D.若隨機(jī)變量y的方差。出]=3,則Q[2Y+1]=12

【答案】A

【分析】由已知，選項(xiàng)A,根據(jù)事件A與6互斥，可知夕（人B）=P（A）+P⑻;選項(xiàng)B,

根據(jù)事件A與8相互獨(dú)立，n]?知尸（Ac3）=P（A）P（8）：選項(xiàng)C,根據(jù)XJ分別是兩個(gè)獨(dú)

立的隨機(jī)變量，可得Q[x+H="x]+o[y]：選項(xiàng)D,由。3=3,可得

D[2F+l]=22xD[y]=12,即可作出判斷.

【詳解】由已知，

選項(xiàng)A,若事件A弓A互斥，則P（4A）=P（A）+P（"）,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤?

選項(xiàng)B，若事件A與8相互獨(dú)立，則尸（AC8）=P（A）P（B）,故該選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)c,若X、Y分別是兩個(gè)獨(dú)立?的隨機(jī)變量，那么以x+y]=o[x]+o[y],故該選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)D,若隨機(jī)變量y的方差D[y]=3,則。[2y+l]=22xD[y]=4x3=12,故該選項(xiàng)正確：

故選：A.

9.已知函數(shù)，Q）=cosx+ar2-l.awR,若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)「恒有〃幻之0,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.（i,+o5）B.（；,+8）C.[一;,+8）D.（*）

【答案】A

【分析】由己知可將題目轉(zhuǎn)化為cosx+G—i",即加21-COSXNO,顯然“20,運(yùn)用參

.X

sin—

數(shù)分離和二倍角公式可得2a22,求出右邊函數(shù)的范圍，即可得解.

x

<2)

【詳解】對(duì)于任意的實(shí)數(shù)*恒有/*)20,R|Jcosx+ar2-1>0，

即aF21-cosx20,顯然。之0,

當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立：由偶函數(shù)的性質(zhì),只要考慮x>0的情況即可,

.x

2sin2sin

當(dāng)x>0時(shí)，.l-cosx_2,BP2a>2

a—;=;x

<2>

sin/￥

由A>0,則j=/>0,則題目轉(zhuǎn)化為2a之

令g(￡)=sin1,f>0,求導(dǎo)g")=cosf-l?0,

故函數(shù)&Q)在(0,+R)上單調(diào)遞減，.?.8(/)<g(O)-O,B|Jsinr</,

sinV

A—<1,即2<1,所以2a21,解得“之不

tX

<2，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是耳,+8)

故選：A

10.設(shè)@)"=1匿2。，2"=噢?(")=5,則“、b、c的大小關(guān)系是()

A.h<a<cB.c<b<a

C.a<h<cD.h<c<a

【答案】B

【分析】利用零點(diǎn)存在定理計(jì)算出“、〃的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出c<0,

即可得出。、/八。的大小關(guān)系.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=log/-因?yàn)楹瘮?shù)丁=1鳴工、？=在(0,+8)上均為增

函數(shù),

IQ

所以，函數(shù)/(x)為(o,y)上的增函數(shù)，k/(i)=-1<0,/(2)=^>O,

因?yàn)椤?")=o，由零點(diǎn)存在定理可知1<“<2；

構(gòu)造函數(shù)g(x)=2'-k)g；x,因?yàn)楹瘮?shù))，=21y=7°g廣在(0,y)上均為增函數(shù),

（#2匕<0,

所以，函數(shù)g(x)為(0,y)上的增函數(shù)，Mg冊(cè)人皿

因?yàn)間?=°，由零點(diǎn)存在定理可知

因?yàn)椋?；?5,則c=log：5<logj=0,因此，c<A<a.

故選：B.

II.已知圓M:X2+)，2—6X=0,過點(diǎn)(1.2)的直線4,被該圓M截得的弦

長(zhǎng)依次為外，%，…，4,若4，%，…，””是公差為;的等差數(shù)列，則〃的最大值是()

A.10B.IIC.12D.13

【答案】D

【分析】求出弦長(zhǎng)的最小和最大值，根據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可求出”的最大值

【詳解】解：由題意

在圓M:/+y2—6.D中

A/:(x-3)2+y2=9

圓心M(3,0),半徑為3,

過點(diǎn)人(1,2)的直線心4,…被該圓M截得的弦長(zhǎng)依次為q,%,

過圓心作弦的垂線,交圓于DE兩點(diǎn)，如下圖所示:

由幾何知識(shí)得，當(dāng)M4/8C忖，

8。為最短弦長(zhǎng)：OE為最長(zhǎng)花長(zhǎng)，為6.

y

此時(shí)，

宜線OE的解析式為：y=-A+3

直線3C的解析式為：y=x+1

...13-0+11ch

圓心到弦8。所在直線的距離：AM卜而用1=2,2

連接

必

由勾股定理得，

|M=j32—(2j2)'=l

.?.|陷=2|人同=2,

工最短弦長(zhǎng)4=2,

???丹，如，…，%是公差為g的等差數(shù)列

??.設(shè)4=2+；(〃-1)=(〃+：

?.?最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為6

解得：〃二13

故選：D.

