數形結合思想在小學三年級數學教學中的應用研究目錄TOC\o"1-3"\h\u11274摘要 摘要隨著《義務教育數學課程標準》（2011年版）的頒布，數學思想方法的運用在小學中備受關注。數學是一門復雜的學科，它將數量關系和空間形式統(tǒng)一研究，因此數形結合思想在數學的學習應用中處于非常重要的地位。本研究在對相關參考文獻和課標的研讀基礎上，從教師教學和學生具體運用角度出發(fā)，以聊城市D小學6名小學三年級數學教師為主要調查對象，采取訪談的形式，對教師有關數形結合思想的理解以及在教學中的應用狀況進行調查。同時通過對課堂實際的觀察，并結合青島版三年級教材的教學案例進行分析，了解在小學數學教學中數形結合思想應用的問題并且分析其產生原因，并提供有效的建議。經研究發(fā)現，數形結合思想在小學數學教學應用中存在以下問題：教師在課堂中缺乏滲透數形結合方法的教學、教師在教學設計中教學目標定位不準、教師滲透數形結合思想在教學內容選擇上不合理、學生不能熟練運用數形結合方法。其產生的主要原因是：教師對數形結合知識的認識不充分、教師在課堂教學過程中沒有遵循學生接受數形結合思想的認識規(guī)律、教師對教材中隱含的數形結合知識的發(fā)掘尚不足、教師在學生解題過程中缺乏滲透數形結合思想的具體要求。研究從理論出發(fā)，結合學生實際情況，針對教師教學中存在的一系列問題，對教師提出在小學里滲透數形結合思想方法的有效的策略：教師要進行學科知識學習，增強對數形結合知識的認識；把握學生認知發(fā)展規(guī)律，準確定位教學目標；研究教材，挖掘知識點背后的數形結合思想；改進教學方式，組織實踐活動。關鍵詞：小學數學；小學三年級；數形結合思想引論（一）研究背景《義務教育數學課程標準》（2011年版）中在數學思考方面標準提到了“學生要學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式”。中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準(2011年版)[S].北京：北京師范大學出版社，2012：9.同時標準也提到了“四基”以及“四能”，要求學生不僅要學習數學知識和技能，還需要在學習中理解和運用數學思想，感悟活動經驗。所以說，教學中滲透數學思想已成為教師的必修課，數學思想的學習也成為學生的必修課。“數形結合”思想始終存在于“數與代數”和“中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準(2011年版)[S].北京：北京師范大學出版社，2012：9.另外，對于小學時期的兒童尤其是三年級的學生來說，他們還是對抽象的概念、抽象的計算關系存在疑惑，很難明確的分析問題以至于去解決問題。相對地，小學生更容易接受具體的，可視化的物體，如實物模型、可視圖形等。所以教師在教學中利用“數”與“形”的轉化，學生就可以更好地進行代數和圖形兩方面的學習?？墒窃诂F如今的課堂中，教師運用這一思想仍存在問題。教師不夠重視導致課堂滲透不足，而且學生在學習過程中由于認識不到位，在解題時常常效率不高。所以說，在整個小學階段里有關數形結合思想方法的學習十分重要，這既符合課程標準的要求，也有助于學生的學習，是學生今后學習的基石。（二）文獻綜述1．國外研究現狀（1）關于數形結合歷史發(fā)展的研究“在人類的原始時代，數與形是結合在一起的。例如：天上一個太陽(數5與一只手的指頭結合在一起)等等”。周述岐.數學思想與數學哲學[M].北京：中國人民大學出版社周述岐.數學思想與數學哲學[M].北京：中國人民大學出版社，1993：369.古希臘時泰勒斯第一次試著用邏輯來組織，把經驗幾何與證明幾何聯(lián)系起來。畢達哥拉斯派曾推崇“數是萬物的本源，一切整數都有形”。在古典希臘時期“數”與“形”既急速發(fā)展也受到了一定的阻礙。在希臘數學的后期，三角術的出現使幾何可以量化的程度到達了頂峰。幾何學在之后的時期占據了主要的發(fā)展地位，直到笛卡爾的解析幾何把“變量”引進數學，將形與數、幾何與代數統(tǒng)一起來。微積分和四元數的發(fā)展讓數學家們關注到了不同的數學思想與數學方法的相互融合。（2）數形結合在教學中運用研究Markovits等人為研究情境這一因素對函數圖像的影響，以9年級學生為研究對象,在不同的情境下觀察他們對于函數的學習狀況。他們將學生分為不同的小組，在課上讓他們用圖象去表示函數，通過這一研究發(fā)現能力強的學生從過程過渡到結構對象要比能力弱的學生更快更早。王海鷂，王海鷂，關于小學數學課堂中數形結合教學的調查研究[D].金華：浙江師范大學，2011.5.褚海峰、白改平、曲興元等人（2003）在《談美國數學教學》中提到，在一次中美學生測試中發(fā)現，就創(chuàng)造性思維能力而言，中國學生往往指利用規(guī)規(guī)矩矩的方法，如代數和算術方法，美國學生在解題過程中既能用代數和算數的方法，也善于使用獨特的有創(chuàng)造性的方法，如圖形、表格、試探等。褚海峰，白改平，曲興元.談美國數學教學[J].外國中小學教育，2003，(8)：41-42.褚海峰，白改平，曲興元.談美國數學教學[J].外國中小學教育，2003，(8)：41-42.2.國內研究現狀數學不僅要教給學生課本上的具體的數學知識，還要教給學生其中存在的的數學思想和方法。