題型三閱讀理解(含新定義)壓軸點(diǎn)二幾何壓軸題典例解構(gòu)1突破訓(xùn)練2典例解構(gòu)1例[2024遼寧樣卷第23題12分]原題設(shè)問【問題初探】(1)

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足為B，且BC>AB．求證：BC=AD+BD．①如圖2，小鵬同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在BC上截取BE=BD，連接AE，將線段BC與AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為AD與CE之間的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)借助小鵬的解題思路，寫出證明過程.設(shè)問拆分(1)①a.求證：∠AED=2∠C；證明：∵BE＝BD，AB⊥CD，∴AB是線段DE的垂直平分線，∴AE＝AD，∴∠D＝∠AED.∵∠D＝2∠C，∴∠AED＝2∠C；b.求證：BC=AD+BD.證明：∵∠AED＝2∠C，∠AED＝∠C＋∠CAE，∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE.∵AE＝AD，∴CE＝AD，∴BC＝CE＋BE＝AD＋BD；要點(diǎn)提煉知識(shí)必備條件：AB⊥DE，BE=BD結(jié)論：AE=AD(垂直平分線的性質(zhì))原題設(shè)問②

如圖3，小亮同學(xué)從∠D=2∠C這個(gè)條件出發(fā)給出另一種解題思路：作AC的垂直平分線，分別與AC，CD交于F，E兩點(diǎn)，連接AE，將∠D=2∠C轉(zhuǎn)化為∠D與∠BEA之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)借助小亮的解題思路，寫出證明過程.設(shè)問拆分②a.求證：∠D=∠AED；證明：∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∴∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C，又∵∠D＝2∠C，∴∠D＝∠AED；b.求證：BC=AD+BD.b．證明：∵∠D＝∠AED，∴AE＝AD，∵AE＝CE，∴CE＝AD.∵AE＝AD，AB⊥CD，∴BE＝BD，∴BC＝CE＋BE＝AD＋BD；要點(diǎn)提煉知識(shí)必備條件：AE=AD，AB⊥

DE結(jié)論：

BE=BD，∠BAE=∠BAD(等腰三角形“三線合一”)原題設(shè)問【類比分析】(2)李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將證明三條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問題，請(qǐng)你解答.如圖4，在Rt△

ABC

中，∠

ABC=90°，過點(diǎn)A

作AD

∥

BC(點(diǎn)D

與點(diǎn)C

在AB

同側(cè))，若∠

ADB=2∠

C．求證：BC=AD+BD．設(shè)問拆分(2)過點(diǎn)A作AE∥DB交CB的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在BC上截取BF=BE，連接AF，如圖，a.求證：∠

E=2∠C.證明：∵AE∥DB，AD∥BC，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∴∠ADB＝∠E，∵∠ADB＝2∠C，∴∠E＝2∠C；b.求證：BC=AD+BD．證明：∵四邊形AEBD是平行四邊形，∴AE＝BD，AD＝BE，由(1)①可得BC＝BE＋AE，∴BC＝AD＋BD.要點(diǎn)提煉構(gòu)造模型通過作平行四邊形ADBE，將∠D轉(zhuǎn)化為∠E，從而構(gòu)造出(1)中的模型

(3)延長(zhǎng)AB

交DC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作AH

⊥

DE

于點(diǎn)H，作BF

⊥

DE

于點(diǎn)F，如圖，設(shè)問拆分a.求證：

∠

ABC=2∠

E+∠

D；證明：∵∠BCD＝∠BAD，∠BCD＋∠BCE＝180°，∠BAD＋∠E＋∠D＝180°，∴∠BCE＝∠E＋∠D.∵∠ABC＝∠E＋∠BCE，∴∠ABC＝∠E＋∠E＋∠D＝2∠E＋∠D；b.求證：EF=BC+CF；證明：∵∠ABC＝3∠ADC，∠ABC＝2∠E＋∠D，∴3∠D＝2∠E＋∠D，∴∠D＝∠E，∴∠BCE＝∠E＋∠D＝2∠E.∵BF⊥DE，∴由(1)可得EF＝BC＋CF；c.求DE

和CE

的長(zhǎng)；d.設(shè)EF=x，用含x

的代數(shù)式分別表示出CF，BC

和BF

的長(zhǎng)并求x

的值；e.求四邊形ABCD

的面積．構(gòu)造模型要點(diǎn)提煉構(gòu)造模型通過延長(zhǎng)AB

和DC使其交于點(diǎn)E，

作BF

⊥

DE

于點(diǎn)F，

利用角度關(guān)系證得∠

BCE=2∠

E，即可構(gòu)造出(1)中的模型知識(shí)必備利用同一未知數(shù)表示出直角三角形的三條邊長(zhǎng)，利用勾股定理列方程求解.1.[2024營(yíng)口二模]我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'，當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．突破訓(xùn)練2特例感知：(1)如圖2，△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為__________；猜想論證：(2)在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；證明：如解圖1，延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接B′M，C′M，∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，∴AC′＝B′M＝AC，B′M∥AC′.∴∠B′AC′＋∠AB′M＝180°.又∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A.

2.[2024沈陽(yáng)二模]【問題初探】(1)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出如下問題：如圖1，在△

ABC

中，AB=BC，∠

ABC=90°，點(diǎn)D是邊BC

上一點(diǎn)，連接AD，在AB

右側(cè)作△

ADE，使DE=AD，∠

ADE=90°，連接CE，求證：∠

DCE=135°；①小創(chuàng)同學(xué)從△

ABC

與△

ADE

均為等腰直角三角形這個(gè)條件出發(fā)給出如下解題思路：通過證明△

ABD

∽△

ACE，將∠

DCE

轉(zhuǎn)化為∠

ABD+∠

ACB；②小新同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出另一種解題思路：如圖2，在線段AB

上截取BP=BD，連接DP，通過證明△

APD

≌△

DCE，將∠

DCE

轉(zhuǎn)化為∠

APD；請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】(2)張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，張老師將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問題，請(qǐng)你解答．如圖