?)

12.已知點(diǎn)A是橢圓、+)；=1的上頂點(diǎn)，0K分別是橢圓左右焦點(diǎn)，直線)，=依+"。>0)

符三角形4片工分割為面積相等兩部分，則的取值范圍是()

A.(0,1)B.1一41)

。［。1-丁丘"口D.［「鏟11以1

【答案】B

【分析】由題意，A(0,l).￡(-1,0),5(1,0),先求出直線y=or+b(a>0)與x軸的交點(diǎn)

為例卜1,0),由一，<0,可得點(diǎn)M在射線0￡上.再求出直淺y=at+b(〃>0)和八行的

□N的坐標(biāo)，分一種情況討論：①若點(diǎn)M和點(diǎn)百重合，求得b=g；②若點(diǎn)M在點(diǎn)。和

點(diǎn)6之間，求得!<方<:：③若點(diǎn)M在點(diǎn)6的左側(cè)，求得1-也<〃<」.求并集即可得〃

的取值范圍.

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)A是橢圓］+)，2=1的上頂點(diǎn)，月，巴分別是橢圓左右焦點(diǎn)，

所以。2=2，b2=1f從而有C*=02-6=1,

所以4(0,1),6(-L0),6(1,0),

由題意，三角形A￡工的面積為鳥.04=1,

設(shè)直線)，=at+。(?>0)與x軸的交點(diǎn)為M［-，,。)，由直線y=ax+b(6/>0)將三角形A耳鳥

分割為面積相等的兩部分，可得〃>0,所以-2<。，故點(diǎn)M在射線。匕上.

a

設(shè)直線)=冰+匕和A鳥的交點(diǎn)為N,則由,；：；：；“可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，喏).

①若點(diǎn)M和點(diǎn)耳重合，如圖:

把6、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線產(chǎn)”+b,求得a=〃=g.

②若點(diǎn)M在點(diǎn)。和點(diǎn)￡之間，如圖:

由題意可得三角形NMF?的面積等于g,即:?“八?%=；,

乙乙

即;x（l+21q=；,可得”=4>0,求得

2\a）。+121-2/?2

口七1,1

故石—<.

，乙

③若點(diǎn)M在點(diǎn)尺的左側(cè)，

設(shè)直線尸奴+》和的的交點(diǎn)為p,則由［="：'求得點(diǎn)/）的坐標(biāo)為（r,n

此時(shí)，由題意可得，三角形4PN的面積等于?即g(l--與|=g，

即?一與FF1化簡(jiǎn)可得2(1-力『=2-||.

2a+\a-i2y11

由于此時(shí)；＞＞＞心0,所以2(1-〃)2=爐-1卜］一4.

兩邊開方可得應(yīng)(i-〃)=所以化簡(jiǎn)可得力＞1一等，

故有1一也

23

綜上，力的取值范圍應(yīng)是

故選：B.

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.與函數(shù)/(力=6標(biāo)-1在點(diǎn)(0,0)處具有相同切線的一-個(gè)函數(shù)的解析式是.

【答案】g(x)=3e'—3(答案不唯一)

【分析】先求出"x)=e"-l在點(diǎn)(0,0)處的切線為尸3x,再構(gòu)造g(x)=3e'-3,經(jīng)檢驗(yàn)滿

足要求.

t詳解】/'(力=女叫故r(0)=3e0=3,

則函數(shù)/(工)=/-1在點(diǎn)(0⑼處的切線為y=3”，

不妨令g(x)=3e；3,g(O)=3e0-3=O,故(0,0)在g(x)=3e-3上，

g，(x)=3e"故/(0)=%。=3,則函數(shù)g(x)=3eX-3在點(diǎn)(0,0)處的切線為y=3x,滿足要

求.

故答案為：g(x)=3c'-3

14.杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人很名參加了A8,C三個(gè)項(xiàng)目

的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目需I名或2名志愿者，若甲不能參加A項(xiàng)目，乙不能參加8、C項(xiàng)

目，那么共有種不同的志愿者選拔方案.