在學生學習過程中，他們不會只遇到相同的題目，更多的是遇到相同原理的題目，所以學生在解決數學問題前一定要足夠了解其中的數學思想方法。由于“數形結合”思想方法對教育界以及數學界具有重要的影響，我國自古以來對于數形結合的研究從沒斷過，每年在各種刊物上都有有關的文章，也有各種有關書籍出版。（1）數形結合研究現狀以“數形結合”為主題，通過計算機精確檢索各大數據庫以及對眾多相關文獻的研究，發(fā)現數形結合在小學數學教學應用的研究在逐步深入。在中國最早提出“數形結合”這一思想的是華羅庚先生，他在《談談與蜂房結構有關的數學問題》一文中提過：“數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非：切莫忘，幾何代數統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離!”徐文龍.徐文龍.“數形結合”的認知心理研究[D].桂林：廣西師范大學，2005.6.茅隆森也說過，數形結合思想指的是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，也就是使抽象思維同形象思維相結合，進而更好地把握數學問題的本質，將復雜、抽象的數學問題簡單化、具體化。胡穎.數形結合在小學第二學段教學中的運用研究——以蘇教版數學教材為例[D].鎮(zhèn)江：江蘇大學，2019.3.徐斌艷（2003）在《數學課程與教學論》一書中指出，數形結合的實質就是將抽象的思維同形象的思維、邏輯的思維同直觀的思維相結合來解決問題。徐斌艷.數學課程與教學論[M].杭州徐斌艷.數學課程與教學論[M].杭州：浙江教育出版社，2003：91.（2）關于數形結合思想教育意義的研究數形結合思想能夠把抽象、難懂的問題轉化為具體的、直觀的問題，學好這一思想有助于學生從小打好學習基礎、自主解決問題。周集文（2019）在《論數形結合思想在小學數學中的應用》中指出，利用好數形結合的思想，能夠有效地優(yōu)化解決問題的思路和方法，達到事半功倍的效果。周集文.論數形結合思想在小學數學中的應用[J].課堂內外(教師版)(初等周集文.論數形結合思想在小學數學中的應用[J].課堂內外(教師版)(初等教育)，2019，(12)：85.戴春梅（2020）在其文章中談到，小學數學里的很多題目學生很難理解，原因是“抽象”。在進行教學中利用數形結合，最大的好處是把“抽象”變得具體，從而學生興趣增加。同時也降低了知識難度，學生的思維可以發(fā)散，他們在充分理解數學知識的同時，掌握抽象的數學概念和解決問題。戴春梅.數形結合思想在小學數學教學中的應用[J].理科愛好者(教育教學)戴春梅.數形結合思想在小學數學教學中的應用[J].理科愛好者(教育教學)，2020，(04)：202-203.李娜娜（2013）于《對數形結合教學方法的探究》一文里提到，學生通過對數形結合數學思想的認識可以對數學的相關知識加深理解，并在理解和掌握的基礎上迸發(fā)出許多創(chuàng)造性思維，探究數形結合的教學方法具有十分重要的意義。李娜娜.對數形結合教學方法的探究[J].內蒙古師范大學學報(教育科學版)李娜娜.對數形結合教學方法的探究[J].內蒙古師范大學學報(教育科學版)，2013，(04)：141-143.由以上能夠看出，數形結合這一思想能夠提高低年級的小學生思維的發(fā)散程度，使他們從具體角度看待抽象題目，其對小學生學習數學這一課程產生深遠且重要的作用。（3）數形結合思想在教學中的使用情況研究改革開放以來，我國的基礎教育在不斷發(fā)展發(fā)展，而且也取得了很多顯著成績。教育部為貫徹《國務院關于基礎教育改革與發(fā)展的決定》（國發(fā)[2001]21號）這一文件，大力推進了基礎教育改革。在此形勢下，大多數教師在教學過程中也有了深刻思考，努力在自己的教學中滲透數學思想。張艷紅在其文章中為了了解教師滲透數形結合思想的一般情況，對教師進行了調查研究。她從教師對數形結合的認識、教師在課堂上提到數形結合思想的頻率以及教師在課堂上應用數形結合思想的頻率這三個方面進行了調查和分析，發(fā)現數形結合思想未得到普及以及教師使用不合理等問題。張艷紅.數形結合思想在小學數學教學中的應用[D].濟南張艷紅.數形結合思想在小學數學教學中的應用[D].濟南：山東師范大學，2016.6.（4）數形結合思想在教學中使用時存在的問題研究很多教師都已經嘗試在教學中去應用數形結合思想，但由于把握不好學生認知規(guī)律、對教材內容挖掘不深等原因，關于在具體應用中還不夠系統(tǒng)。王彥偉，丁雁玲指出，由于部分老師對數形結合的價值認識不足，對其重視不夠，所以在課堂中應用較少，經常忽視數學思想這也導致學生對數學本質理解不到位，從而只模仿了解題方法，缺乏獨立解決問題的能力。王彥偉王彥偉，丁雁玲.數形結合思想在小學數學教學中的應用[J].黑龍江教育，2010，(10)：31.王海鷂（2011）在《關于小學數學課堂中數形結合教學的調查研究》中指出，教師在教學中可能存在只讀課本，不挖掘深層次思想、作圖不準確、講個別知識的幾何意義太過生硬等問題，導致課堂教學不能合理、有層次地進行。王海鷂.關于小學數學課堂中數形結合教學的調查研究[D].金華王海鷂.關于小學數學課堂中數形結合教學的調查研究[D].金華：浙江師范大學，2011.5.（5）促進數形結合思想在教學中使用的對策研究蔣曉儆認為，教師在教學中滲透數形結合思想時要把握教材內容。在計算類知識方面滲透數形結合會使知識更直觀，在數學概念方面也不要再使用死記硬背的方式，要設計合適的教學設計。劉偉在《小學數學“數形結合”思想方法在教材中的滲透》中認為，教學中必須要把“數”與“形”結合起來，而且低段數學教學一定要把握好由形象直觀轉為抽象概括的“度”。劉偉.小學數學劉偉.小學數學“數形結合”思想方法在教材中的滲透[J].新課程學習，2010，(8)：93-94.宋梅松（2020）提出，在教學中可以讓小學生從日常生活中理解數形結合，通過生活中熟悉的圖形來學習數形結合，可以更快地吸引學生的注意力，讓學生主動學習。無論是生活中看到的，聽到的資源都可以利用到教學里。宋梅松.數形結合思想在小學數學中的應用[J].新課程學習宋梅松.數形結合思想在小學數學中的應用[J].新課程學習，2020，(8)：60.綜上所述，我國對在三年級的課堂教學里滲透數形結合的相關研究不全面，因此本研究將以聊城市莘縣D小學中的教師和學生為研究對象，從現狀、原因和策略三個方面進行研究分析，為數形結合思想滲透進課堂的提供理論依據，幫助一線教師更好地去了解數形結合。（三）概念界定1．數學思想方法小學數學教材體系有兩條線索：一是數學知識線，這是寫在教材上的明線：二是數學思想方法線，這是教材編寫的指導思想，也是數學內容所蘊涵的精神實質，它是一條暗線。段安陽.數學思想的內涵、價值及教學建議[J].江蘇教育(小學教學版)，2013段安陽.數學思想的內涵、價值及教學建議[J].江蘇教育(小學教學版)，2013，(10)：33.湯波.數形結合思想在小學三年級數學教學中的應用研究[D].南京：南京師范大學，2018.3.數形結合思想小學生在從小接受的數學教育中，主要就是兩方面的內容，一是數字，二是圖形。數形結合主要是指數與形之間的一一對應關系,其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，將抽象思維和形象思維結合起米,通過對圖形的處理,發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用,實現抽象念具體形象、表象的聯(lián)系和轉化，化難為易，化抽象為直觀。丁杭纓.給學生一個立體的“數學丁杭纓.給學生一個立體的“數學”——例談“數形結合”[J].人民教育，2010：39-42.茅隆森.“數形結合思想”在小學數學教學中的滲透[J].福建教育學院學報，2016，(5)：67-68.所以說，研究者認為數形結合思想就是通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版，2014：65.（四）研究意義1.理論意義隨著新課程改革，數學思想越來越受重視，而作為其中一種重要思想的數形結合思想在小學教育中自然舉足輕重。但是目前我國的數形結合思想研究仍然局限于數形結合思想認識與價值的研究，對于將數形結合融入課堂教學出現了一些偏差，特別是對于小學三年級教學研究明顯不夠。因此，我充分了解目前的研究狀況，并以此為基礎，通過對《標準(2011版)》進行研讀，從與數形結合有關的文獻與書籍展開研究，并對青島版三年級數學教材進行知識點的整理，針對各種問題提出相應的策略，有助于提供將數形結合思想滲透進課堂的理論依據，豐富數形結合這個領域的研究。2.實踐意義教師在教學時滲透數形結合的思想，有助于提高課堂效率。此次研究發(fā)現三年級的學生面臨抽象的代數問題時仍然表現得不夠靈活，對于知識的接受能力也很低，而通過運用數形結合的方法，學生可以從數和形兩個方面學習知識，學生可以直觀地去理解知識，更有興趣主動去進行探究學習。本研究通過分析教材中的蘊含的數形結合內容，也有利于幫助一線教師更好地了解數形結合，在教學中更注重滲透“數形結合”思想，提高教師的教學能力，從而使學生的能力得到重要的提升。（五）研究方法1.文獻研究法在寫論文的過程中，通過網絡閱讀、查詢書庫等各種渠道收集資料，研讀有關數形結合教學的教育期刊、文獻書籍和相關理論研究，并進行分析整理，爭取能夠有創(chuàng)新的發(fā)現和更加深入的研究。2.案例分析法通過對青島版小學數學教材中有關數形結合思想內容的整理分析，了解教材中知識的整體編排結構。分析三年級數學教材中的教學設計以及課堂教學中的典型片段，發(fā)現教學中滲透數形結合的問題以及找到相應的優(yōu)化策略。3.訪談法研究采用非結構性的訪談法，借助錄音筆等輔助工具，對實習期間的聊城市莘縣D小學三年級6位數學教師進行訪談，了解教師對數形結合的認識以及應用數形結合思想的教學實踐現狀，發(fā)現存在的問題以及原因。4.觀察法本研究通過對現實課堂的觀察，觀察一線教師的教學片段，觀察實際課堂中學生對內含數形結合思想問題的解決方案，發(fā)現現實課堂存在的問題從而研究策略，為一線教師教學提供經驗，也為論文的書寫提供依據。一、數形結合思想在小學三年級數學教學中應用的現狀（一）蘊含數形結合思想的教材內容分析1.“以形助數”內容的呈現及特點分析研究通過案例分析法對青島版小學數學教材中有關數形結合思想內容進行整理分析，了解青島版三年級教材內數形結合有關知識的編排結構。在青島版小學數學三年級的教材中我們可以看到滲透數形結合的內容概括分為兩種，一種是“以形助數”（如表1所示），也就是用幾何圖形去幫助理解代數；另一種叫做“以數解形”（如表2所示），就是用代數去解決圖形問題。