【答案】10

［分析］由題意可得乙一定參加A項(xiàng)目，再分A項(xiàng)目只有一個(gè)人和A項(xiàng)目有2人兩種情況討

論，再根據(jù)分組分配問題即可得出答案按.

【詳解】解：由題意可得乙一定參加A項(xiàng)目，

若A項(xiàng)目只有一個(gè)人時(shí)，即為乙，

則先將甲、丙、丁分為兩組，有C；種，

再將兩組分配到3,C兩個(gè)項(xiàng)目，有A；和I

則有C;A；=6種不同的志愿者選拔方案，

若A項(xiàng)目有2人時(shí)，又甲不能參加A項(xiàng)目，

則只能從丙、丁中選1人和乙組隊(duì)到A項(xiàng)目,有C；種,

再將剩下的2人分配到RC兩個(gè)項(xiàng)目，有A；種，

則有=4種不同的志愿者選拔方案，

綜上，共有6+4=10種不同的志愿者選拔方案.

故答案為：10.

15.在?.工8C中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為“，b,c,8c邊的中點(diǎn)為。，線段4。的

中點(diǎn)為E,且八￡.8。=/,則上"=____________.

tanC

【答案】-|

【分析】由向量的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)量積公式，可得^-/=4萬,再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系

及正余弦定理角化邊，由巴吧=，+"：-：計(jì)算即可.

tanCa^+c-b-

【詳解】8。邊的中點(diǎn)為。，線段的中點(diǎn)為E,.,.4E=；AO=；（AB+AC）,又

BC=AC-AB^

4E-/?C=^（4/?+4C）（4C-4?）=^4C2-/A?2）=^（/>2-C2）=?2,即從_/=4/,

由同角三角函數(shù)的關(guān)系及正余弦定理，有：

sinBa2+b2-c2

〔an3cos8_sin3cosC）?（由/+Z/—c?_a?+4/_5

tanCsinCsinCcos8ca'+c2-b~a2+c2-b2a2-4a23'

cosC2ac

故答案為：-g

16.四樓臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，四條側(cè)枝的長(zhǎng)均為

母,則該四棱臺(tái)的體積為.

【答案】12也##瞿#

66

【分析】如圖，過用作BflBD,垂足為E,求出忸￡|、忸閨，利用相似三角形的性質(zhì)求

出\PO\,結(jié)合錐體的體枳公式分別求出四棱錐P-ABCR和P—ABCO的體枳即可.

【詳解】如圖，該四棱臺(tái)為ABC?！?/p>

四棱錐P—ABC。的高PO交8。于。，交居。于。1,

由題意知，|町=3及,忸Qj=2及，過與作BflBD,垂足為E,

則陽=四*&!=與乂網(wǎng)=應(yīng)，所以忸閩=小阿卜國(guó)考,

W聞」pal

在四棱銖P-4BCQ中,\AB\~\PB\*\PB\"\PO\

爵I

忐焉=■!，而|。。卜忸閩二手，

所

以

詢

解得儼q|=而,

所以四棱錐AUG。的體積為皿4^?Pah竽，

四棱錐尸-ABCD的體積為Vi=1Si?(|叫I+|qo|)=半，

所以四樓臺(tái)"CO-A禺C〃的體枳為匕*—Lf=竽一孚=竽.

故答案為：1±&.

6

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步躲.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列4=(gj,d+2=31ogq”(〃€N)數(shù)列｛q,｝滿足c“

⑴求數(shù)列｛，｝的通項(xiàng)公式：

（2）求數(shù)列上｝的前〃項(xiàng)和5“.

【答案】（1也=3〃-2

⑵--容

【分析】（I）苜先求108；4=”,再代入即可求數(shù)列他｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可知％=氏/”=（3〃-再利用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】（1）

.?.log4=〃

2

又用+2=31og當(dāng)=3H

.,也=3"-2.

（2）由（1）知"=3"-2,q=（￡），

A”=呢）+4x（；）+7x（；）++（3/I-5）X（；）+（3〃-2）X（￡]②,

18.某校為減輕暑假家長(zhǎng)的負(fù)擔(dān)，開展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味比賽.比賽規(guī)

則如下：在A,B兩個(gè)不同的地點(diǎn)投籃.先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分：

再在B處投籃兩次，如果連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0

分.小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是在4處投籃投中的概率為〃，在3處投籃投中的概

3

率為1.假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）若小明同學(xué)完成一次比賽，恰好投中2次的概率為求p；

（2）若〃記小明同學(xué)一次比賽結(jié)束時(shí)的得分為X,求X的分布列及數(shù)列期望.