表1青島版三年級教材中“以形助數”內容分析知識領域單元內容“以形助數”在單元內容的體現數與代數克、千克、噸的認識通過利用砝碼、天平、盤秤等學會對物體稱重，通過生活中實物認識質量單位“克”和“千克”，并且初步建立1克，１千克的質量概念。時、分、秒的認識在學生認識整時和半時的基礎上，通過觀察鐘表認識鐘面上的時、分、秒，知道時、分、秒之間是60進制的，能進行時、分、秒之間的簡單換算。分數的初步認識用小圓片、長方形、正方形等圖形的面積表示單位“1”，將其平均分再通過涂色的方法讓學生去理解分數的意義。用圖形面積、線段長度幫助進行分數簡單加減法和大小比較。年、月、日用畫表格、撥鐘表、畫線段的方法認識24時計時法；能夠對平年和閏年進行區(qū)分；自主練習中用拳頭記大、小月。小數的初步認識利用直尺學習小數，通過直尺上的小格理解小數和分數的聯(lián)系。兩位數乘一位數、三位數乘一位數、兩三位數除以一位數、兩位數乘以兩位數1.利用小棒和小木塊等學具“擺一擺”、在點子圖上畫一畫明白多位數乘法的算理和算法，正確進行豎式運算。2.用畫線段圖的方法分析數量關系，處理“求比一個數的幾倍多(或少)幾的數是多少”問題。解決問題1.利用小圓片擺一擺的方法解決實際生活中的連乘、連除問題。2.通過列表格這個方法整理需要的條件，搞懂數量關系從而解決情境中的問題。綜合與實踐搭配問題上衣與裙子搭配問題，用畫圖、標號、連線的方法一一列舉。（1）以“形”助“數”，理解概念合理地運用數形結合可以幫助教師在數與代數領域更好地教學數學概念。根據小學生的認知，概念是抽象的，所以教材并不直接講這個概念怎么樣，而是在一步步探究中讓學生明白所學的概念。圖形就是學生感性認知的載體之一，也是以形引數的重要載體，教師在進行概念教學時要意識到圖形的重要性，使學生能夠在圖形的基礎上逐步深入思考。李長皞.運用數形結合思想進行概念教學的方法[J].江西教育李長皞.運用數形結合思想進行概念教學的方法[J].江西教育，2017，(15)：82.借助圖形如實物、小圓片、木棒、小方塊可以幫助學生更好地理解概念。如圖1所示，教材中展示了各種質量的砝碼，通過天平秤將花生以及二分硬幣等實物進行稱重，同時認識電子秤、盤秤等稱量工具，幫助學生理解“克”“千克”的概念。圖1“克”的認識教材圖如圖2所示，利用長方形、正方形和圓形紙片，將它們平均分成幾部分，之后取其中的一部分進行涂色，就是幾分之一，這樣就幫助理解了幾分之一的概念，同理也知道幾分之幾。圖2“分數的初步認識”教材圖如圖3所示，除了圖形面積，也可以利用線段的長度表示幾分之一，還可以幫助比較分數大小。對于同分母分數，學生可以很好地比較，因為這只是從同份數里取不一樣多的份數。但對于分子相同的分數，如比較1/2和1/4的大小，學生可能不好理解，而教師就需要用一定的方法幫助學生理解，面積圖和線段圖的方式都屬于運用了數形結合方法，用形來理解概念。圖3“分數的大小比較”教材圖（2）以“形”助“數”，理解算理和算法合理地運用數形結合可以幫助學生理解算理，從而正確地進行代數運算；還可以在解決應用題目中幫助學生進行題意的分析，從而快速弄清問題內容并解決題目。借助小木棍、小方塊等學具可以幫助理解算式的算理，清楚算法。如圖4所示，要求“三（1）班跳舞的一共有多少人”，根據教材中的情境圖已經列出了算式20×2，在計算時就利用了小棒幫助。將十根小棒作為一捆，20就表示有兩個十，即兩捆小棒，2個十乘2就是4個十，即四捆小棒，得40。通過小棒的演示，學生可以清楚地理解這個算式是怎么一步步算出的，并清楚每一步的道理。圖4兩位數乘一位數例一教材圖如圖5所示，根據情景圖已經列出了算式12×3，然后利用小木塊擺一擺，從教材中我們可以清楚看到，將12分成10和擺放，三個10是30，三個2是6，將30和6相加得出36，此過程與豎式計算也有相似的過程。圖5兩位數乘一位數例二教材圖（3）以“形”助“數”，解決問題合理地運用數形結合可以在解決問題中幫助學生進行題意的分析，從而快速理解問題并解決問題。如圖6所示，為了解決情景圖中“二年級轉呼啦圈的有多少人”這個題目，學生選擇用畫線段圖這一方式幫助整理題中條件。已知一年級的學生轉呼啦圈的為18人，二年級的人數比一年級的2倍還要多5人，所以在畫線段圖的過程中先要畫出一條表示一年級的人數線段，之后再據此去畫一年級的兩倍，最后要畫出多5人，多5人線段肯定會延長，就這樣便一步步進行分析并畫圖，之后就可以根據畫出的線段列式求解。圖6“比一個數的幾倍多幾”教材圖如圖7所示，要求解“一共有多少搭配方法”這一問題，學生可以利用教材附錄中的小紙片擺一擺，同時在紙上一一列舉，也可以將上衣、裙子分別分組，運用連線的方法，幫助解決這個問題。從上面的分析我們可以看到，用實物、線段圖、各種學具等方式，可以清晰的將抽象的知識具體化，教師更好教，學生更好學。圖7搭配問題教材圖2.“以數解形”內容的呈現及特點分析表2青島版三年級教材中“以數解形”內容分析知識領域單元內容“以數解形”在單元內容的體現圖形與幾何圖形的周長用數量表示長方形的周長和正方形的周長，進行長方形、正方形公式的推導長方形和正方形的面積1.要比較面積的大小，首先要統(tǒng)一單位，用1平方厘米的正方形量長方形，從而理解面積。2.進行面積公式的推導，用面積公式解決求長方形、正方形面積方面的問題。