4

【答案】（1）〃=^

4

（2）分布列見解析；七（X）=3.06

【分析】（1）將小明同學(xué)恰好投中2次分成三種情況，分別求得概率相加與已知概率相等構(gòu)

造等式.解方程即可求出〃的值：

（2）首先由題意可得得分X的可能取值分別為5,3,2.1，0,分別計(jì)算每種情況的概

率即可求得X的分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解X的數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】（1）設(shè)小明在A處投籃為事件A,在8處投籃分別為凡生

己知小明同學(xué)恰好投中2次，分三種情況

A中刀中刀不中:

A中用不中中；

A不中。中打中;

3223,、3394

?'.其概率為：p.-.—+p._.-+(1-=—,解得：P=~-

DJJ，JNA/

（2）由題意可得得分X的可能取值分別為5,3,2,1，0

P(X=5)=-x-x-=—；

'7455100

，八?,、I33332323459

FIX=3)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=——=—

',45545545510020

…4322123

'745510()25

D/vn132123123

'745545510025

綜上所述可得X的分布列為

X53210

279331

rD

10020252525

306

E(X)=5x2L+3X曳+2X旦+1X衛(wèi)+OX2==3.06

100100100100100Too

19.已知直四棱柱A8CO—AB?。中，底面48co為菱形，E為線段8Q上一點(diǎn).

(1)證明：AE，平面6CQ：

(2)若44=3,48=2,/8八。=60,則當(dāng)點(diǎn)￡在何處時(shí)，CE與平面BCQ所成角的正弦值為

的

7,

【答案】(1)證明見解析；

(2)詳見解析；

【分析】(1)先證明平面44。，平面8G。，進(jìn)而證明4E#平面8G。：

(2)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量表示CE與平面5G。所成角的正弦值為1,

]3

進(jìn)而求得點(diǎn)E位置為貼=:%q或RE=：R4

44

【詳解】(1)直四楨柱ABC。-ABC"中

四邊形AB|G。為平行四邊形，則AB"G。

又AB^a平面BCQ,GOu"面8G。，則A4〃平面3G。

四邊形A4G。為平行四邊形，則AQJ/AG

又入。（Z平面8C|。，8GU平面BC\D,則AQ〃平面BCP

又入。u平面ABQ,A81U平面人BQ,4〃c4g=A

則平面A瓦平面8CQ,又AEu平面A瓦2

則AE/平面8CQ

（2）取A3中點(diǎn)M,連接。朋

又直四棱柱八8。。-4/?。1中，底而48。為菱形，ZBAD=60

則。M、DC、?？趦蓛纱怪?，

以。為原點(diǎn)，分別以。“、DC、?？谒谥本€為工、），、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則4G,T,0),僅N/5,1,0),C(020),D(0,0,0).Q(0,0,3)，4(>/5」,3)，G(0,2,3)

則。8=(石,1,0),DC；=(0,2,3),=(75,1,0)

設(shè)E(x,y,z),令。2=%0圈(0W/IW1),則*,y,z—3)=/1(6,1,0)

則x=&,y=Zz=3,則E(總?cè)?3),CE=(V3A,2-2,3),

設(shè)平面BQ。一個(gè)法向量為7=,

八八…>/3，〃+"=°

則。3〃=0，0G?〃=(),則..八

2〃+3/=0

令m=S貝r=2,則〃=（G,T2）

設(shè)CE與平面8C"）所成角為6

則sin"cos（CE,加=34-3（*2）+6—=6

77322+（/l-2）2+32-V3+9+47

解之得4=；|或/1=3=，

44

則當(dāng)RE=；R4或RE=土O心時(shí),CE與平面所成角的正弦值為與

20.已知雙曲線C：^-4=1<?>0,b>0）的離心率為偵，點(diǎn)P（2,3）到其左右焦點(diǎn)

a'h-3

F1,工的距離的差為2.

⑴求雙曲線C的方程：

（2）在直線x+2y+f=0上存在一點(diǎn)Q,過Q作兩條相互垂直的直線均與雙曲線C相切，求/的

取值范圍.

【答案】（1）專一/=]

（2）[-Vio,Vio]

【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率以及點(diǎn)0到左、右焦點(diǎn)的距離之差為2,可求得小b,c,

進(jìn)而求得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）根據(jù)過點(diǎn)。作兩條相互垂直的直線與雙曲線C相切，討

論斜率不存在和斜率存在兩種情況，①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率

為0,則不滿足條件：②若切踐的斜率存在，則設(shè)其斜率為A,Q（.%,）b），從而得到切線方

程，再根據(jù)切線與雙曲線C相切，聯(lián)立方程組，T-v=1,得△=（）,進(jìn)而可得關(guān)于女

y=k（x-x｛））+yc

的一元二次方程，再根據(jù)兩切線互相垂直有人？七-1，即可得到芯+y：=2,再結(jié)合

推出”=靠學(xué)曰

。（%為）在直線尤+2），+/=0上,求薪即可得到，的取值范圍.

【詳解】（I）依題意有雙曲線的左、右焦點(diǎn)為c,0）,5（c,0）,

c=2

則.I_3_________,得,

a=E

J（24-C）24-32-7（2-C）2+32=2

則〃2=c2-a2=4-3=1?

所以雙曲線。的方程為《?-）；=1：

（2）①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0,則不滿足條件；

②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為3。（即先），則切線方程為尸攵（》-?。?%，

..-V*=1

聯(lián)立3.，消y并整理得

尸

+6k(kx0-y0)x-3k*；+6Hovo_3y：-3=0,

則△=[6/(kx0-y0)丁一4x(1-3&2)x(-3*飛+6左％九一3y；-3)=0,

化簡(jiǎn)得12(5-%)2-(36公-12)=0,叫鵬-J4-。公-1)=0,

化成關(guān)于k的一元二次方程(4-3*2-2玉仿％+貨+1=0,

設(shè)該方程的兩根為年,即為兩切線的斜率,所以K?&=即片+y；=2,

又點(diǎn)Q（%，%）在直線x+2y+f=0上，所以直線x+2y+/=0與圓/+/=2有交點(diǎn)，

所以Bp|/|<Vio,即一Sowjio,

Vl2+221

故r的取值范圍為［-而，布］.

【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置問題，常見思路是先討論直線的斜率是否存在，再聯(lián)立直線

與圓錐曲線，必要時(shí)根據(jù)△的情況得出相應(yīng)的關(guān)系式，再根據(jù)題目中的其他條件，可求得參

數(shù)的值或者參數(shù)之間的關(guān)系式，最后求解即可.

21.已知函數(shù)/（x）=2hu+（4+3）x,〃wR.

⑴討論/（"的單調(diào)性；

（2）對(duì)任意的x>0,f（x）<f/-1恒成立，求”的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析.

⑵(YO,-2]

【分析】3)由題知r(x)=?￡F^，進(jìn)而分4+320和。+3<0兩種情況討論求解即可；

(2)由題知x>0,a+3?xe'-L-也恒成立，進(jìn)而令

XX

g(X)=￡2仁I=*''-2ml,x>0,再根據(jù)e'之X+1,當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立

XX

得g(x)=1,進(jìn)而得。+3G即可得答案.

【詳解】(I)解：函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)?0,+")，/⑺二+o+3=2+(a+3)’,

XX

當(dāng)4+3“時(shí)，即〃之一3時(shí)，0卜)>0在(0,y)上恒成立,〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

2

當(dāng)a+3<0時(shí)，即av-3時(shí)，令/'("=0得4=---2―,

4+3

所以，當(dāng)xe(°，-磊)時(shí)，/V)>0'/(%)單調(diào)遞增：

當(dāng)xe卜磊，+8)時(shí)，r(x)<。，/(x)單調(diào)遞減：

綜上，當(dāng)〃之-3時(shí)，/(外在(0,+8)上單調(diào)遞增：當(dāng)。<-3時(shí)J(x)在(0,一總)上單調(diào)遞增,

在(-京，+8)上單調(diào)遞減.

(2)解：因?yàn)閷?duì)任意的x>0J(x)WxW-l恒成立，即x>0,2hu+g+3)x4fe；i恒成立,

所以x>0,a+3WxeX—,—必恒成立,

2l

A/、xe-2lnx-l八

令g(x)=-------------，尤>0,

以:2m-=即%-2仙-=*f-2^-1,>0,

因?yàn)間(x)

X

設(shè)/z(x)=ev-x-l,則“(x)=e*-1,

所以，當(dāng)x?YO,0)時(shí),力'(水0,〃(%)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(O,”)時(shí)，g)>0,M6單調(diào)

遞增，

所以，〃(x)N〃(O)=O,即e'0+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

所以，e,^>ln.r2+A+l=21nx+.r+b當(dāng)且僅當(dāng)2lnx+x=0時(shí)等號(hào)成立,

令f(x)=2lnx+x,則?”=2+1>0恒成立，

所以，f(x)=2lnx+x在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)獒堋鯨)=21nl+，=-2+l〈0"(l)=]>0,

\eyeee

所以，方程21nx+x=0有解，e"+x之21nx+x+l等號(hào)能夠取卦

r--/、eln,,v-21nx-l21nx+.v+l-2lnx-l,

所r以hJ，g(x)-------------->-------------------=1，

XX

所以，要使x>0,4+3?x