綜合與實踐位置與變換“變化的影子”中通過記錄不同時間段的竹竿影子的長度，發(fā)現規(guī)律，理解生活中現象。合理地運用數形結合可以幫助教師在圖形與幾何領域更好地教學圖形，比如說圖形的認識、圖形的特點；也可以幫助學生了解圖形公式的由來，從而正確地進行代數運算；還能夠在解決題目時幫助學生進行題意的分析，從而快速理解問題并解決問題。所以說教師可以靈活地運用數學公式、定理等，幫助學生掌握圖形結構之間的關系。吳秀敏.寓數于形以形解數-談小學數學中的數形結合教學[J].教學案例吳秀敏.寓數于形以形解數-談小學數學中的數形結合教學[J].教學案例，2018，(17)：72.（二）學生對數形結合思想的認識以及使用現狀分析本研究選取了聊城市莘縣D小學的三個班級的三年級學生，每個班級各40名學生，對其進行觀察。通過對現實課堂的觀察，觀察一線教師的教學片段，觀察實際課堂中學生對內含數形結合思想問題的解決方案，對其課堂反應進行分析，了解學生對數形結合的認識，發(fā)現現實課堂存在的問題從而研究策略。1.學生對數形結合思想的認識如案例1所示，在對學生課堂觀察中發(fā)現，部分教師還是直接告知公式的方式，所以學生沒經歷探究過程，部分學生對數形結合的含義存在誤解。對于直接給出圖形的題目，他們認為可以用代數的方法解決，而在其他方面，如利用學具等認識概念，他們不認為要用數形結合思想。學生會對老師著重講過的內容如線段圖印象深刻，會認為這部分用到數形結合。案例1：長方形的面積教學“師:同學們,你們在之前知道長方形的面積嗎?生:我在二年級的時候知道了長方形，但不知道面積。師:那今天我們就一起來學習老師剛才說過的長方形的面積,現在同學們打開課本，翻開這一課,自己想一想:怎么去求長方形的面積?學生看書后說:課本里說了用數方格這一方法去求長方形的面積,得出等于長乘寬。師:(板書公式：長方形的面積=長×寬)大家一起讀5遍。師:那這個漢字公式用字母怎么來表示呢?用字母表示就是s=a×b或s=ab。師:好,我們接下來直接利用公式去解決題目?！敝苁缂t.小學數學課程與教學[M].北京周淑紅.小學數學課程與教學[M].北京：教育科學出版社，2013：239.2.學生使用數形結合思想方法的現狀小學生在實際的做題中基本不考慮運用數形結合方法，在作業(yè)中為了追求速度，怎么答題快怎么做。部分學生也會用到這一方法，可是在他們的作圖過程中能明顯看出存在作圖不規(guī)范的問題（如圖8）。在解決問題上出現錯誤歸根結底就是缺乏對數形結合的問題的鍛煉。圖8學生作業(yè)圖（三）教師對數形結合思想的認識以及使用現狀分析本研究對隨機選取的聊城市莘縣D小學的6名三年級數學教師進行訪談，并對他們的訪談結果進行分析。訪談的內容主要是關于教師對數形結合的認識，教師運用這一思想的情況。同時對現實課堂進行觀察，研究三個班級內一線教師的教學片段，并結合教材的教學案例進行分析，發(fā)現現實課堂存在的問題從而研究策略。1.教師對數形結合思想的認識在訪談問題1里，大多數教師在從業(yè)之前經過了很長時間的理論學習和教學培訓，有關數學思想的認識已經充足，也知道教學中運用數形結合這種方法有很大好處，所以說多數教師還是能意識到將數形結合帶進課堂教學的重要性，在訪談中發(fā)現仍有個別教師談到三年級運用數形結合方法沒必要。問題1：請問您是否了解“數形結合”的相關知識呢？在三年級教學中滲透數形結合的思想重要嗎？A教師：“我覺得數形結合就是利用數字和圖形去解決問題，在三年級中滲透這一方法挺重要的，畢竟小學課本中已經有了這部分內容?！盉教師：“數形結合是一種思想，也是一個實踐運用的方法，在課標中已經提到了學生對數學思想的掌握，所以三年級已經很有必要了?！盌教師：“數是代數的意思，形是幾何的意思吧。用直觀的幾何可以更簡單地解決代數問題，所以三年級的學生有必要理解這種方法，并運用到學習里。”E教師：“有了解相關知識，但是三年級的學生可能不太理解，所以等學生大點再教比較好吧?！?.教師在教學中使用數形結合思想方法的現狀（1）部分教師在課堂中使用數形結合的方法不當通過訪談問題2可以看到，多數教師都是有要在教學中融入數形結合這個概念的，但在使用時“用不好”“不去用”，這便是一個很大的問題。在課堂觀察中，案例1是一個反例，教師只是讓學生記住了長方形面積公式，卻沒有讓學生經歷一個完整的自己去探索、產生猜想和結果驗證的過程。如果在教學中教師能有效利用實物和教具，并且聯(lián)系之前學過的長方形特征，那學生肯定對S=ab有更好地理解。問題2：在課堂中您會經常提到并使用數形結合的方法嗎？C教師：“在課上我經常提到并且使用數形結合，并想讓學生也認識到這一方法的重要性?！盓教師：“在課上我會提到這一思想，但為了節(jié)省時間，多是用PPT演示?！盕教師：“會提到但很少用，因為在使用時總感覺不自然、不好用。”（2）教師滲透數形結合思想在內容上有所不同在訪談問題3中，教師對課本教材中選擇不同領域滲透數形結合各有不同，選擇圖形與幾何領域在訪談教師中為半數，其次是數與代數領域，“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”領域涉及較少。但在對教材的梳理中可以看到數與代數領域有關數形結合的知識是比圖形與幾何領域還要多的。問題3：您會在哪種課型、哪個領域中運用數形結合方法呢？A教師：“我一般會在新授課中使用，在數與代數領域用的最多，因為這部分知識很抽象?！盉教師：“我會在新授課中使用，在圖形與幾何領域用的多，課本上給的圖形非常直觀，學生可以直接研究?！盋教師：“在復習課和練習課用的偏多，圖形與幾何領域偏多，因為在大量習題中經常涉及到?！倍?、數形結合思想在小學數學教學應用中存在的問題（一）教師在課堂中缺乏滲透數形結合方法的教學從訪談問題1和觀察到的教學片段來看，絕大部分教師認識到了在教學中滲透數形結合思想是重要的，它不僅能讓概念、算理等抽象知識清晰化，還為學生將來的學習奠定基礎。但仍有部分老師認為在這種思想可用可不用，如果在教學中時?？紤]是否使用數學思想方法，會拖慢自己的教學進程，所以這部分老師還是采用傳統(tǒng)的授課方法，在教學完概念以及算式算法還有一些公式后，通過不斷練題的方式對學生訓練。研究者在觀察某一節(jié)課堂教學《混合運算》過程中發(fā)現，在分析題目中的數量關系時，教師在之前學習的乘法基礎上直接列式計算，然后練習綜合算式，對于綜合算式中為什么“先算乘法再算加減”這一問題不能很好的解釋。如果在教導這一內容時，教師能滲透數形結合，如畫線段圖、用小木棒或小方塊演示一下效果會更佳。（二）教師在教學設計中教學目標定位不準教學目標是上好一節(jié)課的關鍵，是一節(jié)課的出發(fā)點，也是這節(jié)課的落腳點。無論是什么課堂，都要有一個目標像規(guī)范一樣作為引導，在課堂的最后還要進行思考是否完成了這一目標。滲透數形結合的教學對培養(yǎng)學生解決問題的能力有很大的作用。問題4：在教學設計中您會將數形結合寫進教學目標嗎？您認為教學目標需要時常更新嗎？B教師：“我會在教學設計里寫入有關數形結合的教學目標，并且教學目標也要根據教材還有課堂中學生及時調整，增加生成性的目標等?！盌教師：“我一般不會寫進教學目標，曾經我寫過，但總是完不成的，所以就懶得設計了?！盓教師：“我的在課堂中偶爾會用，但具體教學設計中并沒有記錄。目標更新與否要視具體教學而定吧?！盕教師：“在我的教學設計里有關其的目標是沒有詳細寫下來的，所以教學中我不太會用，而且只要教材不變，按原來的教學目標就可以吧。而且學校里也沒有對我們這些老師提出這些。”如訪談問題4，對于“教學設計中的教學目標是否需要時常更新”這一問題，部分教師認為沒有必要?，F在的課標對學生的要求有了新的變化，學生也有了變化，舊的目標當然也要變，一成不變的教法不能適用所有的學生。有的教師在教學時認為三年級的學生還太小，不至于在教學中滲透數形結合，可以從第二學段再開始教學。還有教師認為“以形助數”和“以數解形”對于學生學習有很大幫助，但在自己的教學設計中對這方面表述不清。所以教師應該在教學設計中對自己的教學目標有一個清楚的定位，根據課標、教材以及學生多方面定位目標，為實際教學做參考。（三）教師滲透數形結合思想在教學內容選擇上不合理在訪談問題3中，可以看出，不同教師在滲透數形結合的教學內容上選擇不同，而有超過半數的教師覺得在“圖形與幾何”領域滲透更為方便，所以他們經常在這個方面加大滲透數形結合的教學。但通過對青島版小學三年級數學課本教材的整理（如表1），可以看出在“數與代數”領域中其實有很多內容都蘊含著這一思想，無論是關于概念的認識還是算式的算理、算法以及解決情景問題中，并且小學其他教材中“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”領域也有涉及，所以教學其他領域時也應該思考如何滲透數形結合，讓學生更簡單的掌握知識。（四）學生不能熟練運用數形結合方法通過對學生課堂中的觀察發(fā)現，所有學生在課堂學習中會觸及到有關數形結合的數學問題，多數教師也是經常在課堂中滲透運用數形結合的知識。數形結合可以分為兩種形式，在以數解形方面，學生可以做得很好，而在以形助數方面學生做的一般。在班級中對于同一問題的解答，如圖9所示，如果沒有給出具體的圖形，有的學生會直接列算式解決問題，而不能做到借助圖形分析問題，導致出錯。如圖10所示，如果給出了具體的圖形，學生對問題的理解就會徹底，做題速度會有顯著提高。這說明學生的作圖習慣沒養(yǎng)成，運用數形結合方法不熟練。圖9某一問題解答圖1圖10某一問題解答圖2三、數形結合思想在教學中應用現狀的原因分析（一）教師對數形結合知識的認識不充分通過研究發(fā)現，對于“在課堂中您會經常提到并使用數形結合的方法嗎？”這一問題，F老師說：“會提到但很少用，因為在使用時總感覺不自然、不好用。而且考試時只需要寫答案，只要做出題來就行?！痹谒麄冮L期的教學過程中就認定了自己就是教授課本上的知識，讓學生做對題，從而考高分。盡管當前的課程標準已經對學生學習的內容進行了要求，但他們始終難以轉變思想。另一方面則有教師已經認識到了數形結合這種數學思想的重要性，如E老師說：“在課上我會提到這一思想，但為了節(jié)省時間，多是用PPT演示?！钡碚撌冀K是理論，由于教學經驗少，在教學中時常難以自然地滲透?？傊?，主要原因就是對數形結合這一思想認識不夠，所以不能自如地運用。（二）教師在教學過程中未遵循學生接受數形結合思想的認識規(guī)律沒有認識到學生接受這一思想的規(guī)律是不能準確定位教學目標的重要原因。在訪談問題4中，少部分教師認為，在過去的教學生涯中，他們已經習慣了傳統(tǒng)的教法，知識是不變的，所以教學目標根本不用改變。但現在的三年級學生而言，他們處于第一小學段，也即將邁步走向第二學段，他們所學的已不僅僅是知識，也包括思考問題、解決問題的能力。而滲透數形結合的教學對培養(yǎng)學生解決問題的能力有很大的作用。有的教師較少滲透數形結合的教學，有的教師過快地滲透數形結合的教學，這些都屬于對兒童思維發(fā)展規(guī)律認識不清。如D老師說：“我一般不會寫進教學目標，曾經我寫過，但總是完不成的，所以就懶得設計了?！睂W生在整個學習過程中思維是不斷發(fā)展的，低年級的學生對于抽象的事物仍存在理解困難，所以教學中常用實物、小木棒、小木塊以及線段圖的方式幫助學生理解概念等。教師在教學中把握學生認知規(guī)律，有利于準確定位教學目標。（三）教師對教材中隱含的數形結合知識的發(fā)掘不足“書上有什么，教師教什么”，這是一個不正確的觀點。通過對教材的研究我們知道，在教材每單元的知識中基本都隱含了一些數學思想。所以教師在教學前應該對課本上四大領域的內容進行充分的發(fā)掘，思考在教學時對這一思想“哪里用，怎么用”，想讓學生“體會到什么，學到什么”這些問題。如訪談問題5所示，大部分教師負責著某一年級的教學，很少從一年級到六年級的數學全部進行教學，所以在教學過程中他們只會關注于自己的任教年級，并沒有對小學所有年級的教材進行研究，教材理解的不通透，那整個教學過程中對內容的選擇就不會合理，整節(jié)課堂就顯得不完整。問題5：您是否梳理過教材中蘊含數形結合思想方法的知識點？A教師：“因為我教過的年級較多，所以對課本上知識挺了解的，也發(fā)現在課本中有很多內容涉及了數形結合思想，但沒有認真梳理?！盋教師：“我會對所在年級課本內知識研究，但沒對數形結合這一思想單獨研究梳理?！保ㄋ模┙處熢趯W生解題過程中缺乏滲透數形結合思想的具體要求學生不能熟練地運用數形結合除了學生本身由于對數形結合認識不夠產生排斥心理外，還跟教師對學生的要求有關。三年級的學生處于一個向師的狀態(tài)，也就是老師說的、做的事情會跟著模仿，教師要求的會很有興趣去做以得到教師的夸獎。教師在自己的教學中對滲透數形結合的思想教學不規(guī)范，并且對學生的要求不足，才會導致其不能熟練地運用數形結合。在課堂中教師多處于主導的地位，有時會讓學生思考如何理解問題，但經常只是簡單的問問，借助圖形理解問題時經常是教師在黑板或課件演示，學生單純去看，并不直接要求學生動手去做、去畫。在家庭作業(yè)的完成方面也經常是只看對錯，對學生的思考過程不做要求，對其作圖要求也不規(guī)范（如圖8）。這些原因導致學生訓練的不夠充分，所以不能熟練地運用這一方法。四、促進數形結合思想在小學數學教學中應用的策略（一）進行學科知識學習，增強對數形結合知識的認識1.進行理論學習，增強對數形結合知識的認識通過訪談問題1發(fā)現，教師們對數形結合知識認識不一，對其重要性也各有看法。教師是學生學習的先導，是學生學習的引領者，也是學生的榜樣。陶行知說過：“我們不能懈怠，不能放松，一定要鞭策自己，努力跑在學生前面，引導學生，這是我們應有的責任，師道之敬在此。要教學生向前進、向上進，非自己努力向前進，向上進不可。”王雨平.小學低年級數學美的教學問題與改善策略研究[D].開封：王雨平.小學低年級數學美的教學問題與改善策略研究[D].開封：河南大學，2019.46.首先教師自己要加強對數形結合的認識，認識到這一思想對學生學習的必要性。數形結合思想方法可以將抽象的數和形相聯(lián)系、轉化，從而不論是概念還是計算，以及圖形的認識等方面，學生學習起來都會容易很多。其次，教師要注意將理論應用于實踐。在教學空余時間，教師可以多閱讀相關書籍，同時在網絡上了解與之有關的最新理念，了解國內外關于數形結合的研究，豐富自己的理論認識。在教學前研究好教材，把握好教學重難點，設計合理的滲透環(huán)節(jié)；在課堂中觀察學生的反應，及時記錄自己的想法，并在課堂上不斷的嘗試，不斷地加深學生的印象；在課后反思自己實踐的過程，改進并多次滲透。胡穎.數形結合在小學第二學段教學中的運用研究胡穎.數形結合在小學第二學段教學中的運用研究——以蘇教版數學教材為例[D].鎮(zhèn)江：江蘇大學，2019.35.2.參加學校培訓，加強與教師合作交流一方面，新教師在入職后，要積極和學校里的有經驗的老教師交流、請教，學習他們在教學中的經驗。另外，老教師要用平等的眼光看待新教師，在多方面幫助年輕一輩，從他們身上吸收活力。新老教師一起學習，共同交流教學的過程，一起思考數形結合思想的教學策略，一起進步。另一方面，學?？梢越洺＝M織培訓、進修活動，可以在學校內請專家入校，開展講座，讓所有教師共同商討，學習先進理論；開展教師技能活動，新老教師共同參與比賽，評析優(yōu)秀的教學過程，分析不足之處以促進教師教學能力的發(fā)展；與其他學校進行訪問交流，通過兩校間的練習學習經驗。學校也要鼓勵教師不斷學習，對教師的進修表示支持，教師也要抓好一切可以學習的機會，不斷充實自己。（二）把握學生認知發(fā)展規(guī)律，準確定位教學目標1.以學生為主體，遵循學生認知發(fā)展規(guī)律通過皮亞杰認知發(fā)展階段理論我們可以知道，學生認知思維的發(fā)展存在階段性。在小學教學中，教育對象是小學生，這個時期他們正處于具體運算階段，明顯特點是思維有了可逆性，他們可以進行簡單的邏輯推理但還需要借助一定的具體事物。通過這一規(guī)律，我們可以知道在對學生進行教學時要習慣使用數形結合的方法，以便他們理解。同時要把握每個年齡、班級學生的特點，由教師講授逐漸放手讓學生思考和操作。另一方面，當前教育提出，學生是學習的主體。在課堂中教師可以講授知識但不能是課堂中的主人。在實際教學中，教師要盡量做到從學生角度看問題，在意識到學生了解以及理解用數形結合方法解決問題后，試著放手讓學生去做，只有學生自己參與課堂，那這種教學才是有意義的。也正是了解了學生，這個課堂的目標才會明確；教師和學生步調一致，課堂效率才會高效。2.把握教材，制定教學目標如果說老師是戰(zhàn)場上的將軍，學生便是作戰(zhàn)的主力軍，那教學目標就是作戰(zhàn)的目的、方向標，只有所有人勁往一處方向使，整個戰(zhàn)斗才可能成功，所以說教師制定好一個準確的教學目標是有必要的。教師只有在把握了教材跟課程標準后，才能制定準確的目標。如圖11就是很好的示例。圖11教學目標示例圖在制定目標前老師要仔細研究教材內容，做到心里有數。由于小學教材中的知識是循序漸進，蘊含的內容是螺旋上升的，所以在教學目標的制定上也要采用循序漸進的方式。在教學設計里可以對單元目標以及課時目標進行細化，教師在教學過程中如何滲透，要讓學生理解到什么程度，怎樣的自然引出等都是教師要思考的問題，最好將這些內容都記錄在教案中。（三）研究教材，挖掘知識點背后的數形結合思想1.深挖教材，分內容滲透數形結合思想教材中是以知識點的方式進行編排的，其背后隱含著多種數學思想，所以老師要對現行的課本仔細研究，對蘊含著數形結合的內容不斷思考。首先在小學數學教材中分為四大領域的內容，所以說在教學中可以分領域進行滲透數形結合思想教學。其次教學中有不同課型，比如說新授課、復習課和練習課，所以說教師也可以分課型滲透。新授課可以利用可感知的實物、物體形象教學，這樣能很快吸引學生興趣；復習課可以聯(lián)系學生學過的知識，統(tǒng)一整合，查缺補漏；練習課則是大量的、多樣化的展現不同“以形助數”“以數解形”的問題。最后在教學內容上，學生可能需要掌握概念、理解算理、認識圖形，所以教師可以通過挖掘教材，對這些方面選擇不同的滲透方式，以便學生理解。不管教師是分哪些內容進行教學，這都必須以熟悉教材為基礎。如圖12所示，在教學《長方形和正方形的面積》時，教材中編排的內容也并不是直接給出面積公式，而是學生一步步探討從而推導的公式，之后利用公式解題。首先學生在學習這一部分之前已經通過1平方厘米的小正方形理解了面積的意義，所以在老師提問時，他們會首先考慮這種小正方形。先測出長和寬，之后用擺一擺的方法，將面積單位的小正方形擺在長、寬兩處，最后得出長方形面積與長和寬的長度有關，得出長方形面積公式，最后利用公式解決圖形面積問題。正方形面積公式同理可得。圖12“長方形的面積”教材圖（四）改進教學方式，組織實踐活動數學實踐活動主要是指將數學知識和數學方法應用于實際的生活,學生獨立主動地解決實際問題的活動。劉瑩.小學數學教學案例[M].北京：劉瑩.小學數學教學案例[M].北京：中國人民大學出版社，2015：68.1.設計趣味教學情境，增強學生運用數形結合的興趣教師在教學中如果只是干巴巴的講知識，學生會感到困倦，產生注意力不集中的問題，從而課堂便成了單純的教師的課堂，學生難以參與進去。如果換一種方式，創(chuàng)造一種有趣的情境，吸引學生興趣，然后滲透數形結合思想的教學可能會更有效。例如，當學生需要解決“明明有5塊餅干，奶奶又給了他2塊餅干，他現在一共有幾塊餅干”這一問題時，學生可能會在腦子里想象盤子里有一些餅干，然后聯(lián)系實際去解決，其實這就是情境的用處。隨著學生認知思維發(fā)展，再去聯(lián)想時就可以通過情境去思考線段或者符號用以解決問題，便是在情境中利用了數形結合思想。恰當的概念引入方式能促進學生產生學習的興趣，有助于教師教學。例如，在教學“分數的認識”時，概念的引入要從生活實踐中出發(fā),可以設置如下情境，“村長爺爺買回了一個蛋糕，喜羊羊、懶羊羊和沸羊羊都爭著要吃,這可難壞村長爺爺了,怎么分呢？小朋友幫村長爺爺想想辦法吧。接下來拿出相應的教具引導學生怎樣分才公平，逐步導入到學習中。”湯強湯強，程國忠，高明.小學數學教與學[M].北京：航空工業(yè)出版社，2014：23.2.合理運用評價，鼓勵學生實踐教師將課堂交給學生，幫助學生努力做到自己動手操作，通過學生間的合作共同探討問題的解決，感受數形結合思想，這不失為一個好策略。學生通過自己的實踐，可以更好地利用數形結合去解題。另外數形結合思想強調數和形的轉化，圖形在其中占了很大一部分，所以教師也可以用實踐活動培養(yǎng)學生畫圖的習慣。老師可以在日常教學中組織學生畫一些與數學有關的圖形，用小畫展的形式，激發(fā)學生作圖熱情。教師對于學生作業(yè)中滲透數形結合方法要提出具體要求，對于優(yōu)秀的解題方式給予及時地表揚，但教師也要注意評價的方式，從而激勵學生用數形結合思想思考問題。如圖13就是一個很好的評價方式。圖13軸對稱教學評價結語數學是抽象的學科，對三年級的學生來說，對抽象的概念、抽象的計算關系存在疑惑，很難明確的理解課本上的知識。但是小學生具有容易接受具體的事物的特點，所以教師在教學中利用“數”與“形”的轉化，運用數形結合思想方法教學，可以使學生更好地進行代數和圖形兩方面的學習。本研究在對數形結合思想方法的理解的基礎上，以三年級為切入點，整理出青島版三年級教材中有關數形結合思想的知識點，對三年級的數學教師進行了訪談，了解教師運用數形結合思想教學中存在的現狀，分析